Dynamika sústavy HB (SHB)

1. Dynamika sústavy HB (SHB)

2. Ťažisko sústavy HB a telesa • predpoklady: • sústava 2 HB (telies): m1, m2 • 2HB (telesá) – pevne spojené - vnútorná interakčná sila • Podmienky rovnováhy: • sústava je umiestnená v gravitačnom poli • - gravitačné sily • sústava je v pokoji, ak pôsobia na HB rovnako veľké sily opačného smeru

3.  Sústava je v pokoji, ak výslednica všetkých vonkajších síl, ktoré na sústavu pôsobia, je nulová. • Sústavu upevníme v bode A: • miera otáčavého účinku M bude tým väčšia, čím je vzdialenosť miesta upevnenia od ťažšieho závažia r2 väčšia a čím je závažie ťažšie a čím je vzdialenosť r1 od ľahšieho závažia menšia a závažie je ľahšie.

4. ak uhol medzi nie je 900, potom na otáčavý účinok má vplyv len tá zložka sily, ktorá je na polohový vektor kolmá. • Platí: • Vektorový zápis: - moment sily (jednotka: Nm) Všeobecne platí, že sústava je v pokoji, ak výslednica momentov všetkých síl je nulová: Bod na tyči, kde treba sústavu upevniť, aby bola splnená táto podmienka, sa chová tak, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a tento bod nazývame ťažiskom sústavy.

5. Výpočet ťažiska: momenty síl: platí: Analogicky pre n - bodov: Pre teleso so spojite rozloženou hmotnosťou: kde - polohový vektor hmotnostného elementu telesa (ťažisko telesa môžeme brať ako HB).

6. Veta o hybnosti sústavy, veta o pohybe ťažiska, 1. veta impulzová • Predpoklad: • na sústavu HB pôsobia vonkajšie sily, • - výslednica vonkajších síl pôsobiacich na i-tý HB. • výslednica všetkých síl pôsobiacich na sústavu: pričom platí:

7. Veta o pohybe ťažiska: vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na sústavu sa rovná súčinu celkovej hmotnosti sústavy a zrýchlenia jej ťažiska, čo znamená, že ťažisko sústavy sa pohybuje ako častica hmotnosti m,na ktorú pôsobí výsledná sila F. • Pre hybnosť platí: • Veta o hybnosti sústavy (1. veta impulzová): vektorový súčet všetkých sílpôsobiacich na sústavu sa rovná derivácii celkovej hybnosti sústavy podľa času. • Ak zákon zachovania hybnosti pre sústavu častíc: sústava, na ktorú nepôsobí vonkajšia sila, sa nazýva izolovaná sústava a platí v nej zákon zachovania hybnosti.

8. Veta o momente hybnosti – 2. veta impulzová • nech HB má hmotnosť mi a pohybuje sa rýchlosťou vi. • Def.: moment hybnosti kde je polohový vektor HB hmotnosti mi . • platí: • Sústava HB:

9. Veta o momente hybnosti (2.veta impulzová): vektorový súčet všetkých momentov síl pôsobiacich na sústavu sa rovná derivácii celkového momentu hybnosti sústavy podľa času. • Ak celkový moment síl: Zákon zachovania momentu hybnosti: celkový moment hybnosti SHB, pre ktorú sa výsledný moment síl rovná nule, ostáva konštantný - nemení sa.

10. Dynamika tuhého telesa (TT)

11. Pohybové rovnice a podmienky rovnováhy TT • Dokonale tuhé teleso: • je špeciálnym prípadom SHB, • vzájomná vzdialenosť HB sa nemení, • HB sú tak blízko seba, že hmotnosť tuhého telesa považujeme za spojito rozloženú. • Pohybové rovnice (veta o pohybe ťažiska a veta o momente hybnosti) platia i v prípade tuhého telesa a spoločne úplne charakterizujú pohyb tuhého telesa: (diskrétny súčet je potrebné nahradiť spojitým, tj. integráciou)

