Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

1. Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208

3. Vlastnosti posloupností Stejně jako u funkcí, můžeme u posloupností určovat • monotónnost • ryze monotónní posloupnost • (rostoucí či klesající posloupnost) • monotónní posloupnost, • (neklesající či nerostoucí posloupnost) • omezenost • shora omezená posloupnost, • zdola omezená posloupnost, • posloupnost omezená.

4. Monotónnost Nechť je posloupnost reálných čísel, n N. Jestliže platí • an<an+1, pak je daná posloupnost rostoucí, • an>an+1, pak je daná posloupnost klesající, • an an+1 , pak je daná posloupnost neklesající, • an an+1, pak je daná posloupnost nerostoucí, • an= an+1, pak je daná posloupnost konstantní.

5. 1) Posloupnost rostoucí: • následující člen je větší než člen předchozí • například: an 3 2 1 n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 –1 –2 Najdete rekurentní vzorec pro danou posl.? –3 Každé následující číslo je o jedničku větší: –4 –5

6. 2) Posloupnost klesající: • následující člen je menší než člen předchozí • například: an 4 3 2 1 n 2 3 4 5 6 7 1 –1 –2 –3 Jedničku tomu, kdo najde rekurentní vzorec! –4 –5

7. 3) Posloupnost neklesající: • následující člen je větší nebo roven předchozímu • například: an 12 10 8 6 4 2 n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

8. 4) Posloupnost nerostoucí: • následující člen je menší nebo roven předchozímu • například: an 4 2 n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 –2 –4 –6

9. 5) Posloupnost konstantní: • následující člen je roven předchozímu • například: an 1 n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 1

10. Omezenost Nechť je posloupnost reálných čísel. • Jestliže existuje m R, že pro každé n  N platí: anm, pak je daná posloupnost zdola omezená. • Jestliže existuje M R, že pro každé n  N platí: anM, pak je daná posloupnost shora omezená, • Jestliže je posloupnost omezená shora i zdola, pak je daná posloupnost omezená. • existuje takové K R+(kde K je max. z hodnot|m|,| M|),že pro každé n  N platí: |an|K, • neboli m anM.

11. 1) Posloupnost zdola omezená: • každý člen je větší než „nějaká“ jistá hodnota • například: an hodnoty stále narůstají – maximum neexistuje 6 5 4 3 2 1 n 0 2 3 4 5 6 7 1 m = a1 = –2 –1 –2 jsme schopni určit minimum ze všech hodnot

12. 2) Posloupnost shora omezená: • každý člen je menší než „nějaká“ jistá hodnota • například: an M = a1 = 7/2 7/2 jsme schopni určit maximum ze všech hodnot 3 5/2 2 3/2 1 1/2 n 0 2 3 4 5 6 7 8 1 hodnoty stále klesají – minimum neexistuje

13. 3) Posloupnost omezená: • všechny členy jsou mezi dvěma „nějakými“ jistými hodnotami • například: maximum ze všech hodnot an M = 1 1 n 2 3 4 5 0 1 6 7 8 –1 m = – 1 minimum ze všech hodnot

14. Použitá literatura: • ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 1, s. 7–20 • JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5, s. 127–131