Regels bij kansrekeningen

Regels bij kansrekeningen • Somregel Hebben de gebeurtenissen G1 en G2 geen gemeenschappelijke • uitkomsten, dan is P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). • ComplementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complementregel-gebeurtenis) • Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt • P(G1 en G2) = P(G1) ·P(G2). 13.1

Soorten kansberekeningen • Gunstige uitkomsten tellen • Maak een rooster of noteer systematisch de gunstige uitkomsten. • Vaasmodel gebruiken • Bij trekken zonder terugleggen bereken je kansen met combinaties. • Productregel gebruiken • Bij twee of meer onafhankelijke experimenten bereken je kansen met • de productregel. • Vuistregel Bij het nemen van een kleine steekproef uit een grote • populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten • als trekken met terugleggen. • Je gebruikt de productregel. • Binomiale verdeling • De binomiale verdeling is een speciaal geval van de productregel. • Bij een binomiaal kansexperiment voer je hetzelfde kansexperiment • een aantal keren uit, waarbij je alleen op de gebeurtenissen ‘succes’ en • ‘mislukking’ let. Hierbij is X het aantal keer succes, n het aantal keer • dat het kansexperiment wordt uitgevoerd en p de kans op succes per keer. • Notaties: P(X = k) = binompdf(n, p, k) • P(X≤ k) = binomcdf(n, p, k) 13.1

P(rode) = ≈ 0,326 P(4 rode) = ≈ 0,269 P(3 rode, 2 witte en 1 zwarte) = ≈ 0,210 P(3 rode, 2 witte en 1 zwarte) = ≈ 0,136 P(5 keer pakken) = ≈ 0,033 of P(5 keer pakken) = ≈ 0,033 P(7 keer pakken) = P(bij de eerste zes keer 2 rode) · P(rode) = ≈ 0,163 opgave 2 a b c d e f

P(elk aantal ogen 4 keer) = ≈ 0,015 of P(elk aantal ogen 4 keer) = ≈ 0,015 P(zes keer 2, vier keer 3 en zes keer geen 2 en 3) = ≈ 0,025 of P(zes keer 2, vier keer 3 en zes keer geen 2 en 3) = ≈ 0,025 P(bij de tiende worp evenveel als bij de derde worp) = = 0,25 opgave 8 a b c

opgave 16 a P(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz) = = 0,2 P(Anton pakt rode knikker) = P(krI) + P(mrII) = ≈ 0,586 P(Anton pakt twee keer wit) = P(kwkw) = ≈ 0,036 P(Anton pakt twee keer rood) = P(krIkrI) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII) = ≈ 0,318 b c d e 13.2

opgave 18 a - P(Nederlander heeft spierpijnklachten) = P(ps) + P(ps) = 0,01 · 0,7 + 0,99 · 0,2 = 0,205 Aantal = 10 000 · 0,01 · 0,7 = 70 Aantal = 10 000 · 0,205 = 2050 Er zijn 2050 personen die spierpijnlachten hebben, waarvan er 70 Parkinson hebben. P(een persoon met spierpijnklachten heeft Parkinson) = ≈ 0,034 Van de personen die spierpijnklachten hebben, heeft maar een klein deel de ziekte van Parkinson, zie vraag e. b c d e f 13.2

X = het aantal drukfouten dat op die bladzijde staat. X is binomiaal verdeeld met n = 48 en p = P(X≥ 2) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – binomcdf(48, , 1) ≈ 0,013 P(X = 2) = binompdf(48, , 2) ≈ 0,012 Je verwacht 0,012 · 280 ≈ 3 bladzijden met twee drukfouten. opgave 23 a b

Oppervlakte berekenen opp = normalcdf(a, b, µ, σ) Neem a = –1099 als er geen linkergrens is. Grens berekenen a = invNorm(opp links, µ, σ) 13.3

Normale verdeling • Werkschema: aanpak bij opgaven over de normale verdeling • Schets een normaalkromme en verwerk • hierin µ, σ, l, r en opp. • Kleur het gebied dat bij de vraag hoort. • Bereken met de GR het ontbrekende getal. • Beantwoord de gestelde vraag. 13.3

opgave 26 a opp = normalcdf(1000, 1099, 1005, 6) ≈ 0,798 Dus 79,8%. b opp = 2 · normalcdf(–1099, 1001, 1005, 6) ≈ 0,505 Dus van 50,5%.

opgave 26 c TI normalcdf(–1099, 1000, µ, 8) = 0,02 Voer in y1 = normalcdf(–1099, 1000, x, 8) en y2 = 0,02 De optie intersect geeft x ≈ 1016,4. Dus instellen op een gemiddelde van minstens 1016,4 gram. Casio Voer in y1 = P((1000 – x) : 8) en y2 = 0,02. De optie intersect geeft x ≈ 1016,4. Dus instellen op een gemiddelde van minstens 1016,4 gram.

