Introducción al Análisis factorial confirmatorio

1. Introducción alAnálisis factorial confirmatorio Lectura básica: Cap. 13 del texto Ampliación: Brown, T. A. (2006). Confirmatory Factor Analysis for Applied Research. New York: The Guilford Press. Programas: LISREL, AMOS, EQS, Mplus

2. 1.) AFE versus AFC 2.) Aplicaciones

3. Ítems del EPQ-R (neuroticismo)

4. Minimizar diferencias entre la matriz de correlaciones observada y la reproducida MUCHAS SOLUCIONES POSIBLES 1 factor? 2 factores? 3 factores?

5. Análisis Factorial Exploratorio

6. REPRESENTACIÓN: z6 z5 z4 z2 z3 z1 Modelo exploratorio Cuantos factores? Criterio para la Rotación? E1 F1 E2 E3 E4 F2 E5 E6 DATOS MODELO

7. z3 z1 z2 z4 z5 z6 Modelo confirmatorio E1 F1 E2 E3 E4 F2 E5 E6 rF1F2=0.631 MODELODATOS

8. z3 z1 z2 z4 z5 z6 E1 Modelo exploratorio: Modelo inicial F1 E2 E3 E4 F2 E5 E6 rF1F2= 0 DATOSMODELO

9. AFE versus AFC Similitudes • Técnica de reducción de dimensionalidad: Se buscan (pocos) factores comunes que expliquen la matriz de var-cov, S. • Muchos procedimientos (p.e., de estimación) son comunes a AFE y AFC. Diferencias • No explora la relación entre variables o constructos, sino que las contrasta: • Se supone un número concreto de factores comunes y qué variables empíricas (indicadores) los miden. • Se supone la existencia o no de relación entre los factores. • Se pueden establecer correlaciones entre los términos de error. • No es necesario un método de rotación.

10. Ventajas del modelo confirmatorio (I) Permite evaluar el ajuste estadístico de nuestros modelos teóricos… fijando: • Número de factores • Ítems que saturan en cada factor • Especificando errores de medida correlacionados

11. E1 E1 F1 F1 E2 E2 E3 E3 E4 E4 F2 F2 E5 E5 E6 E6 x4 x6 x6 x5 x3 x4 x1 x2 x1 x5 x3 x2 Ventajas del modelo confirmatorio (II) = Grupo 1 Grupo 2 -Contraste de hipótesis de invarianza de parámetros a través de sexo, país, nivel educativo,… (tests óítems –DIF-) - Análisis de las estructuras de medias

12. Ventajas del modelo confirmatorio (III) Modelo confirmatorio Modelos complejos: Análisis factorial de 2º orden, modelos con errores correlacionados

13. Ventajas del modelo confirmatorio (Iv) • Obtención de la correlación entre constructos (similar a la corrección por atenuación). Validación de constructo, mostrando la validez convergente de los indicadores que se espera que estén asociados, y la discriminante (no correlación de los que se espera que no correlacionen).

14. Ventajas del modelo confirmatorio (V) • Tratamiento de los efectos de método: por ejemplo, los ítems directos e inversos en los cuestionarios. En AFE salen como factores espúreos, no sustantivos.

15. Ventajas del modelo confirmatorio (VI) • Evaluación psicométrica de tests: - Enfoque alternativo a TRI… análisis factorial para datos categóricos • Modelo logístico de 2 parámetros • Modelo de respuesta graduada. • modelos multidimensionales de TRI… - Nuevas medidas de fiabilidad…

16. Representación de los modelos

17. Representación de modelos Se representan mediante “diagramas causales” o “path diagrams”: Tipos de variables: OBSERVABLES: LATENTES: Muy importante el concepto de factor latente! x1 x1 F1 x2 x3

18. Tipos de relaciones (siempre lineales): FLECHAS BIDIRECCIONALES: Covarianzas o correlaciones FLECHAS UNIDIRECCIONALES: Pesos no estandarizados o pesos estandarizados x1 E1 E2 x2 x1 F1

19. EXOGENAS: Variables que el modelo NO intenta explicar (ninguna flecha las apunta) ENDOGENAS: Variables que en el modelo se intentan explicar. Toda variable endogena tiene un error. e1 x1 F1 x2 e2 x3 e3

20. Objetivo cuando se genera un modelo confirmatorio: • Generar un modelo que sea compatible con la matriz de varianzas-covarianzas entre todas las variables. • Las varianzas y covarianzas son función de los parámetros del modelo.

