Transmisión en Banda Base Digital Filtro Adaptado (MF)

1. Transmisión en Banda Base DigitalFiltro Adaptado (MF) Ing. Verónica M. Miró 2011

2. Introducción • Datos digitales de espectro amplio, con importante contenido de baja frecuencia. • Canal pasabajos con ancho de banda suficiente para alojar el contenido esencial de la secuencia de datos. • Canal dispersivo: Respuesta en frecuencia bastante distina al filtro pasabajos ideal. • ISI: Interferencia Intersimbólica

3. Introducción • INTERFERENCIA INTERSIMBÓLICA • Cada pulso recibido es afectado por los pulsos adyacentes, anterior y posterior. • Fuente principal de errores de bit en la secuencia de datos reconstruida a la salida del receptor. • Hay que actuar sobre la forma del pulso para corregir este efecto. • RUIDO DEL CANAL • Fuente de errores de bit

4. MATCH FILTER – FILTRO ADAPTADO • PROBLEMA BÁSICO: Detección de una señal de pulsos de forma conocida, transmitido en un canal inmerso en ruido blanco. • Solución: Dispositivo para la detección óptima de pulsos. • Filtro Adaptado: Filtro lineal, invariante en el tiempo, cuya respuesta al impulso está adaptada a la señal que se debe transmitir

5. Filtro adaptado Detección de un pulso transmitido a través de un canal corrupto por ruido • x(t): Señal de entrada al filtro = g(t) + w(t) • h(t): respuesta al impulso de un filtro lineal e invariante en el tiempo. • g(t): Señal de pulsos • w(t): ruido blanco aditivo

6. Filtro adaptado • Señal de entrada al filtro • T: intervalo de observación arbitrario • g(t): Representación de símbolos 0 y 1 • w(t): Ruido blanco, media cero y densidad espectral de potencia N0/2 • Se supone que el receptor tiene conocimiento de la forma del pulso g(t). • Fuente de incertidumbre: w(t)

7. Filtro adaptado • Filtro lineal, la salida del mismo • Donde g0(t) y n(t) son generadas a partir de la señal y el ruido de entradas al filtro. • Pedimos que la componente de señal g0(t) sea considerablemente mayor que la componente de ruido n(t) : LA POTENCIA INSTANTÁNEA DE LA SEÑAL g0 (T) MEDIDA EN t = T sea mayor en comparación con la POTENCIA PROMEDIO DE RUIDO DE SALIDA n(t)

8. Filtro Adaptado • Se busca maximizar: • Ig0(T)I2 : potencia instantánea de la señal de salida • E{n2(t)} : potencia promedio de ruido de salida • Requerimiento: Especificar la respuesta al impulso del filtro h(t) de manera que la relación señal a ruido definida sea máxima.

9. Filtro Adaptado • Sea G(f) la transformada de Fourier de g(t) • Sea H(f) la transformada de Fourier de h(t) • La señal de salida del filtro g0(t) queda definida por la transformada inversa de Fourier (sin ruido) • En t=T

10. Filtro Adaptado • La densidad espectral de potencia de ruido n(t) considerando como entrada sólo el ruido w(t) (ruido blanco, media cero y N0/2) • La potencia promedio de ruido a la salida del filtro

11. Filtro Adaptado • La expresión final • Para resolver la maximización de la expresión utilizaremos la desigualdad de Schwarz

12. Filtro Adaptado • Desigualdad de Schwarz: Sean dos funciones complejas F1y F2de variable real x • Es posible escribir • La igualdad de cumple si y sólo si • k: constante arbitraria, * indica conjugación compleja

13. Filtro Adaptado • Si reescribimos el numerador de la ecuación • Resulta • NO depende de la respuesta en frecuencia del filtro H(f) sino de la energía de la señal y de N0/2

14. Filtro Adaptado • En resumen, la relación señal del pulso pico a ruido promedio, será máxima cuando se elija H(f) de manera que se cumpla la igualdad: • En consecuencia el filtro H(f) toma su valor óptimo • Para una señal real g(t) resulta G*(f) = G(-f)

15. Filtro Adaptado • Resulta entonces: • La respuesta al impulso del filtro óptimo es una versión invertida y retardada en el tiempo de la señal de entrada al filtro g(t), salvo por un factor de escala k. FILTRO ADAPTADO A LA SEÑAL DE PULSOS g(t)

16. Filtro Adaptado • Propiedades del Filtro Adaptado • La respuesta al impulso de un filtro adaptado a una señal pulsante g(t) con duración del pulso t=T • En el dominio de la frecuencia • La relación señal pico del pulso a ruido de un filtro adaptado, depende de la proporción de la energía de la señal y la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del mismo

17. Filtro Adaptado • Consideremos un filtro adaptado a la señal g(t) • Para encontrar g0(T) • De acuerdo al teorema de la energía de Rayleigh • Por lo tanto:

18. Filtro Adaptado • Calculando la potencia promedio de ruido • Entonces, la relación señal pico del pulso a potencia promedio de ruido, tiene como valor máximo • Conclusión: Se ha eliminado toda dependencia de la forma de onda del pulso por medio de este pulso. Todas las señales que tienen la misma energía son igualmente efectivas

19. Filtro Adaptado • La energía del pulso E está expresada en Joules. • La densidad espectral de ruido N0/2 está expresada en W/Hz. • La proporción 2.E/N0 es adimensional, aunque tienen significados físicos diferentes. • E/N0 : Energía de la señal respecto de la densidad espectral de ruido. Qué pasa con la fase de la señal de salida cuando ingresa al filtro la señal para la cual se encuentra adaptado?

20. Filtro Adaptado • Filtro adaptado para pulso rectangular de amplitud A y duración T • g0(t) = kA2T

21. Filtro Adaptado • Circuito de integración y descarga para el caso especial de un pulso rectangular de duración t=T • El integrador calcula el área bajo el pulso rectangular de duración T • La salida resultante se muestrea en el tiempo t=T • Después de t=T, el integrador regresa a su condición inicial

22. Filtro Adaptado • Para 0 < t < T, la salida de este circuito tiene la misma forma de onda, que la que aparece a la salida del filtro de acoplamiento. • La diferencia en la notación que se utiliza para describir sus valores pico no tiene importancia práctica.

23. Filtro Adaptado Bibliografía • COMMUNICATION SYSTEMS, SimonHaykin, 4ta. Ed. • COMMUNICATION SYSTEMS, SimonHaykin, 3ra. Ed. • http://iaci.unq.edu.ar/materias/telecomunicaciones/archivos/2007