1 / 28

Funções Circulares

Funções Circulares. Prof. Esp. Renato Schneider Rivero Jover renatojover@charqueadas.ifsul.edu.br www.renatomatematico.mat.br. Função Seno. O gráfico da função f(x) = sen (x):. Observação: o software aceita a função seno como sin (x). Características da função sen (x). Valor máximo: +1

mimir
Download Presentation

Funções Circulares

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Funções Circulares Prof. Esp. Renato Schneider RiveroJover renatojover@charqueadas.ifsul.edu.br www.renatomatematico.mat.br

  2. Função Seno • O gráfico da função f(x) = sen(x): Observação: o software aceita a função seno como sin(x)

  3. Características da função sen(x) • Valor máximo: +1 • Valor mínimo: -1 • sen(x) = sen(x + 2π) ou sen(x) = sen(x + 360°)

  4. Função cos(x)

  5. Características da função cos(x) • Valor máximo: +1 • Valor mínimo: -1 • cos(x) = cos(x + 2π) ou cos(x) = cos(x + 360°)

  6. Função periódica • Seja “x” um valor qualquer dentro do domínio de f(x). • Seja “a” um valor real fixo qualquer. • Se tivermos f(x) = f(x + a) para todo x e para algum “a” qualquer dizemos que a função f(x) é periódica e seu período é “a”.

  7. f(x) = f(x+a) • A imagem de f(x) se repete a cada variação de “a” • Isso acontece com sen(x) e cos(x) eis que a cada 2πrad ou 360° a imagem se repete. • Veja que isso acontece por causa da “volta completa” • Logo seno e cosseno são funções periódicas.

  8. Amplitude • A amplitude determina a altura da onda, isto é, metade da distância do menor valor da imagem e do maior valor da imagem. • Como em sen(x) e cos(x) o maior e menor valores são, respectivamente, +1 e -1, então a distância entre os pontos é de 2 unidades, logo a amplitude é de 1 unidade.

  9. Par ou ímpar • Função par: f(x) = f(-x). Característica da função cos(x). • Função ímpar: f(x) = -f(-x). Característica da função sen(x). • Existem funções que não são pares e nem ímpares.

  10. Simetria • Função par: simétrica em relação ao eixo y. • Função ímpar: simétrica em relação ao centro (origem).

  11. Movimentações no gráfico de uma função. • Translação Horizontal • Translação Vertical • Rotação em torno do eixo x • Dilatação ou compressão horizontal / vertical

  12. Estudo de seno e cossenoTranslação Horizontal • Se f(x) = cos(x) na cor branca, repare o que aconteceu com f(x) = cos(x + 2) na cor vermelha.

  13. Translação Horizontal • O gráfico de cos(x + a) é semelhante ao de cos(x), exceto pelo deslocamento à esquerda quando a > 0 ou direita quando a < 0. • Exercício: faça em seu software gráfico o gráfico das funções: • f(x) = cos(x + 3) f(x) = sen(x – 5) • f(x) = cos(x – 1) f(x) = sen(x + 0.5)

  14. Translação Vertical • Vamos comparar f(x) = sen(x)+1 (azul ciano) e f(x) = sen(x) (verde limão)

  15. Translação Vertical • Note que a constante “a” na função sen(x)+a faz o gráfico subir “a” unidades na vertical se a for maior que zero ou descer “a” unidades na vertical se a < 0. • Exercícios. Faça os gráficos de: F(x) = cos(x) – 3 f(x) = sen(x) + 1 F(x) = 6 + cos(x) f(x) = -3 + sen(x)

  16. Amplitude * Veja o gráfico de f(x) = cos(x) (amarelo) e o de g(x) = 2cos(x) (azul)

  17. Amplitude • Veja que o gráfico azul contempla mais valores de imagem sendo que Im g(x) = [-2,2]. • Ao multiplicar uma função seno ou cosseno por “a” (a > 0) estamos alterando sua amplitude para “a”. • Se a > 1, o gráfico sofre uma dilatação na vertical. • Se 0 < a < 1, o gráfico sofre compressão.

  18. Amplitude x Trans. Vertical • São duas coisas distintas: • Amplitude: altera a distância entre o maior e menor valor da imagem. • Trans. Vertical: altera os limites do intervalo do conjunto imagem preservando a distância. • Próximo slide: veja a diferença entre as funções f(x) = 2cos(x) e cos(x)+1.

  19. f(x) = 2cos(x) (azul)f(x) = cos(x) + 1 (rosa) Exercício: determine o conjunto imagem e a amplitude de cada uma das funções acima e associe com as constantes que aparecem em cada função e em cada lugar

  20. Rotação em torno do eixo x • Multiplicar a função seno ou cosseno por “-1” (ou acrescentar sinal de menos). Veja o gráfico de f(x) = sen(x) (amarelo) e –sen(x) (azul)

  21. Alteração do período • Vamos comparar f(x) = cos(x) (rosa) e g(x) = cos(2x) (branco)

  22. Período mais curto em y(x)=cos(2x) • Ao multiplicar o “x” por 2, estamos acelerando crescimento de “x”. • A cada 360°, temos uma repetição. • Se multiplicar “x” por 2, chegaremos em 360° tendo x = 180°. • Quando maior a constante “a” em f(x)=cos(ax), menor é o período, pois mais rápido alcançaremos 360°.

  23. Calculando o período • Para que haja a repetição, o objetivo é alcançar 360° ou 2π rad. • Daí o período de f(x) = cos(ax) é dado por: • ax = 2π x = • Se 0 < a < 1, então o período fica maior.

  24. Exercícios • Nos próximos slides você terá o gráfico de f(x) = sen(x) ou de f(x) = cos(x) bem como de uma outra função, respectivamente, f(x)=a.sen(px+h)+v ou f(x) = a.cos(px+h)+v. • Em cada gráfico, você deve tentar identificar os valores de “a”, “b”, “h” e “v” comparando com a função seno ou cosseno. • Dica: cos(0) = 1 e sen(0) = 0.

  25. Exercício 1 – função original em rosa

  26. Exercício 2 – função original em rosa

  27. Exercício 3 – função original em rosa

  28. Exercício 4 – função original em branco

More Related