DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum im. gen. Dezyderego Chłapowskiego • ID grupy: 98/43_MF_G2 • Kompetencja: Matematyka i Fizyka • Temat projektowy: „W świecie liczb” • Semestr/rok szkolny: II semestr 2010/2011

3. SPIS TREŚCI WSTĘP .................................................................. 4 EUKLIDES ............................................................. 7 ZBIORY LICZBOWE .............................................12 RODZAJE LICZB ..................................................18 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH ........ 29 ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE ..................33 KRZYŻÓWKI LICZBOWE .................................... 48 CECHY PODZIELNOŚCI ..................................... 58 SYSTEM DZIESIĄTKOWY .................................. 64 LICZBY LILIPUTY ................................................ 67 WNIOSKI KOŃCOWE .......................................... 73 BIBLIOGRAFIA .................................................... 74

4. WSTĘP Liczba to pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi). Nie można wyobrazić sobie życia bez liczb!

5. WSTĘP Każdy uczeń powinien znać zasady działań na liczbach oraz wykorzystywać własności liczb i działań do wykonywania rachunków. Od wielu lat uczymy się liczyć, ale stale popełniamy błędy. Na zajęciach projektowych mieliśmy okazję powtórzyć i utrwalić naszą wiedzę na temat liczb. Mogliśmy zastanowić się dlaczego podczas liczenia tak często się mylimy. Skupiliśmy się na tych zagadnieniach dotyczących liczb, które przydadzą się na lekcjach matematyki, fizyki oraz podczas egzaminu gimnazjalnego.

6. WSTĘP Naszą prezentację rozpoczynamy od przedstawienia uczonego, który żył wiele lat temu, o którym nie słyszeliśmy wcześniej. Nie zdawaliśmy sobie sprawy, że zagadnienia, o których uczymy się na lekcjach matematyki zostały opisane wiele lat przed naszą erą przez Euklidesa! Okazuje się, że matematyka jest ponadczasowa!

7. EUKLIDES Z ALEKSANDRII Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

8. HISTORIA Euklides to autor pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło to Elementy (tytuł grecki Stoicheia geometrias). Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb. Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Elementy były bardzo poczytne - przetłumaczono je na olbrzymią liczbę języków, zaś liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Euklides usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, optyki (m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki. Dostępne jest tłumaczenie pierwszych ośmiu ksiąg z 1817 dokonane przez Józefa Czecha na język polski napisane językiem staropolskim. Aktualnie trwają prace nad projektem badawczym "Księgi Euklidesa", mającym za cel przetłumaczenie na język polski przekładu angielskiego dokonanego i opublikowanego przez amerykańskiego profesora matematyki Davida Joyce'a. W projekcie tym biorą udział uczniowie szkół ponadpodstawowych.

9. ALGORYTM EUKLIDESA Algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. Algorytm wymyślił Eudoksos z Knidos (IV wiek p.n.e.) a Euklides jedynie zawarł go w swoim dziele Elementy. W algorytmie wykorzystywana jest zależność

10. GEOMETRIA EUKLIDESOWA Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy(z III w.p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. Podejście Euklidesa zaowocowało nietypowym przejawem kultury matematycznej starożytnych Greków – twierdzenia geometryczne chętnie dowodzili oni za pomocą cyrkla i liniału, czyli kreśląc okręgi i proste. Ograniczenia te nazywa się dziś konstrukcjami klasycznymi. W 1833 r. udowodniono, że wszystkie takie konstrukcje można wykonać także przy pomocy samych prostych, o ile tylko dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. (twierdzenie Ponceleta-Steinera); co więcej można je wykonać za pomocą samego cyrkla (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).

11. AKSJOMATY EUKLIDESOWE W ujęciu tradycyjnym, nazywanym geometrią syntetyczną, geometria euklidesowa przedstawiana jest jako system aksjomatyczny, w którym wszystkie twierdzenia muszą wynikać z aksjomatów, czyli zdań przyjmowanych z góry jako prawdziwe. W podanym przez siebie systemie Euklides wyróżnił pięć aksjomatów lub pewników płaszczyzny nazywanej później również euklidesową: Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. Wszystkie kąty proste są przystające. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony. Dla geometrii na płaszczyźnie piąty z aksjomatów, tzw. postulat Euklidesa lub postulat równoległości, można sformułować również następująco: „przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą”.

12. ZBIORY LICZBOWE ZBIÓR LICZB NATURALNYCH ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH ZBIÓR LICZB WYMIERNYCH ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH

13. ZBIORY LICZBOWE Samo pojęcie zbioru liczbowego należy do pojęć pierwotnych, których się nie określa. W literaturze można się spotkać z określeniami przestrzeni, rodziny czy mnogości - wszystkie oznaczają to samo. Zbiór. Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami, natomiast elementy zbioru małymi. Może się to wydać logiczne, ale warto zaznaczyć, że zbiór elementów, które mają określoną własność Q, to zbiór wszystkich i dokładnie tylko takich elementów, które mają tę własność.

