260 likes | 464 Views
II Tutorial z Metod Obliczeniowych. Rozwiązywanie prostych tarcz w płaskim stanie naprężenia przy wykorzystaniu skryptu napisanego w programie Matlab. Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo. Dany układ o narzuconej siatce elementów skończonych w PSN:.
E N D
II Tutorial z Metod Obliczeniowych Rozwiązywanie prostych tarcz w płaskim stanie naprężenia przy wykorzystaniu skryptu napisanego w programie Matlab. Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo
Numeracja węzłów oraz elementów skończonych • Węzły i elementy można numerować w dowolny sposób • Dla analizowanego układu istnieje 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 różnych numeracji węzłów • Numeracja węzłów i elementów nie ma wpływu na uzyskane w skrypcie wyniki: przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia, siły … • Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym układzie w następujący sposób: • [ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1 • [ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2
Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów • Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym układzie w następujący sposób: • [ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1 • [ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2 • Ponieważ numeracja stopni swobody jest obliczana na podstawie wzorów, to nie musimy jej wprowadzać do programu Matlab, gdyż policzy on ją sobie sam • Numeracja stopni swobody jest potrzebna przy definiowaniu warunków podparcia oraz obciążeń
Definiowanie danych wejściowych • W PSN jednemu węzłowi są przypisane 2 stopnie swobody: translacja na kierunku x, translacja na kierunku y • Przyjmujemy, że analizowana tarcza ma jednostkową grubość
Zdefiniowanie macierzy [wsp], określającej współrzędne wszystkich węzłów • Układ globalny przyjmujemy dowolnie • Dla przyjętego układu współrzędnych, w macierzy [wsp] wpisujemy współrzędne (x,y) kolejnych węzłów w następujący sposób: • [ wsp ] = [nr węzła, współrzędna x, współrzędna y]
Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych
Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych • Przy podawaniu kolejnych węzłów dla każdego elementu należy pamiętać, że podajemy je w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara • Natomiast nie ma znaczenia który węzeł wpiszemy jako pierwszy dla danego elementu • Dla przyjętej numeracji węzłów, w macierzy [wezly] wpisujemy numery elementów oraz odpowiadające im numery kolejnych węzłów w następujący sposób: • [ wezly ] = [nr elementu, węzeł nr 1, węzeł nr 2, węzeł nr 3 ]
Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ]
Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ] • W macierzy [bcdof] podaje numery zablokowanych stopni swobody • W macierzy [bcval] definiuje odpowiadające zablokowanym stopniom swobody przemieszczenia • Dla zdecydowanej większości będą one równe zero, jednak w przypadku istnienia jakiejś imperfekcji, należy jej wartość wpisać w macierzy [bcval]
Etap obliczeń • Na podstawie wprowadzonych danych skrypt wykonuje obliczenia automatycznie, więc rola użytkownika ogranicza się do ich zdefiniowania • Pod tym względem program jest podobny do komercyjnych programów metody elementów skończonych • Jednak w przeciwieństwie do tych programów obliczeń nie wykonuje „czarna skrzynka”, lecz funkcje zdefiniowane przez nas w Matlabie • Umożliwia to nam prześledzenie w jaki sposób są wykonywane obliczenia oraz łatwą ewentualną ich modyfikację
Obliczenie macierzy konstytutywnej D Dla elementu w płaskim stanie naprężenia zależność między naprężeniami i odkształceniami wyraża macierz konstytutywna następującej postaci: W skrypcie macierz konstytutywna dla danych E i v jest definiowana za pomocą funkcji: D_zw_konst(E,v)
Uwzględnienie warunków brzegowych przezmodyfikację globalnej macierzy sztywności
Obliczenie przemieszczeń węzłowych Niewielka wartość obciążenia sprawiła, że w kierunku x decydujący wpływ na uzyskane wartości przemieszczeń miała imperfekcja.
Obliczenie sił elementowych • Podane powyżej wartości zostały zaokrąglone do liczb całkowitych • W kolejnych wierszach znajdują się wartości sił elementowych dla kolejnych elementów • Np. w drugim wierszu znajdują się wartości sił elementowych dla drugiego elementu skończonego • W pierwszej, trzeciej i piątej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku x, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly] • Natomiast w drugiej, czwartej i szóstej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku y, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly]
Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji • Przy rysowaniu sił elementowych dla danego węzła należy zwrócić uwagę na znak siły elementowej, który decyduje o zwrocie działania siły • Jeśli siła elementowa ma wartość ujemną, to działa w kierunku przeciwnym do kierunku przyjętego w węzłowym układzie lokalnym • W celu weryfikacji uzyskanych sił elementowych należy sprawdzić czy w każdym węźle spełniony jest warunek równowagi dla obu kierunków • W celu obliczenia reakcji należy zsumować wszystkie siły elementowe działające w danym węźle na kierunku reakcji • Zarówno dane jak i wyniki należy podać w układzie SI (m,N,Pa)