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Ecuaciones Scherzer

SCHERZER. APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO. Ecuaciones Scherzer. Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático Raúl Alberto Scherzer Garza Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México 33 36 14 68 15. SCHERZER. APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO.

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Presentation Transcript

  1. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO EcuacionesScherzer Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático Raúl Alberto Scherzer Garza Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México 33 36 14 68 15

  2. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Las ecuaciones son relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas, el objetivo es hallar el valor de estás últimas. En álgebra básica existen 4 tipos de ecuaciones que debemos saber resolver.

  3. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Las cuatro ecuaciones básicas. Con sus métodos de solución.

  4. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Los cuatro tipos ecuaciones. Ecuaciones de primer grado con 1 incógnita. Despejes. Ecuaciones de segundo grado con 1 incógnita. Ecuación general. Factorización. Completar el trinomio cuadrado perfecto. Ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. Suma y resta, eliminación, reducción, cancelación o de Gauss. Sustitución. Igualación. Determinantes. Gráfico. Ecuaciones de primer grado con 3 incógnitas. Suma y resta, eliminaciones sucesivas o de Gauss. Determinantes. Matrices.

  5. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Igualdad, ecuación, identidad, grado y número de incógnitas.

  6. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Igualdad y desigualdad Toda expresión matemática que lleva el símbolo de: = se llama igualdad. Toda expresión matemática que lleva los símbolos de: ≤ ≥ < > se llama desigualdad.

  7. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Igualdad, ecuación e identidad. El valor de la x es 2 Ecuación x + 5 = 7 Igualdad El valor de la x puede ser cualquiera Identidad x + 5 = 5 + x

  8. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO ¿Cómo determinamos el grado y el número de incógnitas? El grado de una variable. Es su exponente. x3z4 x es de tercer grado y la z de cuarto grado. El grado de un término. Es la suma de sus exponentes. − 15x2y3z4 término de noveno grado. El grado de una ecuación o polinomio. Es el grado mayor de todos los términos. 5x2y3 + 7x3y4 = 0 ecuación de séptimo grado. El número de incógnitas. Es la cantidad de variables diferentes. 3x − 8y + z = 0 ecuación con tres incógnitas.

  9. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

  10. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Partes de una ecuación 5x − 4 = 3x + 16 Primer miembro Segundo miembro Igualdad

  11. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO En resumen las reglas para despejar Primer miembro Segundo miembro pasa − + pasa + − pasa ÷ (arriba) (abajo) x pasa (arriba) (abajo) x ÷ pasa ( )n n√ pasa ( )n n√

  12. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de ecuaciones Primer miembro Segundo miembro = 10 x + 7 = 10 − 7 x = 3 x

  13. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de ecuaciones Primer miembro Segundo miembro = 12 2x − 4 = 12 + 4 2x = 16 2x = 16/2 x = 8 x Comprobación = 12 2(8) − 4 = 12 12

  14. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de ecuaciones Primer miembro Segundo miembro = 5x − 3 3x + 5 = 5 + 3 5x − 3x = 8 2x = 8/2 x = 4 x Comprobación = 3(4) + 5 5(4) − 3 = 17 17

  15. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de ecuaciones Primer miembro Segundo miembro = (4x − 3)/5 (2x + 4)/6 = 10x + 20 24x − 18 = 38 14x = 38/14 x = 19/7 x Comprobación = [2(19/7) + 4]/6 [4(19/7) − 3]/5 = 1.571428571 1.571428571

  16. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ejercicios de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

  17. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver las ecuaciones Soluciones: x + 2 = 11 x = 9 1 x − 3 = 5 2 x = 8 7 = 19 − x 3 x = 12 4 21 − x = 8 x = 13 x = 14 9x = 126 5 x = 4 x + 3x = 16 6 x = 71 7 5x = 71 + 4x x = 50 8 3x = 450 − 6x x = 24 9 3x/8 = 9 x = 2 10 8 = 12x/3

  18. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver las ecuaciones Soluciones: x/9 = 3 x = 27 11 7/x = 21 12 x = 1/3 (7 − x)/2 = 3 13 x = 1 14 (6x + 27)/x = 15 x = 3 x = −11/4 2(2x + 8) = 5 15 x = 49 49+5x = 3(6x−4x) 16 x = 6 17 6(11−x) = 2(3+2x) x = 5 18 3(9−x)/15 = 4/5 x = 0 19 (4+x)/8 = (2−x)/4 x = 3 20 x−(2x+1)=8−(3x+3)

  19. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

  20. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ecuaciones de segundo grado con 1 incógnita. La ecuación general de segundo grado es: ax2 + bx + c = 0 Tiene dos raíces o soluciones y solo dos, cuyos valores son: −b +√b² − 4ac −b −√b² − 4ac −b ±√b² − 4ac x1 = x1 = x = 2a 2a 2a De manera simplificada ambas se pueden escribir como: Está fórmula que se conoce como la del “Chicharronero”

  21. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ecuaciones de segundo grado con 1 incógnita. El carácter de estas raíces dependen del valor del binomio b2 − 4ac que se llama discriminante. Si b2 − 4ac > 0 es positivo, las raíces son reales y desiguales. Si b2 − 4ac = 0 es cero, las raíces son reales e iguales y su valor es de − b/2a. Si b2 − 4ac < 0 es negativo, las raíces son imaginarias y desiguales. La gráfica de la ecuación a2 +bx + c = 0 es una parábola. y y y x x x Dos soluciones reales iguales. Dos soluciones reales diferentes. Dos soluciones Imaginarias diferentes.