14. LICZBY NATURALNE Liczby naturalne- to liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

15. LICZBY CAŁKOWITE Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie N +={1,2,3,…}oraz liczby przeciwne do nich {-1,-2,-3,…}a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są liczby naturalne.

16. LICZBY WYMIERNE Liczby wymierne jest to zbiór liczb całkowitych i niecałkowitych. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w formie ułamka zwykłego , gdzie n, m to liczby całkowite i m różne jest od 0. Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne. Liczby wymierne są to wszystkie liczby naturalne, całkowite i ułamki: np.

17. LICZBY NIEWYMIERNE Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przykłady liczb niewymiernych:

18. RODZAJE LICZB LICZBY PIERWSZE LICZBY ZŁOŻONE LICZBY PRZECIWNE LICZBY ODWROTNE LICZBY RZYMSKIE

19. LICZBY PIERWSZE Liczby pierwsze – liczby naturalne, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itd.

20. LICZBY ZŁOŻONE Liczby złożone – liczby naturalne większe od 1 nie będące liczbą pierwszą, tj. mające co najmniej jeden naturalny dzielnik różny od jedności i niej samej, np. 4, 6, 8 ,9 ,20 ,125

21. LICZBY PRZECIWNE Liczba przeciwna do danej liczby „a” to taka liczba „-a” że zachodzi: a + (-a) = 0, gdzie jest elementem zerowym działania dodawania. Przykład: Liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3 W szczególności: liczbą przeciwną do zera jest zero. liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.

22. LICZBY ODWROTNE Liczba odwrotna do danej liczby a to taka liczba Przykład: Liczbą odwrotną do liczby 3 jest Liczbą odwrotną do liczby 15 jest

23. LICZBY RZYMSKIE Liczby rzymskie zapisujemy za pomocą liter: I – co znaczy 1 II – co znaczy 2 III – co znaczy 3 IV – co znaczy 4 V – co znaczy 5 X – co znaczy 10 L – co znaczy 50 C – co znaczy 100 D – co znaczy 500 M – co znaczy 1000

24. HISTORIA LICZB RZYMSKICH System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 lat p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym. Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur (oznaczający 5000, oraz 10000). Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. Wpisanie liczby pomiędzy 2 znaki I oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez 1000.

25. A CO JEŚLI CHCESZ ZAPISAĆ LICZBE 49 LUB 158 ? Żeby napisać liczby takie jak 49, czy 158 trzeba znać jeszcze liczby takie jak: 20=XX 30=XXX 40=XL 60=LX 70=LXX 80=LXXX 90=XC 110=CX 200=CC itd.

26. JAK TO DZIAŁA? Po prostu, żeby zapisać np. liczbę 196 to sobie przypominamy ile to jest 100 [C], ile to jest 90 [XC] i ile to jest 6 [VI]. A potem to wszystko łączymy, czyli: 196 = CXCVI.

27. ZADANIA ZAD.1 Napisz liczby arabskie w systemie rzymskim. 69= LXIX 259= CCLIX 2458= MMCDLVIII 907= CMVII 669= DCLXIX 589= DLXXXIX 697= DCXCVII 1794= MDCCXCIV

28. ZADANIA ZAD.2 Zamień liczby rzymskie na liczby arabskie. CCLIX= 259 CMXXXI= 931 DCCLXXVII= 777 CCCVI=306 MMMDCLIV= 3654 DXXVIII= 528 XXXIV= 34 DCCCLXVI= 866

29. DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH Aby dobrze wykonywać działania na liczbach, należy znać zasady działań oraz stosować prawidłową kolejność działań. Sprawdziliśmy nasze umiejętności obliczając wartość liczbową następującego wyrażenia: Prawidłowy wynik wynosi –144.

30. DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH Niestety, nie wszyscy otrzymali prawidłowy wynik. Tylko 4 osoby miały wynik –144. Inne wyniki to np. –2,4; -27; -23,04; -140. Zatem musieliśmy solidnie poćwiczyć działania na liczbach. Przy okazji nauczyliśmy się zapisywać piętrowe ułamki przy pomocy edytora równań MICROSOFT EQUATION 3.0. To bardzo przydatna umiejętność!

31. DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH

32. DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH

33. ROZKŁAD LICZB NA CZYNNIKI PIERWSZE Rozkład liczb na czynniki pierwsze – to przedstawienie danej liczby złożonej w postaci iloczynu czynników pierwszych Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest kolejne dzielenie. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę (56). Jest to 2. Dzielimy: 56/2=28. Powtarzamy tę czynność dla kolejnych wyników, aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby. Na schemacie znajdują się one po prawej stronie. 56=2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7

34. NWW, CZYLI NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ Żeby obliczyć NWW należy posłużyć się rozkładem na czynniki pierwsze. Mamy np. 18 i 24. Po rozkładzie na czynniki pierwsze 18=2·3·3 a 24=2·2·2·3. Z obu liczb usuwamy te, które się powtarzają (można je podkreślić), a następnie trzeba pomnożyć przez siebie liczby które zostały, czyli z liczby 18 zostało 3 a z liczby 24 zostało 4. Potem mnożymy 18 przez 4 lub 24 przez 3 i wyjdzie najmniejsza wspólna wielokrotność. Jedną z liczb mnożymy przez niepodkreślone czynniki pierwsze drugiej liczby. 18*4=72 24*3=72