12. Podmienka rovnováhy TT: vektorový súčet všetkých síl a vektorový súčet ich momentov vzhľadom na ľubovoľný bod sa musí rovnať nule. • Pohyb TT: • Otáčavý pohyb TT: • uvažujeme otáčavý pohyb telesa v súradnicovej sústave, kde os otáčania nemení svoju polohu - otáčanie okolo pevnej osi, • všetky body TT sa pohybujú po kružniciach, pričom stredy týchto kružníc ležia na priamke, ktorá sa nazýva os otáčania, • kružnice ležia v rovinách kolmých na os otáčania, • v danom časovom intervale opíšu všetky body rovnaký uhol a teda majú rovnakú uhlovú rýchlosť • Posuvný pohyb TT: všetky body TT sa pohybujú po priamkach a v danom časovom intervale prejdú rovnakú vzdialenosť - majú rovnakú rýchlosť

13. Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi • element dm rotuje okolo osi po kružnici polomeru r.

14. I – moment zotrvačnosti (kgm2) • je mierou zotrvačných vlastností otáčajúceho sa telesa, • nezávisí iba od hmotnosti telesa, ale aj od jej rozloženia vzhľadom na os otáčania. • Ak teleso koná postupný aj otáčavý pohyb okolo osi, potom výsledná kinetická energia pohybujúceho sa telesa sa rovná súčtu kinetickej energie rotácie okolo osi a kinetickej energie postupného pohybu: Steinerova veta:I je moment zotrvačnosti telesa hmotnosti m vzhľadom na ľubovoľnú os a I0 je jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom a rovnobežnú s prvou osou, pričom vzdialenosť oboch osí je a, potom platí:

15. Moment hybnosti, pohybová rovnica TT otáčajúceho sa okolo pevnej osi • Uvažujeme: symetrické teleso otáčajúce sa okolo osi symetrie. • elementárny moment hybnosti: kde je polohový vektor elementu dm a je jeho obvodová rýchlosť. • ku každému vybranému elementu existuje element s ním symetrický vzhľadom na os otáčania. Rozložme oba príspevky od vybraného elementu a od elementu s ním symetrického na dve na seba kolmé zložky: • - zložky rovnobežné s osou otáčania • - zložky kolmé na os.

16. kolmé zložky sú rovnako veľké a opačne orientované, teda k celkovému momentu hybnosti neprispievajú – vykrátia sa. • výsledný moment hybnosti sa bude rovnať súčtu zložiek rovnobežných s osou otáčania od všetkých elementov a bude ležať v osi otáčania (smer jednotkového vektora ). pretože Platí: potom

17. Pohybová rovnica pre otáčajúce sa teleso: • V prípade symetrického rotujúceho telesa všetky uvedené vektory ležia v osi otáčania, potom môžeme používať aj skalárny tvar pohybovej rovnice:

18. Práca, výkon, veta o kinetickej energii • Nech: • M - moment sily pôsobiaci na teleso, ktoré sa môže otáčať okolo pevnej osi, • je elementárny uhol, o ktorý sa teleso otočilo počas elementárneho časového intervalu dt. • Súčin možno zapísať v tvare: • Potom - celková práca vykonaná vonkajšími silami pri otočení telesa o uhol

19. Veta o kinetickej energii v prípade otáčavého pohybu TT okolo pevnej osi: kde sú uhlové rýchlosti otáčania TT na začiatku a na konci pôsobenia momentu vonkajších síl M. • Výkon, ako práca vykonaná za jednotku času, je v prípade otáčavého pohybu tuhého telesa daný vzťahom:

20. Kyvadlá • Kyvadlá: • fyzikálne (horizontálna os otáčania, os je mimo ťažiska), • torzné (os otáčania je zvislá, prechádza ťažiskom). • Fyzikálne kyvadlo: ľubovoľné teleso, ktoré sa vplyvom vlastnej tiaže (v gravitačnom poli Zeme) kýva okolo vodorovnej osi neprechádzajúcej ťažiskom telesa. pohybová rovnica: Vektory ležia v osi otáčania a sú opačne orientované, preto skalárny tvar pohybovej rovnice je:

21. Označíme: -kladná konštanta, uvažujeme malé kmity: Dostaneme: - diferenciálna rovnica druhého rádu bez pravej strany a jej riešením je: kde je maximálna výchylka, je uhlová frekvencia a je fázová konštanta. Doba kmitu:

