350 likes | 489 Views
REŠAVANJe nekih NP-teških PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE. Nina Radojič ić. Sadržaj. Uvod Diskretna optimizacija Rešavanje NP-teških problema LOBA Problem GA VNS Rezultati MMDP Problem Rezultati Zaključak. Diskretna optimizacija. Problem diskretne optimizacije
E N D
REŠAVANJe nekih NP-teških PROBLEMADISKRETNE OPTIMIZACIJE Nina Radojičić
Sadržaj • Uvod • Diskretna optimizacija • Rešavanje NP-teških problema • LOBA • Problem • GA • VNS • Rezultati • MMDP • Problem • Rezultati • Zaključak Matematički fakultet
Diskretna optimizacija • Problem diskretne optimizacije • Konačan ili prebrojivo beskonačan, diskretan skup S • Funkcija f: S → R • Naći minimum funkcijef • S – dopustiv skup • f – funkcija cilja • Dopustivo rešenje • Optimalna rešenja Matematički fakultet
Rešavanje NP-teških problema • Vreme – bitan faktor • Metaheuristike • Često izbor • Dobro rešenje zadatka za relativno kratko vreme • Bezdokaza optimalnosti • Mogu primenjivati na širok spektar problema • Pretražuju skup dopustivih rešenja u cilju nalaženja što boljeg rešenja Matematički fakultet
LOBA - problem • Problem izbalansiranosti lokacija (The Load Balance Problem, LOBA) • m potencijalnih snabdevača • nkorisnika • Bira se p snabdevača • Korisnik se pridružuje tačno jednom najbližem odabranom snabdevaču • l = najmanji broj korisnika pridruženih nekom snabdevaču • u = najveći broj korisnika pridruženih nekom snabdevaču • Minimizovati u-l Matematički fakultet
LOBA - poblem • Primer • Skup korisnika {0, 3, 4, 10} • Skup potencijalnih snabdevača {0, 3, 4, 10} • Euklidska rastojanja • p=2 • Rešenje {3, 4} • Snabdevaču 3 se pridružuju 0 i 3 • Snabdevaču 4 se pridružuju 4 i 10 Matematički fakultet
LOBA – problem • Dosadašnji rezultati • Alfredo Marín, 2011 • Marín A., "The discrete facility location problem with balanced allocation of customers", European Journal of Operational Research, Vol. 210, Issue 1, pp.27-38, (2011) • dveformulacije • predložio metodu grananja i sečenja (Branch-and-Cut algorithm - BnC) sapoboljšanjima • Testirao na instancama • Do 50 potencijalnihsnabdevača • Do 100 korisnika Matematički fakultet
LOBA - problem • Primena • Dizajnteritorije • Izborne jedinice • Škole • Lokacija antena za mobilne telefone Matematički fakultet
LOBA – problem • Matematička formulacija • Pogodna za CPLEX ILOG IBM • A = {1, 2, ..., n}skupkorisnika • B = {1, 2, ..., m}skuppotencijalnihsnabdevača • C = (cij) matrica troškova • p = broj snabdevača koje treba odabrati Matematički fakultet
LOBA – problem Matematički fakultet
LOBA - GA • Open source GAFramework • Genetski algoritam (GA) • Populacija • Prilagođenost • Selekcija • Ukrštanje • Mutacija Matematički fakultet
LOBA – GA • Populacija • 150 jedinki • 50 novih u svakoj iteraciji • Kodiranje jedinki: binarno • m bitova (p jedinica) • Početna populacija • Slučajno odabrana • Verovatnoća p/m Matematički fakultet
LOBA – GA • Prilagođenost • Funkcijaprilagođenosti • Jedinke sa najboljom (najlošijom) funkcijom cilja slika u 1 (0) • Sve jedinke različite (ostale slika u 0) • Maksimalno 10 sa istom funkcijom cilja (ostale slika u 0) • Selekcija • Turnirska selekcija • Fino gradinirana 5.4 • Ukrštanje • pcross=0.85 Matematički fakultet
