DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mroczeniu ID grupy: 98/48_MF_G2 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Symetria w otaczającym nas świecie Semestr/rok szkolny: semestr IV/2011/2012

3. SPIS TREŚCI • Wprowadzenie • Symetria i jej rodzaje • Symetria wokół nas : • symetrie w przyrodzie, • symetrie w otaczających nas przedmiotach, • symetrie w architekturze, • symetrie w znakach, literach, słowach, • symetrie w sztuce, • symetrie w matematyce, • symetrie w nauce, fizyce, chemii, technice. • Symetria w badaniach ( związek środka ciężkości ciała z symetrią ) • Symetrie – przykłady zadań • Ciekawe cytaty • Bibliografia

4. WSTĘP Symetria już od czasów platońskich kojarzona jest z doskonałością. Na każdym kroku ulegamy pokusie jej poszukiwania: jeśli nie porusza nas  intuicyjne i matematyczne piękno symetrii, to przynajmniej niemal doskonale dwustronna symetria ludzkiego ciała. Muzyka, sztuka, taniec, poezja, architektura – wszystkie te ludzkie wytwory są nią przesiąknięte. Już starożytni architekci, a później ich następcy w wiekach średnich czy czasach nowożytnych, projektowali budowle wykorzystując różnorodne symetrie kształtów (choćby bryły foremne) oraz symetrię układów przestrzennych. Muzycy tworzyli utwory, których forma i struktura wewnętrzna opierały się zarówno na symetrii czasowej, jak i dźwięków

5. CELE PROJEKTU Celem naszego projektu jest pogłębienie wiadomości szkolnych na temat symetrii. Poprzez ćwiczenia, doświadczenia, zadania matematyczne utrwalimy wiadomości z działów : planimetria, stereometria. Liczymy, że podjęte zadania cząstkowe wpłyną na nasz rozwój, a zwłaszcza na twórcze podejście do rozwiązywania problemów.

6. CO TO JEST SYMETRIA ? symetria– właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego, polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią.

7. WYRÓŻNIAMY NASTĘPUJĄCE RODZAJE SYMETRII : symetria osiowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii. Symetria osiowa występuje m.in. w trójkącie Sierpińskiego. symetria płaszczyznowa – przekształceniem jest odbicia zwierciadlane figury względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii. Symetria płaszczyznowa występuje m.in. w piramidzie Sierpińskiego oraz kostce Mengera. symetria środkowa– przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem ustalonego punktu zwanego środkiem symetrii. Na płaszczyźnie symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach w przestrzeni jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii.

8. WYRÓŻNIAMY NASTĘPUJĄCE RODZAJE SYMETRII : symetria gwiaździsta– przekształceniem jest na płaszczyźnie obrót figury wokół zadanego punktu o kąt będący pod wielokrotnością kąta pełnego, a w przestrzeni wokół zadanej prostej. symetria sferyczna – przekształceniem jest dowolny obrót bryły wokół zadanego punktu. Własność tę posiada m.in. kula. symetria z obrotem– na płaszczyźnie jest to złożenie symetrii względem prostej z obrotem o dowolny kąt wokół zadanego punktu.

9. WYRÓŻNIAMY NASTĘPUJĄCE RODZAJE SYMETRII : symetria nieparzysta – złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych lub płaszczyznowych. symetria parzysta - złożenie parzystej liczby symetrii osiowych lub płaszczyznowych. Do symetrii parzystej zalicza się symetria osiowa.

10. SYMETRIE W PRZYRODZIE W świecie przyrody ożywionej symetria nie jest przypadkiem. Czasem po prostu pomaga żyć. Jednym uchem nie dałoby się tak precyzyjnie zlokalizować źródła dźwięku, a jednym okiem - tak dokładnie oszacować odległości. Węże i jaszczurki mają rozdwojone języki, aby dobrze wyczuwać smak. Wśród zwierząt dominują okazy o jednej płaszczyźnie symetrii. Chyba żadne inne zwierzę nie realizuje w sposób tak doskonały idei symetrii osiowej w przyrodzie jak motyle.