22. Matematické kyvadlo: • je špeciálnym prípadom fyzikálneho kyvadla. Prakticky ho možno zrealizovať tak, že zavesíme guľôčku, ktorá predstavuje hmotný bod, na niť zanedbateľnej hmotnosti. Moment zotrvačnosti: kde m je hmotnosť guľôčky a l je dĺžka nite. Doba kmitu:

23. Reverzné kyvadlo: je špeciálnym prípadom fyzikálneho kyvadla. Slúži napr. na presné určenie gravitačného zrýchlenia g. • Torzné kyvadlo: Teleso (napr. kruhová doska), zavesené na pružnom vlákne tak, že os vlákna prechádza ťažiskom. Ak teleso z rovnovážnej polohy otočíme o uhol α, pôsobí na teleso moment torzných síl prenášaný vláknom na dosku. Použitie: exp. určovanie momentu zotrvačnosti symetrických telies.

24. Zrážky • zrážka pevných telies nárazové sily náhla zmena rýchlostí (smer, veľkosť), • nárazové sily (vnútorné sily)– veľké, trvajú krátku dobu, • vonkajšie sily (tiaž telies, odporové sily, ...) - zanedbateľne malé dynamicky izolovaná sústava platí zákon zachovania hybnosti a momentu hybnosti. • Rozdelenie zrážok 1. zgeometrického hľadiska: - priame a šikmé, - centrálne a excentrické.

25.   T2 T1 T1 T2   • priama centrálna zrážka • šikmá excentrická zrážka

26.  T1 T2 m1 m2 2. podľa mechanických vlastností materiálov zrážajúcich sa telies: - pružné (dočasné deformácie), - nepružné (trvalé deformácie). Priama centrálna pružná zrážka dvoch telies - dve telesá (napr. gule) s hmotnosťami m1 a m2, mali pred zrážkou rýchlosti v1 a v2. - po priamej centrálnej pružnej zrážke získali rýchlosti v1´ a v2´. - predpoklad: teleso s hmotnosťou m1 má väčšiu rýchlosť ako teleso s hmotnosťou m2, ktoré mu bráni v priamom pohybe v1v2

27. prvá fáza - telesá sa dotknú, začnú na seba pôsobiť silami - pomalšiu guľu urýchlia a rýchlejšiu spomalia -  telesá sa začnú deformovať. • sily, ktorými na seba telesá navzájom pôsobia, rastú od 0 až do istej maximálnej hodnoty Fmax (maximálna deformácia telies, ktoré sa v tomto okamihu pohybujú rýchlosťou v). • druhá fáza - ak sú telesá aspoň čiastočne pružné, nastáva tzv. vzpružovanie, pri ktorom sa deformácia zmenšuje, nárazové sily klesajú. Táto fáza končí v okamihu, keď sa telesá prestanú dotýkať.

28. nové rýchlosti telies vypočítame pomocou zákona zachovania hybnosti a zákona zachovania mechanickej energie (pri priamej centrálnej zrážke ležia ťažiská telies po zrážke na tej istej spojnici ťažísk ako pred zrážkou, preto sa ich potenciálne energie nemenia a zákon zachovania mechanickej energie prejde na tvar zachovania kinetických energií): - Po úprave platí:

29. špeciálne prípady: 1. a , t.j. gule si vymenia rýchlosti. 2. a a , guľa 1 odovzdala svoju energiu stojacej guli 2, pričom sa sama zastavila a guľa 2 sa začala pohybovať tou istou rýchlosťou. 3. ak 1 guľa sa odráža späť, ak obe sa pohybujú v pôvodnom smere. 4. 5. (náraz častice na stenu), Častica sa pružne odrazí.

30. 3. Priama centrálna nepružná zrážka dvoch telies Keď sú zrážajúce sa gule dokonale nepružné, po zrážke sa gule trvalo deformujú - gule po zrážke splynú v jedno teleso s hmotnosťou m rovnou a pre rýchlosť telesa v bude platiť ak idú za sebou. Potom ich spoločná rýchlosť bude: • špeciálne prípady: 1. 2. (idú oproti sebe) 3. (náraz na stenu)

31. Pri nepružnej zrážke sa časť kinetickej energie telesa v priebehu nárazu premení na energiu tepelnú (narastie teplota telies), t.j. Ek pred zrážkou> Ek po zrážke potom