Congruencias y semejanzas de figuras planas

1. Congruencias y semejanzas de figuras planas

2. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas

3. Ejemplos de Congruencia • . ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTASNOSON FIGURAS CONGRUNTES

4. Congruencia • . • Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensión.

5. Criterios de congruencia

6. Triángulos congruentes • Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. D A B C E F ABC  DEF

7. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si: • Sus lados correspondientes son iguales • Sus ángulos correspondiente son iguales. • En la figura

8. POSTULADOS DE CONGRUENCIA • Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes. • Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. • Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. • Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

9. Postulado LLL • Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A D C B F E ABC  DEF

10. Postulado ALA • Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. B A C E D ABC  CDE

11. Postulado AAL • Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A D F C B E ABC  EFD

12. Postulado LAL • Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. B E A C D F ABC  DEF

13. Ejemplos • Ejemplos: • 1)  En la figura, se tiene un triángulo ABC  isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?

14. Ejemplos • 2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones. • Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?

15. Ejemplos

16. Ejemplos

17. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

18. TEOREMA DE THALES

19. TEOREMA DE THALES

21. PROPIEDAD BASE MEDIA B N M A C

22. FIGURAS SEMEJANTES

23. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes 23

24. Semejanza • Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

25. es la razón de semejanza SEMEJANZA • Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.

26. El cociente se llama razón de semejanza. SEMEJANZA Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

27. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 27

28. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 28

29. Criterios de semejanza de triángulos • existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

30. Existen tres criterios de semejanza de triángulos • AA ( ángulo-ángulo) • LLL (lado-lado-lado) • LAL (lado-ángulo-lado)

31. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA Criterio AA de semejanza.  Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos  ángulos  correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”. Criterio LAL de semejanza.  Teorema: “ Dos  triángulos  son  semejantes   si   tienen   un   ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”. Criterio LLL de semejanza.  Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

32. A´ A a´ a b g B C g´ b´ C’ B´ Primer criterio AA • Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. Si a = a´ , b = b´ Es decir: de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

33. 65 25 65 25 Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

34. A´ A b b´ a a´ c B C c´ C’ B´ II. Segundo criterioLLL • Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. Es decir: El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. =K = = a a´ b b´ c c´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

35. P B 1,5 C 3,5 1,5 3 3,5 7 5 10 7 5 10 A Q 3 R Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

36. A´ A a a´ a C B a´ c C’ B´ c´ a a´ c c´ y a = a´ III. Tercer criterioLAL • Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. Es decir: = Entonces D ABC semejante a D A´B´C´

37. D A 9 E 3 3 9 12 C B 4 12 F Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales 4 = Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

38. Algunas aplicaciones de estos conceptos

39. 65 12 8 78 10 52 52 8 65 10 78 12 Ejercicio • Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. • a) 8 cm, 10 cm, 12 cmb) 52 cm, 65 cm, 78 cm Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 Representemos el ejercicio Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

40. x 5 3 y 4 z X 3 Y 4 Z 5 Ejercicio • Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. = 9 Representamos la situación 12 = =15 Luego, debe ocurrir: 3 1 Entonces: X 3 X= 3· 3 = 9 = = = =3 = 3 Y 4 =12 Y = 4· 3 Escala de ampliación =3 La razón de semejanza es 3 Z 5 Z = 5 · 3 = 15 =3

41. 20 12 50 30 16 40 Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 30 12 40 16 50 20 = =

42. Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo poste x 3m 2m sombra 4,5m 3 x 2 4,5 3 • 4,5 2 = X = Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto = 6,75m De donde Formamos la proporción