LOBA – GA • Mutacija • pmut=0.4/m • Faktor za zaleđene bitove 3,5 • Kriterijum zaustavljanja • Maksimalan broj generacija 10000 • Ponavljanjenajboljeg rešenja funkcijecilja5000 uzastopnihgeneracija Matematički fakultet
LOBA - VNS • Metodapromenljivihokolina (Variable neighborhood search - VNS ) • Analiza okolina • Lokalna pretraga • Koraci • Uprošćen VNS (Reduced VNS) • VNS • Mešanje (Shake) • Lokalna pretraga Matematički fakultet
LOBA - VNS • Kodiranje • Rešenje: permutacija brojeva {1, 2, ..., m} • Prvih p odabrani snabdevači • Okolina • Primer: • 1 2 3 | 4 5 6 7 8 • 2<->6 • 1 6 3 | 4 5 2 7 8 Matematički fakultet
LOBA - VNS • Hibridizacija sa GA • Umesto uprošćenog VNS-a početno rešenje za VNS je rešenje koje se dobije primenom GA Matematički fakultet
LOBA – rezultati • Metode testirane na tri skupa instanci • Marín • m (20, 30, 50) • n (20, 30, 50, 100) • p (3, 4, 6, 10) • Galvão iReVelle • n (100, 150) • p (5, 10, 15) • Lorenai Senne • n (100, 200, 300, 402) • Odgovarajuće vrednosti za p • Za problem p-medijaneograničenihkapaciteta Matematički fakultet
LOBA – rezultati Poređenje prosečnog vremena: CPLEX vs. GA Matematički fakultet
LOBA – rezultati • Za instance koje su rešene i korišćenjem CPLEX-a sve metode su dale optimalna rešenja. • Prosek vremena (u sekundama) na tim instancama: • CPLEX 3566.24 • GA NP 0.34 • GA P 0.22 • VNS 0.76 • GA VNS 0.05 Matematički fakultet
LOBA – rezultati Poređenje parelelizovane varijante GA u odnosu na ne parelelizovani GA Matematički fakultet
LOBA – rezultati Poređenje hibridizacije GA i VNS sa paralelizovanom verzijom GA Matematički fakultet
LOBA – rezultati Poređenje VNS-a i VNS GA Matematički fakultet
LOBA – rezultati Poređenje na instancama SCJ velikih dimenzija (100, 200, 300, 402) Matematički fakultet
MMDP - problem • Problem maksimizacije minimalnog rastojanja (Max Min Diversity Problem, MMDP) • Skup od n elemenata • Bira se m • Maksimizovati minimalno rastojanje među odabranim elementima Matematički fakultet
MMDP - problem • Primer • Jednostavan na realnoj pravoj • m = 5 • n = 3 Matematički fakultet
MMDP - problem • Primena • U različitim oblastima • Socialne nauke • Biološke nauke • Npr. U ekologiji • Raspoređivanjepostrojenja • Svaki element može predstavitiskupomatributa • Rastojanje različito definisano Matematički fakultet
MMDP - problem • MMDP NP-težak • Nezavisnosupokazali • Erkut (1990) • Ghosh (1996) Matematički fakultet
MMDP - problem • Matematička formulacija Matematički fakultet
MMDP – GA, VNS, GA VNS • Tehnike rešavanja kao za problem LOBA Matematički fakultet
MMDP - rezultati • Testirano na tri skupa instanci • Glover • Instance dimenzija n = 10, 15, 20 • m = 0.2n do 0.8n • Rezultati provereni korišćenjem CPLEX-a • Geo i Ran • Instance dimenzija n = 100, 250, 500 • m = 0.1n do 0.3n • Na drugačiji način generisane Matematički fakultet
MMDP - rezultati • Za instance manjihdimenzija rešenja su proverena korišćenjem CPLEX-a • Prosek vremena (u sekundama) na tim instancama: • CPLEX 134.46 • GA 0.37 • VNS 0.76 Matematički fakultet
MMDP - rezultati Pregled vremena (u sekundama) izračunavanja na većim instancama Matematički fakultet
Zaključak • Rešavani problemi su pogodni za rešavanje heurističkim metodama • Za dalji rad: • Rešavanje sličnih problema • Paralelizacija VNS-a • Implementacija drugih heuristika Matematički fakultet
Hvala na pažnji. • Pitanja Matematički fakultet