Movimento Elíptico

1. Movimento Elíptico R. Boczko IAG-USP 26 05 07

2. Órbitas não circulares Eudoxo (Grego, 408 a.C. – 355 a.C.) As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares

3. Movimento Kepleriano Elipse Kepler Alemão 1571 - 1630

4. Estudo da elipse

5. Elipse Parábola Circunferência Hipérbole Secções Cônicas Geratriz Eixo

6. Definição de elipse e de seus elementos principais

7. R=a Traçar uma circunferência Desejo uma circunferência de raio a Comprimento do barbante = a Chão

8. Traçar uma elipse Desejo uma elipse de semidiâmetro a Comprimento do barbante = 2.a Chão

9. Definição de uma elipse Q r’ r F’ F Elipse 2a r + r’  2a

10. Elementos de uma elipse B O A a f P F e  f/a b f  ae B’ Símbolo de simetria a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor f = distância focal e = excentricidade

11. Forma da elipse em função da excentricidade e = 0,9 e = 0,7 e = 0,5 e = 0,2 Circunferência e = 0

12. f  ae Semi-eixo menor b Q = B b r r’ r + r’  2a r = r’ r = a O f f F’ F No DOBF : b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 b2 = a2 - (ae)2 b2 = a2 - a2 e2 b2 = a2(1 - e2) b = a {1- e2}

13. y b Equação da circunferência e da elipse y Q Y x a x O Circunferência x2 + Y2 = a2 Elipse x2 / a2 + y2 / b2 = 1

14. Perímetro aproximado de uma elipse O a b P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b}

15. d a b = a {1- e2} b = 1 {1- 0,016732} b = 0,999.860.043.8 P  3 p( 1+ 0,999.860.043.8 ) / 2 - {1x 0,999.860.043.8} P  8,424.188.413.1 UA  1.263.628.261,962 km v = 1.263.628.261,962 km / 365,25 d v  3.459.625 km/dia  40 km/s Velocidade média de translação da Terra v = P / T P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b} T  365,25 dias O a a = 1 UA  150.000.000 km e = 0,01673 b

16. rmédio = ? Quanto vale o raio orbital médio ao longo de um ciclo? r3 r2 r1 Elipse

17. Q'1 Q1 r' r' r r Q1 r + r' = 2a Q'1 r' + r = 2a r + r' = 2a Média (r + r') / 2 = (2a) / 2 Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior O A P F' Para todos os pares de pontos simétricos F Para um par de pontos simétricos Q1 e Q'1 r1 = a Q2 e Q'2 r2 = a ... QN e Q'N rN = a r1 + r2 + ... + rN = N.a (r1 + r2 + ... + rN ) / N = a r1 = a r = a

18. Circunferência achatada = Elipse =

19. f  ae C {1- e2} b = aC Fator de contração (C) Q = B b r r’ O f f F’ F r + r’  2a r = r’ r = a No DOBF : b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 b2 = a2 - (ae)2 b2 = a2 - a2 e2 b2 = a2(1 - e2) b = a {1- e2}

20. Convenção de representação

21. Y B P O X Quadrante de círculo & Quadrante de elipse Quadrante elíptico Y B P X O

22. = Elipse considerada como uma circunferência contraída

23. b = aC y = Y (aC/ a) y = YC Elipse = Circunferência contraída y Para a circunferência: X2 + Y2 = a2 Como x = X, então: x2 + Y2 = a2 x2 = a2 - Y2 Circunferência Q’ Y Elipse a Q b y Para a elipse: x2 / a2 + y2 / b2 = 1 (a2 - Y2 ) / a2 + y2 / b2 = 1 1 - Y2 / a2 + y2 / b2 = 1 y2 / b2 = Y2 / a2 y2 = Y2 (b2/ a2) y = Y (b/ a) x o Q” x = X

24. Áreas envolvidas com a elipse

25. Área da elipse O a F b A = .a.b

26. Área de um setor circular Medida em radianos Medida em graus c A 3600 r2 0  A 2  r2   A  O r A =  r2. 0 / 3600 A = r2.  / 2

27. Setor elíptico c A  a x O b Vamos tentar não usar! A = ( a.b / 2 ) . [ arccos ( x / a ) ] rad

28. Setor ' kepleriano' c A O  a F b

29. Q' Q' Q Y Y Yi y ASE  O P x Q" Q" x x Q' A2 =  yi. x A1 = x y /2 A1 = x (Y.C) /2 A2 =  Yi.C. x Q A1 = C (x Y / 2) Y A2 = AS . C A1 = AT .C AT yi AS y A1 A2 x Q" Q" x ASE = A1 + A2 ASE = AT .C + AS . C ASE = (AT + AS ) C AS =  Yi. x ASE = ASC . C Área de um setor de elipse r ASC  O P Setor de Elipse Setor de Círculo y = Y.C ASC = AT + AS AT = x Y / 2

30. ASC ASE P O Área de um setor de elipse C {1- e2} ASetorElíptico = ASetorCircular . C

31. Kepler e os movimentos elípticos

32. Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 ) Semi eixo menor Semi-eixo maior Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele numa órbita elíptica, sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

33. Afélioe Periélio Linha das apsides Periélio Afélio O Foco Afélio Ponto da órbita mais afastado do foco Periélio Ponto da órbita mais perto do foco