11. SYMETRIE W PRZYRODZIE

12. SYMETRIA TWARZY

13. SYMETRIE W OTACZAJĄCYCH NAS PRZEDMIOTACH W DOMU

14. SYMETRIE W OTACZAJĄCYCH NAS PRZEDMIOTACH FLAGI ZNAKI DROGOWE LOGA FIRM

15. SYMETRIE W ARCHITEKTURZE Architektura, jak każda sztuka kompozytorska, szeroko wykorzystuje symetrie. We wszystkich kulturach i we wszystkich okresach, architektoniczne kompozycje umieszczone są symetrycznie. Wieża Eiffla – najbardziej znany obiekt architektoniczny Paryża, rozpoznawany również jako symbol Francji. Belweder w Warszawie – pałac w Warszawie, klasycystyczny, wzniesiony w latach 1819–1822 według projektu Jakuba Kubickiego. Notre-Dame de Paris – gotycka katedra w Paryżu. Jedna z najbardziej znanych katedr na świecie.

16. SYMETRIA W ŚWIECIE JĘZYKA Niektórzy twierdzą, że pierwsze słowa wypowiedziane przez człowieka były palindromem (wyrażenie brzmiące tak samo czytane od lewej do prawej i od prawej do lewej). Współczesne palindromy pełnią funkcję gry słownej. W przeszłości mogły mieć znaczenie magiczne. Tradycja mówi, że wynalazcą palindromy był Sotades (III w. p.n.e.) z Maronei. Palindromy nazywane są zdaniami lustrzanymi, jednak prawdziwych zdań lustrzanych jest niewiele i mogą one być pisane tylko za pomocą niektórych dużych liter. ADA KAJAK ELA TROPI PORTALE (1975, Gar ) ILE WERWY WRE W ELI (1969, Set ) MAMO MAM OMAM

17. SYMETRIA W ŚWIECIE JĘZYKA SŁOWA ZNAKI ZODIAKU LITERY M T B A V O

18. SYMETRIE W SZTUCE Symetria jest elementem, który jest często używany w malarstwie, chodź nie zawsze jest to widoczne na pierwszy rzut oka. MALARSTWO i rękodzieło

19. SYMETRIE W SZTUCE RZEŹBA

20. SYMETRIE W SZTUCE ORNAMENTY, CHIŃSKIE KRATY

21. SYMETRIA W MATEMATYCE Co powoduje, że przedmioty symetryczne, proporcjonalne postrzegamy jako lepsze, ładniejsze. Złota – boska proporcja jest wykładnią piękna. Począwszy od czasów starożytnych podział ten uznawany był za kanon piękna i chętnie wykorzystywali go w swoich dziełach artyści (architekci, rzeźbiarze, malarze a nawet muzycy). Pentagram

22. SYMETRIA W MATEMATYCE ZŁOTY PODZIAŁ W BRYŁACH Ostatnie spojrzenie na złotą liczbę, to spojrzenie na pewne konstrukcje w przestrzeni. Szczególnie tam, gdzie mamy do czynienia z pięciokątami foremnymi. Takim obiektem przestrzennym jest dwunastościan foremny. Każda z jego ścian jest pięciokątem foremnym, w którym przekątne dzielą się w złotym stosunku.

23. SYMETRIA W MATEMATYCE UKŁADANKI PENROSE’A

24. SYMETRIA W MATEMATYCE UKŁADANKI PENROSE’A Do niedawna wiadomo było, że płaszczyznę można pokryć następującymi wielokątami foremnymi: trójkątami, czworokątami i sześciokątami. Nie potrafiono wypełnić jej pięciokątami foremnymi ani figurami o symetrii pięciokąta foremnego. Penroseposzukiwał innych takich samych figur, którymi mógłby pokryć płaszczyznę. Początkowo udało mu się zredukować ilość takich figur do sześciu, a w 1970 roku do dwóch, które nazywane są w matematyce trójkątami Penrosa. Obie mają symetrię pięciokąta foremnego i z niego się wywodzą

25. SYMETRIA W MATEMATYCE UKŁADANKI PENROSE’A - PRZYKŁADY

26. ELEMENTY SYMETRII W CHEMII. Symetria wybranych cząsteczek Symetrycznym nazywamy każdy obiekt, którego nie można odróżnić od jego odwzorowania na płaszczyźnie lub w przestrzeni w wyniku operacji symetrii. Innymi słowy, obiekt symetryczny i jego odwzorowanie dokładnie pokrywają się, czyli są identyczne. Obiekt symetryczny, np. przedmiot, figura płaska, bryła geometryczna, kryształ, cząsteczka, musi posiadać jakiś element symetrii. Elementami symetrii cząsteczek są osie symetrii, płaszczyzny symetrii, środek symetrii (inwersji), osie przemienne. Cząsteczkawodoru H2posiada dwukrotną oś obrotu oraz płaszczyznę zwierciadlaną, inwersję, dwukrotną oś obrotu inwersyjnego oraz dowolny obrót (także obrót inwersyjny) Grupa przekształceń punktowych dla cząsteczki wodoru H2 jest grupą nieskończoną.