35. ZADANIE TŁUMACZĄCE Jedną z liczb mnożymy przez niepodkreślone czynniki pierwsze drugiej liczby. 18 ∙ 4=72 24 ∙ 3=72

36. WSPÓLNY MIANOWNIK NWW jest przydatna, gdy trzeba ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika. ZADANIE Sprowadź do wspólnego mianownika i dodaj ułamki:

37. Rozkładamy liczby z mianowników na czynniki pierwsze. Podkreślamy powtarzające się czynniki. Obliczamy NWW. NWW(72,44) = 72 · 11 = 792 lub NWW(72,44) = 44 · 18 = 792

38. Wspólny mianownik to 792. Wykonujemy dodawanie ułamków.

39. NWD, CZYLI NAJMNIEJSZY WSPÓLNY DZIELNIK Umiemy wyznaczyć NWD przy pomocy algorytmu Euklidesa. Innym sposobem jest skorzystanie z rozkładu na czynniki pierwsze. Trzeba podkreślić wspólne czynniki pierwsze, ich iloczyn jest równy NWD. PRZYKŁAD Znajdź NWD(525,330)

40. Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i podkreślamy wspólne czynniki. NWD(525,330) = 5 · 3 = 15

41. ZADANIE Kasia ma tasiemkę długości 132 cm, a tasiemka Ewy ma 165 cm. Dziewczyny postanowiły powiązać do dekoracji świątecznej jak największe, ale jednakowe kokardy. Na jakiej długości kawałki muszą pociąć swoje tasiemki? NWD(165,132) = 3 · 11 = 33 ODP. Dziewczyny muszą pociąć tasiemki na kawałki o długości 33 cm.

42. PIERWIASTKOWANIE Obliczanie pierwiastka z danej liczby jest związane z potęgowaniem, jest to działanie odwrotne do potęgowania. Chcąc obliczyć √25 (czytaj: pierwiastek kwadratowy z 25), szukamy takiej liczby dodatniej, której kwadrat jest równy 25. √25=5, bo 5 > 0 i 52 = 25

43. PIERWIASTKOWANIE c.d Nie każdą liczbę wymierną można spierwiastkować.Nie da się wykonać w liczbach wymiernych pierwiastkowania √2, ponieważ nie istnieje taka liczba wymierna, która podniesiona do potęgi drugiej da 2. Wśród liczb naturalnych - liczby, na których da się wykonać pierwiastkowanie stopnia drugiego rozmieszczone są bardzo rzadko. Są to liczby kwadratowe: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

44. PRZYKŁADY PIERWIASTKOWANIA √4 = 2 bo, 2*2 lub 22 = 4 √9 = 3 bo, 3*3 = 9 √16 = 4 bo, 4*4 = 16 √25 = 5 bo, 5*5 = 25

45. WYKORZYSTANIE ROZKŁADU NA CZYNNIKI PIERWSZE DO PIERWIASTKOWANIA DUŻYCH LICZB Na Egzaminie Gimnazjalnym nie wolno używać kalkulatorów, a czasami trzeba wyciągnąć pierwiastek z dużej liczby. Nie ma czasu na szukanie wyniku metodą prób i błędów. Wtedy rozkład na czynniki pierwsze jest nieoceniony.

46. PRZYKŁAD Wyciągnij pierwiastki: Najpierw rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a potem korzystamy z wzorów:

47. 4356 3375 2 5 2178 675 2 5 1089 135 3 5 27 363 3 3 121 9 3 11 3 11 3 11 1 1 4356 = 22 · 32 · 112 3375 = 53 · 33

48. KRZYŻÓWKI LICZBOWE Działania na liczbach mogą dostarczyć wspaniałej rozrywki. Zabawy z krzyżówkami liczbowymi lub kwadratami magicznymi świetnie ćwiczą nasz umysł. Jednocześnie bawiąc się utrwalamy zasady działań

49. KRZYŻÓWKI LICZBOWE Zasady krzyżówki liczbowej nr.1 W puste pola (sześciokąty) wpisz liczby od 1 do 8, tak aby spełnione były następujące warunki: -każda liczba powtarza się dwa razy, -liczby leżące wokół jednego kwadratu (dużego i małego) są różne -suma czterech liczb wokół każdego pomarańczowego kwadratu (większego) jest równa liczbie znajdującej się w tym kwadracie, -suma czterech liczb wokół każdego czerwonego kwadratu (mniejszego) jest równa liczbie znajdującej się w tym kwadracie.

50. Zasady krzyżówki liczbowej nr. 2 W każdą pustą kratkę należy wpisać jedną z liczb od 1 do 9 (zero nie) – taką aby spełnione były dwa warunki: -liczby wpisane we wszystkie kratki stykające się bokiem lub wierzchołkiem (rogiem) z każdym czerwonym polem powinny być różne, a ich suma musi być równa liczbie w tym sąsiednim polu, -liczby wpisane w ten sam wiersz (kolumnę) powinny być różne.