Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1

1. Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1

2. Sistemas não-lineares Normalmente, em problemas aplicados temos que resolver sistemas de equações não-lineares de ordem

3. Sistemas não-lineares • Dada • Procuramos a solução do sistema não-linear • Em notação matricial:

4. EXEMPLO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn Exemplo1: Intersecção de círculo com hipérbole. Temos 4 soluções (intersecções)!!!!!!!!!!!!!!!!

5. EXEMPLO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn Exemplo2: Intersecção de duas parábolas. Não temos soluções!!!!!!!!!!!!!!!!

6. SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn HIPÓTESES Seja onde é um aberto de . Em , suponha que tenha derivadas contínuas. Suponha que exista pelo menos um tal que .

7. SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn HIPÓTESES Seja o vetor gradiente de dado por e a matriz Jacobiana de :

8. SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON • O Método de Newton é método básico. • Consiste na linearização local do sistema não-linear • Seja a aproximação . Para qualquer , existe , tal que: Aproximando, temos um modelo local linear

9. SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON O modelo local linear do sistema não-linear é • Seja , então Passo 1: Dado , calcule e . Passo 2: Resolve-se o sistema linear . Neste ponto técnicas de fatoração, pivoteamento e métodos iterativos podem ser utilizadas para determinar . O Método de Newton com resolução do sistema linear de modo iterativo é chamado deMétodo de Newton Inexato.

10. SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn Comentário 1: Estudaremos os métodos para sistemas não-lineares são iterativos. Dado inicial, gera-se uma seqüência , de modo que Comentário 2: Critérios de parada • norma dos vetores de . • norma infinito. • tolerância ou número máximo de iterações.

11. SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON INEXATO Algoritmo. Dados , , , faça: Passo1: Calcule e . Passo 2: Se , faça e pare. Senão, Passo 3: Obtenha , solução de Passo 4: Faça Passo 5: Se faça e pare. Senão Passo 6: Faça e volte ao passo 1.

12. MÉTODO DE NEWTON – Exemplo • Resolva o sistema . Sabemos que as soluções são Tomamos , e calculando o Jacobiano, obtemos .

13. MÉTODO DE NEWTON – Exemplo Iteração 1: continue! métodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!

14. MÉTODO DE NEWTON – Exemplo Passo 1: Comentário: Note que no processo de resolução de sistemas não-lineares, devemos resolver um sistema linear a cada iteração. Métodos diretos: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial ou total, fatoração LU ou Cholesky..... Métodos iterativos: Método de Gauss-Jacobi o Gauss-Seidel

15. MÉTODO DE NEWTON – Exemplo CONTINUANDO. Iteração 2: continue e continue!!!!!!

16. MÉTODO DE NEWTON – Exemplo 1-Continuar o processo até que um dos dois critérios de parada seja atingido, ou seja ou 2-Convergência do Método de Newton Inexato é Quadrática em condições adequadas. 3-Diferentes abordagens do Método de Newton Inexato geram algoritmos alternativos.

17. MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO O Método de Newton Modificado consiste em tomar a cada iteração, sempre, , em vez de . O método iterativo é dado pela seqüência . Neste procedimento temos que resolver no passo o sistema linear:

18. MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO • O Método de Newton Modificado tem a vantagem de calcular uma única vez a matriz Jacobiana . • No caso de resolver por fatoração LU, os fatores L e U também serão calculados uma única vez.

19. MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO– EXEMPLO • Resolva o sistema . Sabemos que as soluções são Tomamos , e calculando o Jacobiano, obtemos . Fixado!!!!

20. MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Iteração 1: continue! métodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!

21. MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Iteração 2: continue Diferença e continue!!!!!!

22. MÉTODO DE NEWTON • CONVERGÊNCIA O Método de Newton Modificado, Inexato, perde a propriedade de convergência quadrática, apesar que neste exemplo, aparentemente, o nível de convergência foi semelhante. Verifica-se que o Método de Newton Modificado converge linearmente.

23. MÉTODOS DE QUASE-NEWTON • Os Métodos de Quase-Newton, Inexatos, consistem em gerar seqüências , com Boas propriedades de convergência, sem ter que avaliar (calcular) a matriz Jacobiana a cada iteração.

24. MÉTODOS DE QUASE-NEWTON No Método de Newton Inexato a seqüência é gerada por onde é a solução do sistema linear • A idéia é impor condições sobre gerando a) algum princípio de variação mínima. b) preservar alguma estrutura (simetria, esparsidade,..) da matriz Jacobiana.