27. ELEMENTY SYMETRII W CHEMII. Cząsteczkawody Cząsteczka wody H2O ma dwie płaszczyzny zwierciadlane: równoległą i prostopadłą do płaszczyzny cząsteczki oraz dwukrotną na przecięciu płaszczyzn. Cząsteczka tlenku węgla Cząsteczka ta ma taką samą grupę przekształceń punktowych co, cząsteczka H2.

28. ELEMENTY SYMETRII W CHEMII. Cząsteczkametanu Cząsteczka wody CH4 ma cztery osie obrotu, 3 osie obrotu inwersyjnego i 6 płaszczyzn zwierciadlanych Cząsteczka benzenu Cząsteczka C6H6 ma 6 płaszczyzn zwierciadlanych , 6 osi dwukrotnych leżących w płaszczyźnie cząsteczki; osie obrotu przechodzące przez środek symetrii cząsteczki prostopadle do płaszczyzny cząsteczki oraz osie obrotów inwersyjnych

29. Grupy symetrii w chemii Pewne operacje wykonywane na cząsteczkach chemicznych prowadzą do pokrycia się układu atomów cząsteczki przed i po wykonaniu operacji. Na przykład model cząsteczki amoniakuNH3 jest nieodróżnialny przy obrotach o 120 o i 240owokół osi przechodzącej przez atom azotu N. W takim przypadku mówimy, że model ma symetrię obrotową. Ze względu na ograniczenia wynikające z układu atomów w cząsteczce, tylko niektóre przekształcenia mają istotne znaczenie. Okazuje się, że tworzą one grupę. I tak grupą symetrii, która odpowiada cząsteczce amoniaku jest grupa D3 . Natomiast z cząsteczką wodyH2O związana jest grupa D2 . Różne cząsteczki mające taką samą grupę symetrii mają również pokrewne własności. Jeśli na przykład dwie cząsteczki mają taką samą grupę symetrii oraz taką samą liczbę atomów to mają one identyczne widma Ramanowskie i widma w podczerwieni. NH3 H2O

30. STEREOCHEMIA Poszukiwania symetrii w chemii zaprowadziły nas aż do stereochemii … Stereochemia to dział chemii zajmujący się badaniem trójwymiarowej struktury cząsteczek i jej wpływem na własności tych cząsteczek. W naszym życiu codziennym spotykamy wiele przedmiotów, których lustrzane odbicie nie daje się nałożyć na ten przedmiot. Przykładem może być nasza dłoń. Odbiciem w lustrze lewej dłoni jest dłoń prawa. W żaden sposób nie da się ich nałożyć na siebie. Przeciwieństwem są przedmioty, dla których lustrzane odbicie da się nałożyć na przedmiot. Przykładem może być zlewka. Wystarczy odbicie lustrzane obrócić wokół zaznaczonej osi o 180o, by zlewki nałożyły się na siebie.

31. STEREOCHEMIA Przy bliższym przyjrzeniu się tym przedmiotom można zauważyć, że dla przedmiotów symetrycznych, odbicie lustrzane jest identyczne z nim samym. Natomiast dla tych, które są niesymetryczne odbicie lustrzane nie jest identyczne z przedmiotem. Przedmiot jest symetryczny, zatem posiada jakiś element symetrii. Takim elementem symetrii może być płaszczyzna symetrii lub środek symetrii. Zlewka ma płaszczyznę symetrii, która dzieli ją na pół i dlatego jej obraz lustrzany da się na nią nałożyć. W chemii dla tych cząsteczek, które nie mają żadnego elementu symetrii, czyli są asymetryczne, odbicie lustrzane nie nakłada się na przedmiot. Podobnie może być z cząsteczkami związków organicznych. Niektóre z nich będą identyczne ze swoim odbiciem lustrzanym, jak np. 1-chloroprpopan, dla innych odbicie lustrzane będzie różne od nich samych, jak np. 2-chlorobutan: 1-chloroprpopan 2-chlorobutan Takie cząsteczki, które nie są identyczne ze swoim odbiciem lustrzanym nazywamy cząsteczkami chiralnymi, a parę takich cząsteczek, czyli cząsteczkę i jej odbicie lustrzane nazywamy enancjomerami.