21. Ingredientes del modelo Para especificar el modelo, hay que fijar: • Número de factores comunes. 2) Relaciones entre las xs y los factores comunes. 3) Si existe o no covariación entre los factores comunes (y entre cuales). 4) Si existe o no covariación entre los factores únicos (y entre cuales).

22. Ecuaciones del modelo

23. e12 e1 1 x1 λ11 F12 e22 λ21 e2 F1 1 x2 λ31 e32 λ41 e3 x3 1 e42 e4 x4 1 Análisis Factorial (1 factor) Ecuaciones: Modelo: Matriz de varianzas-covarianzas reproducida

24. Análisis Factorial (1 factor)

25. e12 e1 1 x1 λ11 F12 e22 λ21 e2 F1 1 x2 λ31 e32 λ41 e3 x3 1 e42 e4 x4 1 Path analysis (Análisis de Senderos)

26. Análisis Factorial (1 factor)

27. e12 e1 1 x1 λ11 F12 e22 λ21 e2 F1 1 x2 λ31 e32 λ41 e3 x3 1 e42 e4 x4 1 Path analysis (Análisis de Senderos)

28. Identificación del modelo

29. Ecuaciones… e incognitas Infinitas soluciones Identificación… Ajuste…. x+u=1 y+v=1 x*y=0.24 ----- x+u=1 y+v=1 z+w=1 x*y=0.25 z*y=0.24 z*x=0.24 ----- x+u=1 y+v=1 z+w=1 t+r=1 x*y=0.25 z*y=0.24 z*x=0.24 t*x=0 t*y=0 t*z=0

30. ¿es estimable el modelo? Datos o ecuaciones disponibles (p(p+1)/2) Elementos de la matriz de varianzas-covarianzas Parámetros a estimar (t): 10 ecuaciones 9 parámetros Parámetros del modelo: t - Pesos libres entre las variables exógenas y las endogenas - Varianzas/covarianzas entre las variables exógenas • No son parámetros del modelo: • Varianzas y Covarianzas de las variables endógenas

31. Métrica del factor latente…

32. Métrica del factor latente… 32

33. e12 e1 1 x1 λ11 F12 e22 λ21 e2 F1 1 x2 λ31 e32 λ41 e3 x3 1 e42 e4 x4 1 Análisis Factorial (1 factor) Modelo: Restricciones: - Fijar un peso factorial a 1 - Fijar la varianza del factor a 1 Matriz de varianzas-covarianzas reproducida

34. ¿es estimable el modelo? Datos o ecuaciones disponibles (p(p+1)/2) Elementos de la matriz de varianzas-covarianzas: 10 Parámetros a estimar (t): 8 Grados de libertad: 2 Gl=(p(p+1)/2)-t < 0: Modelo no identificado, hay más incógnitas que ecuaciones 0: Modelo saturado o exactamente identificado. Solución única. Reproduce exactamente la matriz de varianzas-covarianzas >0: Modelo sobreidentificado. Si hay más ecuaciones que incógnitas no hay una solución exacta. Buscaremos aquella solución que haga lo más parecidas posibles la matriz de varianzas-covarianzas observada y la reproducida.