Som en verschil van toevalsvariabelen • De som en het verschil van de normaal verdeelde toevalsvariabelen X en Y • zijn weer normaal verdeeld. • De verwachtingswaarde en de standaardafwijking van S = X + Y en V = X – Y • bereken je met • µS = µX+ µYen • respectievelijk • µV = µX– µYen • De formules voor σS en σV mag je alleen gebruiken als X en Y onafhankelijk zijn. • Voor de som S = X1 + X2 + X3 + … + Xn van n onafhankelijke toevalsvariabelen • X1, X2, …, Xn geldt • en 13.3

opgave 34 De totale afhandelingstijd is T = X + Y. T is normaal verdeeld met µT = µX + µY = 170 + 110 = 280 seconden en 5 minuten = 300 seconden opp = normalcdf(300, 1099, 280, ) ≈ 0,083 Dus in 8,3% van de gevallen. seconden

opgave 41 De totale tijdsduur is T = X1 + X2 + X3 + X4. T is normaal verdeeld met µT = 12 + 8 + 20 + 18 = 58 seconden en opp = normalcdf(60, 1099, 58, ) ≈ 0,144 Dus in 14,4% van de gevallen. seconden

Steekproef van lengte n • Gegeven is een populatie met een normaal verdeelde toevalsvariabele X. • Bij een steekproef van lengte n uit deze populatie is • Xsom = X + X + X + … + X (in termen) normaal verdeeld met • en 13.4

opgave 44 Xsom is normaal verdeeld met = 3 · 40 = 120 minuten en minuten. P(Xsom > 135) = normalcdf(135, 1099, 120, ) ≈ 0,140

Het steekproefgemiddelde • - wet: • Bij een normaal verdeelde toevalsvariabele X met gemiddelde µX en • standaardafwijking σX is bij steekproeflengte n het steekproefgemiddelde • normaal verdeeld met en • Bij een grote steekproef, bijvoorbeeld een steekproef met n > 1000, • zal de spreiding heel klein worden. • Het steekproefgemiddelde zal dan heel dicht bij het theoretische • gemiddelde µX liggen. • Je krijgt dus een goede schatting van µX door te berekenen voor grote • waarden van n. 13.4

opgave 49 a P(X < 25 ⋁ X > 35) = 2 · P(X < 25) = 2 · normalcdf(–1099, 25, 30, 4) ≈ 0,211

opgave 49 b is normaal verdeeld met en = 2 · normalcdf(–1099, 25, 30, ) ≈ 0,000 000 02 ≈ 0,000

opgave 49 c opp links van 30 – a is = 0,025 30 – a = invNorm(0.025, 30, ) 30 – a≈ 28,25 a ≈ 1,75

opgave 49 d opp links van 29 is 0,0005 is normaal verdeeld met en TI normalcdf(–1099, 29, 30, ) = 0,0005 Voer in y1 = normalcdf(–1099, 29, 30, ) en y2= 0,0005. De optie intersect geeft x ≈ 173,2. Dus n > 173. Casio Voer in y1 = P((29 – 30) : (4 : )) en y2 = 0,0005. De optie intersect geeft x ≈ 173,2. Dus n > 173.

Discrete en continu verdelingen • Bij een continu toevalsvariabele kan elke waarde tussen twee uitkomsten • aangenomen worden. • Bij een discrete toevalsvariabele worden alleen een aantal ‘losse’ waarden • aangenomen. • Bij het overstappen van een discrete toevalsvariabele X op een continu • toevalsvariabele Y moet je een continuïteitscorrectie van 0,5 toepassen: • P(X≤ k) = P(Y ≤ k + 0,5). 13.5

P(X < 20) = P(X≤ 19) = P(Y ≤ 19,5) = normalcdf(–1099 , 19.5, 28.2, 4.3) ≈ 0,022 Dus in 2,2%. P(X = 30) = P(29,5 ≤ Y ≤ 30,5) = normalcdf(29.5, 30.5, 28.2, 4.2) ≈ 0,085 P(X > 25) = 1 – P(X ≤ 25) = 1 – P(Y ≤ 25.5) = 1 – normalcdf(–1099, 25.5, 28.2, 4.3) ≈ 0,735 opgave 59 a b c

Van binomiale verdeling naar normale verdeling • binomiale verdeling • verwachtingswaarde • standaardafwijking • Voor grote n mag je de binomiale verdeling benaderen door een normale • verdeling. • De binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan voor grote n benaderd • worden door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = np en • Voorwaarde is dat np > 5 en n(1 – p) > 5. 13.5

P(X≤ 100) = binomcdf(300, 0.37, 100) ≈ 0,104 Y is normaal verdeeld met µY= µX = np = 300 · 0,37 = 111 en P(X ≤ 100) = P(Y ≤ 100,5) = normalcdf(–1099, 100.5, 111, ) ≈ 0,105 opgave 61 a b

X = het aantal personen dat komt opdagen. P(X≤ 1300) = binomcdf(1430, 0.9, 1300) ≈ 0,884 De gevraagde kans is 0,844. Stel hij noteert maximaal n reserveringen. Voor welke n is P(X ≤ 1300) > 0,99 ? TI binomcdf(n, 0.9, 1300) > 0,99 Voer in y1 = binomcdf(x, 0.9, 1300). Maak een tabel en lees af voor n = 1416 is y1 ≈ 0,9911 voor n = 1417 is y1 ≈ 0,9888. Dus hij noteert maximaal 1416 reserveringen. Casio Benader X door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = µX = np = 0,9n en P(X ≤ 1300) = P(Y ≤ 1300,5), dus Voer in y1 = P((1300,5 – 0,9x) : ) en y2 = 0,99 De optie intersect geeft x ≈ 1415,8. Dus hij noteert maximaal 1416 reserveringen. opgave 62 a b = 0,99

E(X) = 1440, dus np = 1440 σX = 30, dus opgave 64 1440(1 – p) = 30 1440 – 1440p = 900 –1440p = –540 p = 0,375 np = 1440 0,375n = 1440 n = 3840

Regels bij kansrekeningen