32. SYMETRIA W FIZYCE W fizyce symetriom podlegają przestrzeń, pola kwantowe, równania pola, lagranżjany, hamiltoniany itp. Symetrie są obecnie podstawowym narzędziem fizyki. Jeżeli jakiejś własności nie można wyprowadzić z zasad symetrii, tylko trzeba ją postulować arbitralnie, to teorię taką uznajemy za niekompletną. Lagranżjan jest funkcją charakteryzującą układ mechaniczny, której wartość stanowi różnica energii kinetycznej Ek i potencjalnej V układu: L = Ek - V

33. SYMETRIA W FIZYCE – z naszego podwórka W programie gimnazjum trudno jest znaleźć omawiane wcześniej informacje – można o nich jedynie czytać w Internecie czy też podręcznikach dla studentów. Zobaczmy, co my gimnazjaliści możemy powiedzieć o symetrii w fizyce. Zacznijmy od wyglądu struktur krystalicznych: Od najdawniejszych czasów kryształy zachwycały swoim pięknem, barwą, połyskiem. Ciała te, oprócz interesującego wyglądu, mają wiele ciekawych właściwości fizycznych i chemicznych. Znalazły więc wiele zastosowań w różnych dziedzinach naszego życia.

34. SYMETRIA W FIZYCE – z naszego podwórka Czym jest kryształ? Można go rozpoznać po ostrych krawędziach i płaskich, gładkich powierzchniach. Kryształ jest ciałem stałym o regularnej budowie wewnętrznej, w której można wyróżnić  elementy symetrii: środki, osie, płaszczyzny. Atomy i cząsteczki  w kryształach są poukładane w równych odstępach. Jeżeli całe ciało stałe składa się z jednego dużego kryształu to mówimy o monokrysztale. Może też być zlepkiem wielu drobnych kryształów i wówczas mówimy o polikryształach. Kryształ mogą tworzyć atomy jednego pierwiastka lub atomy różnych pierwiastków występujących w danym związku chemicznym. Przykładem kryształu utworzonego z jednakowych atomów węgla jest diament, a przykładem kryształu utworzonego z różnych atomów tworzących związek chemiczny jest rubin. Większość naturalnych i sztucznie otrzymywanych substancji w stanie stałym zbudowana jest z kryształów. Ciało stałe mające nieuporządkowane atomy zwane  jest ciałem bezpostaciowym lub amorficznym. Ciałami bezpostaciowymi są: szkło, wosk, tworzywa sztuczne a także wspomniane wyżej: bursztyn, opal, agat. Rubin Diament Tak więc wazony szklane pospolicie zwane kryształami wcale nimi nie są!

35. SYMETRIA W FIZYCE – z naszego podwórka Obserwując kryształy, można dojść do wniosku, że maja one nie tylko formę wielościanów wypukłych, ograniczonych ścianami płaskimi, ale że wykazują również zjawiska symetrii. Istnieją trzy rodzaje symetrii względem trzech jej elementów: prostej, płaszczyzny oraz punktu. Środek symetrii (C) - jest umownym punktem wewnątrz kryształu pokrywającym się z jego środkiem ciężkości. W kryształach posiadających środek symetrii każda ściana, krawędź i wierzchołek mają identyczny i równoległy do niej odpowiednik położony po przeciwnej stronie kryształu. Oznacza to że każda prosta poprowadzona przez środek symetrii przejdzie przez dwa identyczne elementy na powierzchni kryształu. Płaszczyzna symetrii (P) - jest umowną płaszczyzną która dzieli kryształ na dwie identyczne części. Kryształy mogą w ogóle nie posiadać płaszczyzn symetrii lub też można wyróżnić ich kilka w jednym krysztale. Oś symetrii (L) jest umowną prostą przechodzącą przez kryształ.

