MIROSLAV KUÄŒERA

1. Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

2. Kontakt miroslav.kucera@vsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

3. Konzultační hodiny Po – Pá 8:30 – 15:00možno i jindy po dohodě Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

4. Předpokládané znalosti Funkce, konstrukce grafu funkce, derivace Cíl předmětu Rozšířit znalosti v oblasti funkcí – vzhled, průběh, vlastnosti dále v oblasti Integrálního počtu – integrování funkcí, posloupnosti Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

5. Požadavky k získání zápočtu Účast na cvičeních minimálně 50%Vypracování zápočtové práce se ziskem minimálně 51% Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

6. Požadavky k získání zkoušky Vypracování písemné práceÚstní část zkoušky Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

7. Literatura Budínský, Havlíček: Matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření Budínský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření Kaňka, Coufal, Klůfa: Učebnice matematiky pro ekonomy http://maths.cz/redaktor/jakub-vojacek.html ... a jiná literatura na probírané téma Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

8. Učební materiály v IS VSFS is.vsfs.cz Student E-learning Matematika B 2 Studijní materiály Učební materiály Kučera Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

9. Funkce Průběh funkce Fce je předpis, kterým je všem x z množiny přiřazeno právě jedno y z množiny . Definiční obor, obor hodnot, proměnná, funkční hodnota, soustava souřadnic, graf, tabulka, značení, Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

10. Typy a vlastnosti fcí y x Lineární: y = ax + b přímka Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

11. Typy a vlastnosti fcí Lineárně lomená: y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

12. Typy a vlastnosti fcí Kvadratická: parabola y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

13. Typy a vlastnosti fcí Mocninné: y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

14. Vlastnosti fcí Rostoucí Klesající Prostá Sudá Lichá Omezená - minimum, maximum Konvexní Konkávní Inverzní Spojitá Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

15. Vlastnosti fcí Průběh funkce je aplikace derivací Směrnicetečny v bodě - tedy derivace funkce v bodě Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

16. Vlastnosti fcí Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

17. Vlastnosti fcí • Kdy je funkce v bodě rostoucí? Když je tečna v tomto bodě rostoucí. • Kdy tečna roste? Když je úhel v intervalu (0, 90) stupňů, tj, když je tangens úhlu kladný. • Co je to derivace? Směrnice tečny. • Co je směrnice? Tangens úhlu. • Kdy funkce v bodě roste? Když je derivace v tomto bodě kladná. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

18. Vlastnosti fcí Jestliže f'(q)>0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q rostoucí. Jestliže f'(q)<0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q klesající. Pokud je f'(q)=0, pak má funkce v tomto bodě extrém Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

19. Vlastnosti fcí Konvexnost a konkávnost Funkce je konvexní Funkce je konkÁvní Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

20. Vlastnosti fcí Funkce f(x) je v bodě x0 konvexní, pokud platí f''(x0)≥0 a konkávní pokud f''(x0)≤0. Funkce f(x) je v bodě x0 ryze konvexní, pokud platí f''(x0)>0 a ryze konkávní pokud f''(x0)<0. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

21. Vlastnosti fcí Extrémy Má-li fce v bodě c lokální extrém, pak derivace v tomto bodě buď neexistuje, nebo je rovna nule. (nutná podmínka) Je-li fce na nějakém intervalu spojitá a existuje okolí tohoto bodu , kde Je-li f'(x)>0 v intervalu a f'(x)<0 v intervalu , má fce v bodě c ostré maximum. (první postačující podmínka) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

22. Vlastnosti fcí Podobně je tomu u minima Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

23. Vlastnosti fcí Předpoklad: f'(x) existuje v určitém okolí bodu c Je-li f'(x) =0 a f''(x) < 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální maximum Je-li f'(x) =0 a f''(x) > 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální minimum (druhá postačující podmínka) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

24. Vlastnosti fcí Inflexní bod (bod změny) Předpoklady: Fce je na daném intervalu spojitá a v každém jeho vnitřním bodě má derivaci. >0 tak, že fce je na intervalu konvexní a na intervalu konkávní (respektive obráceně) , pak platí: Existuje – li f''(c), pak je rovna nule. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

25. Vlastnosti fcí • Shrnutí • Určíme D(f) • Určíme – sudost, lichost, periodicitu a další speciální vlastnosti • Vyšetříme spojitost • Určíme průsečíky s osou x a y • Určíme limity v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech • Vypočítáme první derivaci – lokální extrémy, rostoucí, klesající • Vypočítáme druhou derivaci – inflexní body, konvexnost, konkávnost • Nakreslíme graf Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

26. Vlastnosti fcí INTEGRÁL Fci F(x) nazvu primitivní funkcí k fci f(x) na otevřeném intervalu I právě tehdy když platí pro každé x z I: F‘(x) = f(x) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

27. Vlastnosti fcí Neurčitý integrál (primitivní fce k fci f) značíme: respektive Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

28. Vlastnosti fcí Nechť existují integrály a a, b jsou reálná čísla. Pak v I existuje Kde c je integrační konstanta. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

29. Vlastnosti fcí Integrační metoda Per partes (po částech) Nechť fce f a g mají v I spojité derivace. Potom platí: Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

30. Vlastnosti fcí Substituční metoda Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz