Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro

1. Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro • Bolsista: Marcelo A. Hoffmann (IC do período de Agosto de 2004 à Julho de 2005 (SAE/Unicamp)) • Orientador: Jonatas Manzolli (NICS)

2. Premissas do método FracWave • Na metodologia do Caos visualiza-se um espaço abstrato (espaço-fase). As coordenadas são os graus de liberdade do sistema. • Cada ponto no espaço-fase representa um estado do sistema dinâmico em um certo momento do tempo. • Um mapa não-linear, no caso discreto, gera órbitas, simples pontos limitados por ciclos, osciladores simples ou caóticos no espaço-fase. • Essas estruturas são chamadas atratores, limites assintóticos da solução do sistema com aproximação de tempo infinita

3. Mapas NLD’s utilizados • Utiliza-se os dois sistemas dinâmicos não-lineares (NLD) abaixo: MAPA NLD 1: • X(k+1) = Y(k) - sin(abs(B*X(k)-C))) • Y(k+1) = A - X(k) MAPA NLD 2: • X(k+1) = Y(k) – sign(X(k))*((abs(B-C*X(k)))^0.5) • Y(k+1) = A - X(k)

4. Primeiro teste: mapa 2 • A = -1.4 • B = -3.9 • C = 1.4 • 10.000 iterações no mapa 2 • 4096 pontos interpolados no mapa, ou seja, DW de 4096 pontos. • Frequência de 440Hz • Duração de 0,5 segundos, ganho igual a 0,5

5. Análises de um sinal periódico • Para um som de 440Hz (tendo uma DW de 4096 pontos) devemos ter então um vetor de leitura (indice) dos pontos interpolados, que armazena um ponto a cada 41 pontos do mapa. Ver a relação a baixo: indice = (compvetor * fsom) / Fs Tendo, por exemplo, 44100 pontos e uma Fs (freq. Amostragem) igual a 44,1kHz, teríamos que o vetor de leitura no buffer armazenaria 1 ponto a cada 440 pontos presentes no mapa. Em um sinal periódico a informação seria irrelevante, porém, em um sinal não-linear, poderíamos perder informações ao ter um vetor de leitura

6. Mapa Espaço-fase

7. Dynamic WaveTable (DW)

8. EspectroGrama primeiroteste.wav

9. Segundo teste: mapa 1 • A= -2,6541 • B= 3,5412 • C= -2,456 • 1625 iterações no mapa 1 • 1024 amostras na DW • Freqüência de 267 Hz, (indice = 6) • Duração de 0,5 segundos, ganho igual a 0,5

10. Mapa Espaço-fase

11. Dynamic WaveTable

12. Espectrograma Segundoteste.wav

13. Terceiro teste : Amostra diretamente do mapa 1 • Agora faz-se um teste diretamente do mapa, considerando agora uma região com forte atrator. • O comportamento tende a ser periódico, já que na determinada região o mapa espaço-fase é regular. • Circunferências caracterizam sons que provavelmente venham a ser periódicos. • Nesse teste, não foi controlada a frequência do som • Verificar a distribuição de energia no sonograma (espectrograma)

14. Parâmetros iniciais • A = 2,84885714285714 • B = -0,401857142857143 • C = 4,27142857142857 • 500 iterações no mapa • 512 pontos interpolados na DW • Duração de 0,5 segundos e ganho igual a 0,5

15. Mapa Espaço-fase

16. Dynamic WaveTable

17. Espectrograma terceiroteste.wav

18. Novos testes, A = -2,6541, B = 3,5412, C = -2,456 e 1625 iterações quartoteste.wav  Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 2048 iterações quintoteste.wav  Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 4096 iterações sextoteste.wav  Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 8192 iterações