36. SYMETRIA W FIZYCE – z naszego podwórka W krysztale mogą współwystępować ze sobą różne elementy symetrii. Dla każdego kryształu istnieje jednak ich ściśle określony zespół zwany klasą symetrii. Wiele minerałów mimo istotnych różnic w składzie chemicznym może wykazywać ten sam zespół elementów symetrii i należeć do tej samej klasy. Wyróżniono tylko 32 klasy symetrii. Ich nazwy pochodzą od postaci o największej ilości ścian w danej klasie. W każdej klasie istnieją zestawy postaci krystalograficznych. Postacie te można otrzymać z jednej dowolnej ściany przy zastosowaniu elementów symetrii występujących w danej klasie. W sumie wydzielono 47 takich postaci z czego 15 jest regularnych a 32 nieregularne. Należy przy tym zauważyć że niektóre postacie krystalograficzne powtarzają się w kilku klasach. NaCl Symetrię kryształu wyznacza się poprzez podanie zabiegu symetrii przekształcających kryształ sam w siebie.

37. SYMETRIA W FIZYCE – przykłady kryształów Blenda cynkowa Sfaleryt inaczej zwany blendą cynkową jest siarczkiem cynku i żelaza (Zn, Fe) S w kolorach brązowy, żółty, czerwony, zielony, czarny i może być błyszczący lub matowy. Niektóre okazy mają czerwone opalizację w czarnych i szarych kryształach. Jest kruchy, przezroczysty, zawiera domieszki żelaza, kadmu, manganu, talku, indu, ołowiu, srebra. Zwykle tworzy zbite, ziarniste, nerkowate formy naciekowe bądź wrostki i wypryśnięcia Sfaleryt posiada sześciokątny układ krystaliczny. Cynk i atomy siarki są czworościanami skoordynowanymi i podobnymi do struktury diamentu. Model diamentu Wniosek: Atomy sfalerytu ustawiają się w porządku sześciokątnym, czyli istnieje pewna symetria, a to pociąga za sobą ważne własności fizyczne np. łupliwość (pęka wzdłuż płaszczyzny łupliwości).

38. SYMETRIA W FIZYCE – przykłady kryształów Grafit Grafit występuje w przyrodzie w postaci  minerału. Jego złoża znajdują się  w Austrii, Brazylii, Chinach, Indiach, Korei Południowej, Madagaskarze Sieć grafitu składa się z płaskich warstw nałożonych jedna na drugą. Każda warstwa ma strukturę plastra miodu - atomy węgla ułożone są w regularne sześciokąty. Odległości między atomami węgla w kolejnych "plastrach" jest większa niż w obrębie warstwy. Powyższy charakter budowy przestrzennej grafitu powoduje tworzenie się łusek nawet przy największym rozdrobnieniu; tym tłumaczy się jego własności smarne oraz małą twardość w jednym kierunku. Model grafitu Wniosek: Heksagonalna struktura grafitu pozwala na użycie go w ołówkach – pisząc ścieramy kolejne płaszczyzny (plastry).

39. SYMETRIA W FIZYCE – przykłady kryształów Chlorek sodu Sól kuchenna – nieorganiczny związek chemiczny, sól kwasu solnego (kwasu chlorowodorowego) i sodu. Czasami zapisuje się również ją jako sól kwasu solnego i wodorotlenku sodu (HCl + NaOH → NaCl + H2O). Sól w życiu codziennym stosowana jest jako konserwant i przyprawa Kryształy soli kamiennej Przeważającą postacią kryształów chlorku sodu jest sześcian. Model kryształu chlorku sodu (w przestrzeni) Model kryształu chlorku sodu (na płaszczyźnie)

40. SYMETRIA W NASZYCH BADANIACH Zbadamy, czy środek ciężkości ciała ma związek z symetrią tego ciała? Doświadczenie: Weźmy dowolny przedmiot o w miarę symetrycznych kształtach i postarajmy się podeprzeć go w jednym miejscu tak, aby go w całości utrzymywać. Z wykonanych prób doświadczenia wynika zasadniczy – praktyczny, wniosek - nie łatwo jest znaleźć odpowiednie miejsce, w którym podpierając przedmiot utrzyma go się w równowadze. Środek ciężkości, wg autora, znajduje się bliżej rąk, na prawo od osi symetrii. http://my.opera.com/The_CoB/blog/index.dml/tag/%C5%9Brodek%20ci%C4%99%C5%BCko%C5%9Bci%20w%20mostku

41. SYMETRIA W NASZYCH BADANIACH Wyznaczanie środka ciężkości w figurach płaskich Znaleźliśmy środek ciężkości widelca!!!!

42. SYMETRIA W NASZYCH BADANIACH Wyznaczanie środka ciężkości w figurach płaskich

43. SYMETRIA W NASZYCH BADANIACH Wyznaczanie środka ciężkości w figurach przestrzennych To zadanie okazało się o wiele trudniejsze od poprzednich….

