“Il Piano cartesiano e la retta” realizzato dagli studenti della 2ª B Aielli Luca Pasquini Daniele Rosato Anna

1. “Il Piano cartesiano e la retta”realizzato dagli studenti della2ª BAielli LucaPasquini DanieleRosato Anna

2. Le coordinate di un punto • Le coordinate servono per determinare un punto all’interno di un piano. • La prima coordinata si riferisce all’asse delle ascisse e la seconda all’asse delle ordinate.

3. Esistono due forme generiche per rappresentare l’equazione della retta: • Forma implicita → • Forma esplicita → dove: il coefficiente angolare → termine noto →

4. Il coefficiente angolare • Indica l’inclinazione della retta rispetto all’asse X; se è positivo l’inclinazione sarà < di 90°, se è negativo l’inclinazione sarà > di 90° • Avendo due punti può essere calcolato attraverso la seguente formula: • avendo l’equazione della retta (in forma esplicita) si calcola facendo il rapporto tra a e b

5. Il termine noto • Viene indicato con la lettera “q” e indica il punto d’intersezione con l’asse delle ordinate.

6. Come si rappresenta una retta?

7. Avendo due o più punti: • Si disegnano all’interno del piano e si traccia la retta passante per essi. Esempio: A (3;5) B (1;2)

8. Avendo l’equazione della retta: • Si dà un valore a una delle due incognite e si trova il valore dell’altra incognita risolvendo l’equazione. Questa operazione va svolta almeno 2 volte. I dati si riportano in tabella Esempio: • se x vale 1 • se x vale 2

9. Avendo l’equazione della retta in forma esplicita: • Si trova il punto d’intersezione con l’asse y (che è il valore della q). • Il secondo punto si trova utilizzando il coefficiente angolare m, infatti il denominatore di esso indica lo spostamento in orizzontale partendo dal punto (o;q), mentre il numeratore indica lo spostamento in verticale. • Infine si unicono i due punti e si trova la retta.

10. Esempio: • il numero “-b” ci dice lo spostamento in verticale partendo dal punto (0;-c/a) e il numero “a” lo spostamento in orizzontale partendo sempre dal punto (0;-c/a). • Rappresentiamo ora • ci spostiamo di 3 in verticale e 2 in orizzontale partendo dal punto d'intersezione con l'asse y che sarà 1/2

11. Come si rappresenta una retta parallela agli assi ? • Sappiamo che quando un retta è parallela all’asse x l’equazione è by+c=0 e quando una retta è parallela all’asse y l’equazione è ax+c=0. • quindi se una retta sarà parallela all’asse x si ricava y e si uniscono tutti i punti che hanno quella y, e viceversa se una retta è parallela all’asse y si ricava x e si uniscono tutti i punti che hanno quella x.

12. Determinare una retta sapendo che è parallela a una data e noto un punto • Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. • Quindi • Sfruttando questo concetto sapendo il coefficiente angolare della prima retta è uguale a quello della seconda, ricavo tramite fomula inversa il termine noto • y=mx+q → q=yp-mx • Questo non vale per le rette parallele all’asse delle ordinate. Se la retta è parallela all’asse y basta scrivere x=xp → q=yp-mxp

13. Determinare una retta sapendo che è perpendicolare a una data e noto un punto • Quando due rette sono perpendicolari il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, da questo deriva che un coefficiente angolare è il reciproco opposto dell’altro. Quindi se • Dopo aver ricavato il secondo coefficiente angolare trovo il termine noto tramite formula inversa. → • Il teorema non si può applicare nelle rette parallele agli assi.

14. Come si trova l’equazione di una retta avendo 2 punti ? • Si utilizza la formula per ricavare il coefficiente angolare. Successivamente si ricava q tramite formula inversa ( q=mxa-ya o q=mxb-yb) ottenendo così l’equazione della retta. Se la retta è parallela all’asse y x = xa oppure x = xb

15. Come si calcola il punto medio di un segmento ? • Conoscendo i due estremi di un segmento: per calcolare il punto medio si utilizzano 2 differenti formule • la prima per ricavare l’ascissa del punto medio : • la seconda per ricavare l’ordinata del punto medio :

16. Come si determina l’estremo di un segmento noto il punto medio e l’altro estremo ? • Si utilizza la formula inversa del punto medio • •

17. Come si determina la distanza di una retta da un punto ? • La prima cosa da sapere è che la distanza è sempre perpendicolare alla retta. • Prendiamo per esempio la retta e il punto P (4;6)

18. tracciamo le parallele agli assi fino ad incontrare la nostra retta in due punti, che andiamo a chiamare A e B. • il punto A ha la stessa ordinata di P (6) e il punto B ha la stessa ascissa di P (4). Calcoliamo le coordinate mancanti sostituendo nell'equazione della retta. • • quindi → • → •

19. y = -4/3x+10/3 quindi yB = -4/3xB+10/3 • yB = (-4/3)*4+10/3 • yB = -16/3+10/3 • yB = -6/3 • yB = -2 • quindi A ha coordinate (-2;6) e B (4;-2) • troviamo la lunghezza AP: 4-(-2)=4+2=6 • troviamo la lunghezza BP:6-(-2)=6+2=8 • consideriamo il triangolo rettangolo ABP dove PH è l'altezza, che troviamo con la formula inversa per trovare l'area: • A = (b*h)/2 → h = (2A)/b • A è l' area e b la base.

20. Ricaviamo la base del triangolo ( l'ipotenusa AB) • √AP^2+BP^2= √6^2+8^2= √36+64= √100= 10 • Ricaviamo l' area utilizzando i cateti. • A=(6*8)/2=48/2=24 • utilizziamo la formula inversa per ricavare l'altezza. • h=(2A)/b • PH=(2*24)/10=48/10=4,8 • quindi la distanza del nostro punto P dalla retta è 4,8. • Tutto questo può essere però riassunto in una semplice formula, che è la seguente: • d=|ax0+by0+c| √a^2+b^2

21. svolgiamo l'esercizio precedente utilizzando questa formula. Per prima cosa ci scriviamo l' equazione della retta in forma implicita. • -4/3x-y+10/3=0 • Sostituiamo nella formula a, b, c, della retta ed xp e ypdel punto P. • (-4/3)*4-(1*6)+10/3= • -4/3^2+(-1)^2 • -16/3-6+10/3 = • 16/9+1 • 24/3 = • 25/9 • 8*3/5= 24/5 =4,8 • questo è un metodo più veloce da applicare per trovare la distanza di un punto da una retta.

22. Come si determina il punto d’intersezione di due rette? Il punto d’intersezione di due rette si ottiene mettendo a sistema le due rette. Esistono 4 metodi per risolvere un sistema: • metodo di sostituzione • metodo di confronto • metodo di riduzione • metodo di Cramer