35. SINTAXIS MPLUS (MATRIZ DE VARIANZAS-COVARIANZAS)

36. Parámetros obtenidos (sin estandarizar): 84 e1 1 x1 1 16 84 1 e2 F1 1 x2 .1.5 64 1.75 e3 x3 1 51 e4 x4 1

37. RESULTADOS MPLUS Significación estadística MODEL RESULTS Estimates S.E. Est./S.E. Std(**) StdYX(*) F BY X1 1.000 0.000 0.000 4.000 0.400 X2 1.000 0.417 2.398 4.000 0.400 X3 1.500 0.536 2.799 6.000 0.600 X4 1.750 0.640 2.734 7.000 0.700 Variances F 16.000 9.707 1.648 1.000 1.000 Residual Variances X1 84.000 13.285 6.323 84.006 0.840 X2 84.000 13.285 6.323 83.999 0.840 X3 64.000 14.206 4.505 63.995 0.640 X4 51.000 16.272 3.135 51.010 0.510 - Coeficientes de la ecuación de regresión (cambios de x en función de cambios en F). Por ejemplo, 4 puntos de cambio en F (una DT) llevan a 4 puntos de cambio en X1. - Varianza de los errores de pronóstico. La varianza de X1 es 100 (en la población general). Sin embargo, para gente igualada en F la varianza de X1 es 84.

38. Matriz de varianzas-covarianzas reproducida REPRODUCIDA SEGÚN LOS PARÁMETROS DEL MODELO OBSERVADA RESIDUOS (observada – estimada)

39. RESULTADOS MPLUS: Correlaciones (si las variables exógenas son independientes) unicidades MODEL RESULTS Estimates S.E. Est./S.E. Std(**) StdYX(*) F BY X1 1.000 0.000 0.000 4.000 0.400 X2 1.000 0.417 2.398 4.000 0.400 X3 1.500 0.536 2.799 6.000 0.600 X4 1.750 0.640 2.734 7.000 0.700 Variances F 16.000 9.707 1.648 1.000 1.000 Residual Variances X1 84.000 13.285 6.323 84.000 0.840 X2 84.000 13.285 6.323 84.000 0.840 X3 64.000 14.206 4.505 64.000 0.640 X4 51.000 16.272 3.135 51.000 0.510 - Coeficientes de la ecuación de regresión estandarizados - Varianza de los errores de pronóstico (unicidades)

40. Parámetros obtenidos (sin estandarizar): .84 e1 1 x1 .4 1 .84 .4 e2 F1 1 z2 .6 .64 .7 e3 x3 1 .51 e4 z4 1 Parámetros obtenidos (estandarizados): Para obtener el parámetro estandarizado se multiplica por la desviación típica de la variable exógena y se divide por la desviación típica de la variable endogena 40

41. Matriz de correlaciones reproducida REPRODUCIDA SEGÚN LOS PARÁMETROS DEL MODELO OBSERVADA RESIDUOS

42. x1 e1 ξ1 x2 e2 Modelo no identificado p q Con dos indicadores, 3 datos: las dos varianzas y la covarianza. En el ejemplo habría que estimar: 1 lambda (la otra se fija una a 1, para fijar la escala), la varianza del factor común, las varianzas de los 2 factores únicos (la covarianza entre ellos se ha fijado a cero) (4 parámetros). Luego gl = -1. 0.24=p*q

43. p q r s 10-9=1 p q 10-8=2

44. Puede ocurrir que los grados de libertad no sean negativos y, sin embargo, que el modelo no tenga solución: • Falta de Falta de identificación identificación parcial empírica p p q q z 10-8=2 10-9=1

45. Modelo en ecuaciones (2 factores) 1 e1 x1 λ11 1 λ21 x2 e2 ξ1 λ31 1 λ32 x3 e3 λ42 1 x4 e4 ξ2 λ52 1 x5 e5

46. Pesos factoriales Varianzas-Covarianzas entre factores latentes Varianzas-Covarianzas teóricas Varianzas-Covarianzas entre errores

48. e1 x1 x2 e2 ξ1 x3 e3 x4 e4 ξ2 x5 e5 48

49. e1 x1 x2 e2 ξ1 x3 e3 x4 e4 ξ2 x5 e5 49

50. e1 x1 x2 e2 ξ1 x3 e3 x4 e4 ξ2 x5 e5 50