44. SYMETRIA W NASZYCH BADANIACH Środek ciężkości ciała, to taki szczególny punkt (czasami może on nawet nie zawierać się w obrębie ciała), że po podparciu w tym punkcie za pomocą siły przeciwnej do siły grawitacji (równoważącej tę grawitację), grawitacja nie spowoduje obrotu tego ciała. I to bez względu na początkowe ustawienie – nachylenie. Twierdzenie: Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii. Wnioski końcowe z naszych obserwacji: 1.     Środek ciężkości figur płaskich i o regularnych kształtach leży w ich środku symetrii. 2.     Środek ciężkości foremnych i jednorodnych brył takich jak np. kula, sześcian, znajduje się w ich środku symetrii. 3.     Środek ciężkości figur mających oś symetrii np. stożka znajduje się na osi symetrii, pokrywających się z jego wysokością. deska snowboardowa

45. SYMETRIA – ZADANIA ZAD. a) Które z liter alfabetu mają środek symetrii ? b) Wyraz ONO jest środkowosymetryczny. Ułóż kilka innych wyrazów środkowosymetrycznych. Odpowiedź: a) O, S, Z, H, X b) IXI, ZOZ, SOS ZAD. Oblicz ,dla jakich wartości parametru m i n punkty A i B są symetryczne względem osi x gdy : A=(3,−n) i B = (m+2,1) Odpowiedź: xa = xb 3=m+2 czyli m=1 ya= -yb −n=-1 czyli n=1 stąd A=(3;−1) B=(3;1)

46. SYMETRIA – ZADANIA ZAD. Czworokąt ABCD ma środek symetrii. Znajdź współrzędne punktu D jeżeli : A=(-4,-1), B=(3,-1), C=(5,3). Odpowiedź uzasadnij. Odp. D=(-2,3) Czworokąt ABCD z założenia ma środek symetrii, zatem punkty D i B muszą być symetryczne względem środka przekątnej AC.

47. SYMETRIE - podsumowanie Pojęcie symetrii jest jednym z najważniejszych narzędzi pojęciowych współczesnej nauki. Chociaż wszyscy rozumiemy i w większości uznajemy ją intuicyjnie , to nie zawsze ściśle odpowiadamy, co to znaczy, że coś jest symetryczne (np. okrąg ma więcej symetrii niż nieregularny wielobok). Nauka wymaga ścisłej definicji. ZAPAMIĘTAJ! Rysunek na płaszczyźnie jest symetryczny, jeśli można wziąć jego kopię, przenieść w inne miejsce (do nowej lokalizacji) i ustawić ją z powrotem na oryginalny rysunek tak, aby dokładnie sobie odpowiadały. Od Autorów: Zdajemy sobie sprawę, że nie wyczerpaliśmy tematu symetrii w naszym opracowaniu. Zapewne jeszcze nie raz wrócimy do tematu przy okazji zajęć w szkołach ponadgimnazjalnych, czy dla niektórych, na uczelniach wyższych. Wówczas nasze spostrzeżenia będą szersze i bogatsze w przykłady.

48. SYMETRIA – CYTATY „ Wszechświat zbudowany jest na planie głębokiej symetrii, która jest obecna w wewnętrznej strukturze naszego umysłu” - Paul Valery • „Czar, doskonałość, symetria • jak w greckiej rzeźbie.” • Margaret Mitchell Pisarka amerykańska - Margaret Mitchell Poeta i eseista francuski - Paul Valery

49. BIBLIOGRAFIA • www.wikipeda.org • www.medianauka.pl • www.matematyka.pisz.pl • www.matematyka.wroc.pl • Podręcznik Matematyka z plusem1.gwo • www.jlsigrist.com/symetrie.pdf • www.slidehare.net/total/symmetry-around-us-StanyZjednoczone • Encyklopedia PWN matematyka • Symetria w muzyce Anna Brożek Warszawa 2006 • www.wiki.wolnepodreczniki.pl • www.wsipnet.pl

50. UCZESTNICY PROJEKTU Katarzyna Gruszka Kornela Płaza Agnieszka Nowak Ilona Hadryś Monika Czapczyńska Klaudia Kasprzak oraz nasza koleżanka Ania Orszulak Dominika Bieda- kronikarz Daria Gruszka Bartłomiej Gruszka Katarzyna Grzesiak