1 / 70

FINANČNÍ MATEMATIKA

FINANČNÍ MATEMATIKA. VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Mgr. Miroslav Kučera ; miroslav.kucera@vsfs.cz. ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. 1. Typy a druhy úročení, budoucí hodnota investice Úrok - odměna za získání úvěru (cena za službu peněz)

logan-chandler
Download Presentation

FINANČNÍ MATEMATIKA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FINANČNÍ MATEMATIKA VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  2. ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY • 1.Typy a druhy úročení, budoucí hodnota investice Úrok - odměna za získání úvěru (cena za službu peněz) Roční úroková sazba (míra)(r) – úrok v % z hodnoty kapitálu za časové období Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  3. Připisování úroků:p.a. – roční p.s. – půlročníp.q. – čtvrtletní p.m. – měsíční p.d. – denníDoba splatnosti (n)doba, po kterou je peněžní částka zapůjčena Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  4. Typy úročení • jednoduché: vyplacené úroky se nepřičítají k původnímu kapitálu a dále se neúročí • složené: úroky se přičítají a dále úročí • spojité: počet úročení roste do nekonečna Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  5. Jednoduché FV = PV · ( 1 + r · n ) • Složené Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  6. r (i) – úroková sazba n (t) – doba platnosti m – frekvence připisování úroků FV – future value PV – prezent value Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  7. Kapitál Úrok r = 20% r = 10% 150 úrok Počáteční kapitál čas 1 2 3 4 5 200 Závislost úroku na době splatnosti kapitálu 175 125 100 Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  8. Př: Vypočítejte konečnou hodnotu vkladu 100 000 Kč uloženou na dobu 5 let s úrokovou sazbou 5% ( 10%, 20%) při jednoduchém úročení. • Př:Jakou částku obdrží pan Neveselý ze svého šestiměsíčního termínovaného vkladu 200.000 Kč úročeného 5 % p.a.? Daň z úroků je 15 %. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  9. Př:Jaká je cena peněz půjčených v zastavárně, účtuje-li si zastavárna 2 % za týden? Počítejte: a) jednoduché úročení b) složené úročení • Př:Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1.000 Kč po 5 – 10 - 15 –20 letech, bude-li průměrné zhodnocení 3 % - 8 % - 13 %. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  10. 2. Přepočet ročních úrokových sazeb při různé periodě připisování úroků. • Př:Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5, 10, 15 20 letech, bude-li průměrné zhodnocení 3%. Porovnejte jednoduché a složené úrokování. Graf. • Př:Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5 letech, bude-li průměrné zhodnocení 5% a úroky budou připisovány p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Graf. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  11. Používané kódy: • ACT - započítává se skutečný počet dní smluvního vztahu. Obvykle se nepočítá 1. den • 30E – celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dní jako 30 dnů • 30A – liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na poslední den v měsíci a současně začátek není poslední den v měsíci Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  12. Délka roku je 365 nebo 360 dní • ACT/365 – anglická metoda • ACT/360 – francouzská, či mezinárodní • 30E/360 – německá, či obchodní Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  13. Př:Rozhodněte, která varianta termínovaného účtu je výhodnější a) 12% roční úroková sazba s p.d. b) 12,5% roční úroková sazba s p.s. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  14. Efektivní úroková sazba ( re ) • roční úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba při častějším připisování úroků. • Snaha o dosažení stejného finančního efektu při úročení p.a. ( nominální úr. sazba při ročním úrokovacím období je vyšší než při úrokovacím období kratším než rok) • Umožňuje porovnat různé úrokové sazby srovnávané za stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  15. Př: Najděte r , která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li úroky připisovány a) p.s. b) p.q. c) p.m. • Spojité připisování úroků FV = PV * ( e r*n ) • Př: Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém úročení a sazbě 5,5%? Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  16. 3.DISKONT A RŮZNÉ DRUHY DISKONTOVÁNÍ (D) • Je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky (předlhůtní úročení) • rozdíl mezi FV a PV • D = FV*d*nd = diskontní míra (%) • Používá se nejčastěji pro eskont směnek, část náhrady předem • Krátkodobé cenné papíry s jmenovitou hodnotou jako hodnotou budoucí. • státní pokladní poukázky (zisk je rozdíl mezi kupní a nominální hodnotou) • krátkodobá splatnost Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  17. Diskontování: Výpočet současné hodnoty z hodnoty budoucí • PřOsoba A vystavila osobě B směnku na částku 10.000 Kč s dobou splatnosti 1 rok, s diskontní mírou 8% . Kolik osoba A ve skutečnosti obdrží? • Př Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku o nominální hodnotě 10.000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  18. Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a diskontní sazbou. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  19. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  20. Př Porovnejte diskontní sazbu a polhůtní úrokovou sazbu. Eskontována směnka splatná za půl roku o nominální hodnotě 100 000 Kč s roční diskontní sazbou 12%. Jednoduché úročení s roční úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl roku se musí splatit 100 000 Kč. Shodné výnosy: • Diskontní faktor (v) udává současnou hodnotu jednotkového vkladu, který je splatný za 1 rok při úrokové sazbě r. Složené:v = (1 + r) -1Jednoduché:v = (1 + r n) -1 Spojité:v = e-rPV = FV * v n Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  21. Smíšené úročení: Doba úročení není v celých letech, n0 je počet celých let, l je zbytek doby úročení lomený počtem příslušných jednotek za rok. • FV = Pv * ( 1 + r )n0 * ( 1 + l * r ) • Př Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli obnos 100 000 Kč při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále úročeny. • Př V oznámení o aukci 91 denních SPP s nominální hodnotou 1 mil. Kč je jako max. akceptovatelná (roční) úroková míra uvedeno 5,65%. Jaká cena SPP odpovídala této úrokové míře? Jakou (roční) míru zisku realizoval investor, který SPP koupil za tuto cenu a prodal ji za 58 dní (tj. 33 dny před splatností) za cenu 996 300 Kč? Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  22. Př Směnka na $20 000 je splatná za dva roky a 5 měsíců. Jaký je její základ při spojitém úrokování s roční nominální úrokovou mírou 15%? Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  23. 4. Budoucí hodnota anuity, anuita • Budoucí hodnota anuity • pravidelné vklady jistiny (stejné částky) během celého období spoření • úroky z úroků • spoření na vkladní knížku, otevřeného podílového fondu, stavební • spoření Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  24. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  25. Anuita • výše pravidelné (stále stejné) splátky úvěru během celého období splácení • úroky z úroků • splátka hypotéky, úvěru stavebního spoření, spotřebitelského úvěru, • pravidelné čerpání naspořené částky po určitou dobu ( důchod, renta) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  26. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  27. Př: Kolik naspoří pan Trpělivý za 30 let, spoří-li pravidelně měsíčně 1.000 Kč: na termínovaný vklad (Ø roční úrok 3%) do fondu peněžního trhu (Ø roční zhodnocení 6%) do akciového fondu (Ø roční zhodnocení 15%) Př: Kolik bude muset pravidelně měsíčně splácet paní Důvěřivá, vezme-li si úvěr 1.000.000 Kč na 5 let za předpokladu, že úrok činí 12% p.a. a jde o anuitní splácení? Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  28. Peněžní tok: Pohyb peněžních prostředků v čase (platby) a to jak příjmy (znaménko +) tak výdaje (znaménko - ). Př: Uvažujme peněžní toky dané tabulkou a úrokovou mírou 4% při a) ročním připisování úroků, b) spojitém připisování. Vypočítejte jejich hodnotu ve čtvrtém roce. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  29. VZTAH MEZI BUDOUCÍ A SOUČASNOU HODNOTOU – VÝNOS INVESTICE, VÝNOSOVÁ KŘIVKA • Výnos do splatnosti pro pokladniční poukázku či bezkuponovou obligaci • Výnosové křivky • Forvardová křivka (očekávání) • Durace • Konvexita Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  30. Obligace (Dluhopisy)je dlouhodobý cenný papír, který vyjadřuje dlužnický závazek emitenta vůči oprávněnému majiteli dluhopisu • Doba splatnosti – kdy dochází ke splacení nominální hodnoty dluhopisu • může být upravena – emitent si vyhradí právo na předčasné splacení dluhopisů • (call opce), toto právo může být dáno majiteli dluhopisu (put opce) • dluhopisy s pevnou kuponovou úrokovou sazbou • dluhopisy s pohyblivou kuponovou úrokovou sazbou (PRIBOR, LIBOR) • dluhopisy s nulovým kuponem • Cena dluhopisu (P) – tržní, teoretická Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  31. C – roční kuponová úroková platba • F – nominální hodnota dluhopisu • Př: Vypočítej teoretickou cenu dluhopisu s pevnou kuponovou sazbou 10% p.a., nominální hodnotou 1000 Kč, se splatností 3 roky a při tržní úrokové míře 11%. • - je – li kupon nulový P = F = (1 + r)n Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  32. Př: Vypočítejte teoretickou cenu dluhopisu s nulovým kuponem se splatností 3 roky, nominální hodnota dluhopisu činí 1000 Kč, při tržní úrokové míře 11% p.a. • Výnos z dluhopisu (r) kuponový úrokový výnos rozdíl mezi cenou kupní a prodejní (F) • Př:Jaký je výnos dluhopisu s dobou splatnosti 5 let, jestliže kupní cena byla 10 000 Kč a prodejní cena 21 000 Kč? Úroky byly připisovány p.a., p.s., p.q. a p.m. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  33. Př:Kolik bude stát obligace s nominální hodnotou 1 000 Kč, splatná za 3 (5 let) roky, jestliže její výnos je 8% (9%)? • Kuponová výnosnost • Běžná výnosnost Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  34. Alikvotní úrokový výnos (AUV) • část kuponového úrokového výnosu, odpovídající době od výplaty posledního kuponu do dne, ke kterému jej počítáme • Výnosové období • AUV% = pk * tv • 360 • pk – kuponová úroková sazba dluhopisu • tv – délka výnosového období (A) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  35. Výše AUV Čas Datum emise, datum výplaty posledního kuponu Datum vypořádání obchodu Datum výplaty dalšího kuponu Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  36. Cena dluhopisu B – počet dní, od nákupu dluhopisu po výplatu kupónu s – počet celých let do splatnosti dluhopisu Čistá cena dluhopisu PCL = P - AÚV Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  37. Banka se rozhodla pro krátkodobou investici a zakoupila T-bill (pokladniční poukázky v USA) s nominální hodnotou 1 000 000 $ a dobou splatnosti 13 týdnů nabízený za cenu 968 710 $. Za 60 dní však tuto poukázku prodala firmě, která potřebovala právě na jeden měsíc před jinou očekávanou investicí vhodně umístit své rezervy a byla ochotna za T-bill zaplatit 989 250 $. Byl takový prodej poukázky před jejím datem splatnosti výhodný? Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  38. Jiný ukazatel výnosnosti- rendita – zjednodušení výnosnosti do doby splatnosti • Výnosnost za dobu držby: Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  39. Př: Uvažujte dva pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 6% a tržní cenu 9 560 Kč a dluhopis 2 má kuponovou sazbu 14% a tržní cenu 10 670 Kč. Spočtěte a) běžný výnos b) výnos do splatnosti c) aproximativní výnosy. • Př: Uvažujte tři pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 9,8% a tržní cenu 10 000 Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a tržní cenu 8 840 Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a tržní cenu 11 280 Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) hrubý výnos do splatnosti, b) čistý výnos do splatnosti s daňovou sazbou 15 %. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  40. Př:Jaké čisté výnosnosti dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku 100 000 Kč na šestiměsíční termínovaný vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční term. Vklad při 12% úrokové sazbě p.a.?Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů ve výši 15%. • Př: Dluhopis s pevnou kuponovou úrokovou platbou má kup. Sazbu 10% p.a. , nominální hodnotu 1 000 Kč a kupní cenu 950 Kč. Po jednom roce se dluhopis prodal za cenu 1 150 Kč. Jaká byla hrubá a čistá výnosnost, jestliže úroky podléhají dani z příjmu 25%. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  41. VÝNOSOVÉ KŘIVKY vztah mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti dluhopisů (státní) konkrétní dluhopisy lišící se pouze dobou do splatnosti (shodné další vlastnosti) s delší dobou do splatnosti větší výnos (rostoucí) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  42. Výnosová křivka: • bezkuponových dluhopisů • kuponových dluhopisů • Forwardová Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  43. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  44. Př:Máme tři kuponové dluhopisy v nom. hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony. 1 - jednoletý s kup. sazbou 5,8% a tržní cenou 9 980 Kč. 2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a tržní cenou 9 960 Kč. 3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a tržní cenou 9 920 Kč.Odhadněte odpovídající hodnoty výnosové křivky bezkuponových dluhopisů. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  45. FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekávání) • znázorňuje závislost mezi forwardovými výnosy do splatnosti a dobou do splatnosti bezkuponových či kuponových dluhopisů • křivky rostoucí: forwardová leží vždy nad výnosovými křivkami • je z roku na rok, z roku na dva, z roku na tři ………… • křivky klesající: forwardová leží vždy pod výnosovými křivkami Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  46. je-li rostoucí: trh očekává zvýšení úrokových sazeb • je-li klesající, očekává snížení úrokových sazeb • Př: Zjistěte body forwardové výnosové křivky, jestliže znáte body výnosové křivky: y1* = 8%, y2* = 9%, y3* = 10% při spojitém připisování úroků. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  47. DURACE • Je to aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise. • průměrná doba do splatnosti • průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  48. dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  49. Durace je tím nižší čím: • vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti • dříve platba z daného instrumentu nastává • kratší je celková doba do splatnosti Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

  50. čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

More Related