Regels bij kansrekeningen

1. Regels bij kansrekeningen aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace P(G) = Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). ComplementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). • Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je • trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 10.1

2. Voorbeeld somregel • In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, • Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. • a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) +P(3 rood) • b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) +P(1 groen) 4 2 4 3 6 1 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 4 1 6 3 6 2 . . = + ≈0,667 10 3 10 3

3. De complementregel • P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 • P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) 10.1

4. Het vaasmodel • Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. • P(2r, 2w, 1b) = ? • Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans • Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren • om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. • Dat kan op manieren. • Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren • om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. • Dat kan op • P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren. 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 . . 8+4+3=15 15 5 10.1

5. a P(minstens één prijs) • = 1 – P(geen prijs) • = • bP(100 euro) • = P(1 × 100) + P(2 × 50) • = • cP(minstens 30 euro) • = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro)) • = opgave 6 ≈ 0,370 ≈ 0,048 ≈ 0,173

6. Berekeningen met breuken 10.2

7. opgave 21 a P(minstens 2) = 1 – P(geen of 1) = 1 – P(geen) – P(1) = 1 – 0,788 - · 0,22 · 0,787 ≈ 0,554 bP(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven) = · 0,536 · 0,476 + · 0,537 · 0,475 ≈ 0,434 c P(hoogstens 2 zakken) = P(minstens 8 slagen) = P(8) + P(9) + P(10) = · 0,718 · 0,292 + · 0,719 · 0,29 + 0,7110≈ 0,410 8 1 12 7 12 6 10 8 10 9

8. opgave 31 • a Als er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart, • zijn er 10 – a zwarte knikkers. • b P(zwarte knikker) = • c P(2 zwarte knikkers) =

9. opgave 32 • a P(rr) = • b P(zwarte en rode) = P(zr) + P(rz) • c Voer in y1 = (17x - 2x2)/66 en maak een tabel. • Je ziet dat y1 maximaal 0,545 is voor x = 4. • In vaas I zitten dan 4 rode en 7 zwarte knikkers • en in vaas II 4 rode en 2 zwarte knikkers.

10. In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. • a P(rr) = • b P(rode en witte) = 2 · P(rw) = • c Voer in y1 = (50x – x2)/1225 en maak een tabel. • Je ziet dat y1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28. • Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers • en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers. • Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas. opgave 37 De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers

11. Bernoulli-experimenten Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. 10.3

12. Binomiaal kansexperiment • Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd • X het aantal keer succes • p de kans op succes per keer • de kans op k keer succes is gelijk aan • P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k 10.3

13. a n = 6 en p = = 0,4 • P(X = 4) = · 0,44 · 0,62≈ 0,138 • b n = 12 en p = = 0,9 • P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230 opgave 45 6 4 12 10

14. De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 10.3

15. 10.3

16. voorbeeld a X = het aantal keer minstens vijf ogen. p = P(minstens 5 ogen) = P(X≤ 10) = binomcdf(15, , 10) ≈ 0,998 b X = het aantal keer meer dan zeven ogen. p = P(meer dan 7 ogen) = p = P(X = 5) = binompdf(18, , 5) ≈ 0,097 som van de ogen

17. opgave 49 a X = het aantal keer banaan. P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026 bX = het aantal keer appel. P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025 cX = het aantal keer appel. P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004 d X = het aantal keer banaan P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006

18. opgave 53 a X = het aantal keer oost. P(in B uitkomen) = P(X = 2) = binompdf(8, , 2) ≈ 0,260 b P(in C uitkomen) = P(X = 4) = binompdf(8, , 4) ≈ 0,026 cP(via A in B) = P(X = 1) · P(X = 1) = binompdf(5, , 1) · binompdf(3, , 1) ≈ 0,140 d P(ten noorden van de lijn AC) = P(X ≤ 3) = binomcdf(8, , 3) ≈ 0,969 2 1 4 6 4 4 1 2

19. Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans-experimenten • Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X • Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. • Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 10.4

20. a X = het aantal keer even. P(X > 10) = 1 – P(X≤ 10) = 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105 b X = het aantal keer 3 ogen. P(X < 2) = P(X ≤ 1) = binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227 c X = het aantal keer 6 ogen P(X = 5) = binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076 opgave 60

21. ⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie. opgave 63 p = 0,40 a 60% van 120 is 72 X = het aantal dat studie met succes voltooit. P(X > 72) = 1 – P(X≤ 72) = 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925 bX = het aantal dat de studie voortijdig staakt. P(X≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456

22. Het berekenen van n bij een binomiale verdeling X = het aantal treffers. Voor welke n is P(X≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? opgave 70 TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen. Casio 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ? Proberen geeft voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126 voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094. Dus minstens 18 vrije worpen. 10.4

23. a X = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 22 en p = normalcdf(120, 1099, 112, 5) = 0,054… P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – binomcdf(22, 0.054…, 3) ≈ 0,030 b X = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten. X is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = normalcdf(-1099, 105, 112, 5) = 0,080… Je verwacht dat er 120 · 0,080… ≈ 10 optredens korter duren dan een uur en drie kwartier. De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 76

24. Werkschema: het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X • Stel de kansverdeling van X op. • Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. • Tel de uitkomsten op. • De som is E(X). • Dus E(X) = x1· P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn). 10.5

25. a W = uitbetaling - 2 E(W) = -2 · 0,96 + 8 · 0,03 + 48 · 0,01 = -1,20 De winstverwachting is - € 1,20 per lot. bEen lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten. opgave 79 1 keer eerste prijs van de 100 4 prijzen, 96 keer niet prijs van de 100 3 keer tweede prijs van de 100

26. a P(13 euro terugbetalen) = P(twee van de drie dagen slecht weer) = 3 · 0,42 · 0,6 = 0,288 b P(niets terugbetalen) = 0,63 = 0,216 P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,62 = 0,432 P(19,50 euro terugbetalen) = 0,43 = 0,064 V = de verdienste per kaart = 20 - terugbetaling E(V) = 20 · 0,216 + 13,50 · 0,432 + 7 · 0,288 + 0,50 · 0,064 = 12,20 De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro. opgave 85

27. De standaardafwijking van een toevalsvariabele 10.5

28. De somregel voor de standaardafwijking • Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt • de somregel voor de standaardafwijking • σx+ y = √σ2x + σ2y • VAR(X) = σ2x(de variantie van X) • σ2x+ y = σ2x + σ2y • dus • VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 10.5