34. Apoastroe Periastro Linha das apsides Periastro Apoastro O Foco Apoastro Ponto da órbita mais afastado do foco Periastro Ponto da órbita mais perto do foco

35. Raio vetor no Afélioe no Periélio O a f A P Foco b q’ q Afélio: q’ = a + f q’ = a +ae q’ = a ( 1+e ) Periélio: q = a - f q = a - ae q = a ( 1- e )

36. Anomalias M u v

37. Movimento Médio T = Período orbital do astro: tempo para dar uma volta completa em torno do Sol n = Movimento médio: velocidade angular do astro n  3600 / T 0/dia r2 n r1 Elipse n  2p / T rad/dia

38. Anomalia Média M tP Elipse tp = instante da passagem periélica t = instante no qual se deseja a posição do astro M = Anomalia Média: ângulo que seria percorrido pelo astro, no intervalo de tempo (t - tp), se ele tivesse movimento circular uniforme M  n (t - tp) n  3600 / T

39. Q’ Y a r y v u Q” Anomalias verdadeira e excêntrica y Circunferência Q = Astro F = Sol r = raio vetor do astro v = anomalia verdadeira u = anomalia excêntrica Elipse Q x O P F

40. Q1 r' r Raio orbital r em função da anomalia verdadeira v r + r' = 2a r' = 2a - r v 180-V O f f A P F' f = ae f = ae F r'2 = r2 + (2f)2 - 2. r.(2f).cos(180-V) (2a - r )2 = r2 + 4f2+ 4. r.f.cos V 4a2 - 4ar + r2 = r2 + 4(ae)2 + 4. r.(ae).cos V 4a2 - 4ar + # = # + 4a2.e2 + 4. r.a.e.cos V 4a2 - 4a2.e2 = 4ar + 4. r.a.e.cos V 4a2 (1-e2) = 4ar ( 1 + e.cos V) C {1-e2} r = a (1-e2) / ( 1 + e.cos V) r = a C2 / ( 1 + e.cos V)

41. Obtenção daEquação de Kepler

42. Passo intermediário: v = g { u } Conseguimos: u = h { t } Objetivo de trabalho y Circunferência Desejamos: v = f { t } Q’ Elipse t a r v u P x o tP F Q”

43. b = aC y = b . senu Relacionar u e v y Circunferência No DOQ’Q”: x = a . cos u Y = a . sen u y = Y . C y = (a . sen u) C Q’ Elipse a Y a Q b r y u v P DoDOQ’Q”: x = a . cos u y = b . senu x O F Q” f x’ x No DFQQ”: x’ = r . cos v y = r . sen v x’ = x - f

44. f ae x’ = x - f b = aC sen v = aC . senu / r C {1- e2} sen v = a {1- e2} . senu / r DoDOQ’Q”: x = a . cos u y = b . senu Do DFQQ”: x’ = r . cos v y = r . sen v Raio vetor r em função da anomalia excêntrica u r . sen v = b . senu sen v = b . senu / r r . cos v = a . cos u - ae cos v = a ( cos u - e) / r sen2v + cos2 v = 1 a2(1- e2) . sen2u / r2 + a2 ( cos u - e)2 / r2 = 1 a2[ sen2u - e2. sen2u + (cos2 u - 2 e cos u + e2) ] = r2 a2[ sen2u + cos2 u + e2 - e2. sen2u - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 + e2 (1 - sen2u) - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 + e2cos2u - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 - ecosu ]2 = r2 r = a ( 1 - ecosu )

45. C {1- e2} sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ] Relacionar u e v sen v = aC . senu / r cos v = a ( cos u - e) / r r = a ( 1 - ecosu ) sen v = aC . senu / [a ( 1 - ecosu )] cos v = a ( cos u - e) / [a ( 1 - ecosu )] cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ] 0 v 1800 Se sen v  0 então v = v Se sen v < 0 então v = 3600 - v

46. Usando: cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ] tan (v/2) = { (1+e) / (1-e) } .tan (u/2) q tan (v/2) v = 2 arctan (q)  -900v +900 Outro jeito de relacionar u e v Fórmula da tangente do arco metade: tan (v/2) = { (1-cos v) / (1+cos v) } sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ] Se v  0 Se senv  0  v = v Se senv < 0  v = v + 1800 Se v < 0 Se senv  0  v = v + 1800 Se senv < 0  v = v + 3600

47. Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 ) A A Dt Dt Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele, com seu raio vetor varrendo áreas iguais em tempos iguais.

48. A Aelipse = pab T = Período orbital (VA) = pab / T Velocidade areolar (VA) b A Dt Dt Foco (VA) = DA / Dt

49. M r m T r’ m’ T’ Terceira Lei de Kepler (r/ r’ )3 = (T/ T’ )2 r3 = k T2 O cubo do semi-eixo maior é proporcional ao quadrado do período orbital

50. M r (r/ r’ )3 = (T/ T’ )2 m T r’ r3 = k T2 m’ T’ Expressão correta: r 3 = [G/(4p2)] ( M + m ) T 2 Enunciado atual da Terceira Lei de Kepler (r / r’ )3 = { (M + m) / (M + m’) }x (T/ T’ )2