  22. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver una ecuación de segundo grado con 1 incógnita. Resolver la ecuación 3x2 − 5x + 2 = 0 En este caso a = 3, b = − 5, c = 2 que vamos a sustituir en la fórmula del “chicharronero” −b ±√b² − 4ac 5 ±√5² − 4(3)(2) 5 ±√25 − 24 5 ± 1 5 ±√ 1 5 − 1 5 + 1 6 4 x = = x = x2 = x1 = = = = = 6 6 6 6 6 2(3) 2a 6 6 2 = = 1 Las soluciones son: x1 = 1 y x2 = 2/3 3

  23. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver una ecuación de segundo grado con 1 incógnita. Para comprobar que x1 = 1 y x2 = 2/3 son las soluciones de la ecuación 3x2 − 5x + 2 = 0, sustituimos esos valores en la ecuación y debemos obtener cero. Para x1 = 1 3(1)2 − 5(1) + 2 = 3 − 5 + 2 = 0, por lo tanto, si es solución. Para x2 = 2/3 3(2/3)2 − 5(2/3) + 2 = 3(4/9) − 10/3 + 2 = 12/9 − 10/3 + 2 = 4/3 − 10/3 + 2 = − 6/3 + 2 = − 2 + 2 = 0, por lo tanto, si es solución.

  24. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver una ecuación de segundo grado con 1 incógnita. Resolver la ecuación 4x2 +3x − 22 = 0 En este caso a = 4, b = 3, c = − 22 que vamos a sustituir en la fórmula del “chicharronero” −3 ±√9 + 352 −b ±√b² − 4ac −3 ± 19 −3 + 19 −3 − 19 −3 ±√ 361 −22 16 −3 ±√3² − 4(4)(−22) x = = x = x2 = x1 = = = = = 2a 2(4) 8 8 8 8 8 8 8 −11 = = 2 Las soluciones son: x1 = 2 y x2 = − 11/4 4

  25. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver una ecuación de segundo grado con 1 incógnita. Para comprobar que x1 = 2 y x2 = −11/4 son las soluciones de la ecuación 4x2 + 3x − 22 = 0, sustituimos esos valores en la ecuación y debemos obtener cero. Para x1 = 2 4(2)2 + 3(2) − 22 = 16 + 6 − 22 = 0, por lo tanto, si es solución. Para x2 = 2/3 4(−11/4)2 + 3(−11/4) − 22 = 121/4 − 33/4 − 22 = 22 − 22 = 0, por lo tanto, si es solución.

  26. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver una ecuación de segundo grado con 1 incógnita. Resolver la ecuación x2 + 11x = − 24, o sea, x2 + 11x + 24 = 0 En este caso a = 1, b = 11, c = 24 que vamos a sustituir en la fórmula del “chicharronero” −11 ±√ 121−96 −b ±√b² − 4ac −11 ± 5 −11 + 5 −11 − 5 −11 ±√ 25 −16 −6 −11 ±√11² − 4(1)(24) = x = x = x2 = x1 = = = = = 2a 2(1) 2 2 2 2 2 2 2 −8 = = −3 Las soluciones son: x1 = − 3 y x2 = − 8

  27. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolver una ecuación de segundo grado con 1 incógnita. Para comprobar que x1 = − 3 y x2 = − 8 son las soluciones de la ecuación x2 + 11x + 24 = 0, sustituimos esos valores en la ecuación y debemos obtener cero. Para x1 = − 3 (− 3)2 + 11(− 3) + 24 = 9 − 33 + 24 = 33 − 33 = 0, por lo tanto, si es solución. Para x2 = − 8 (− 8)2 + 11(− 8) + 24 = 64 − 88 + 24 = 88 − 88 = 0, por lo tanto, si es solución.

  28. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Resolución de las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

  29. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. Las ecuaciones simultáneas son dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas, que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Por ejemplo: 6x − 5y = − 9 4x + 3y = 13 Si la x = 1 y la y = 3, satisfacen ambas ecuaciones, es decir, si sustituimos esos valores en cada ecuación resulta la igualdad. 6(1) − 5(3) = 6 − 15 = − 9 4(1) + 3(3) = 4 + 9 = 13 Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra. Por ejemplo: x + y = 5 3x + 3y = 15 son equivalentes porque multiplicando por tres una se obtiene la otra.

  30. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de Suma y Resta. Otros nombres son: eliminación, reducción, cancelación o de Gauss.

  31. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de suma y resta. Resolver el sistema: 6x − 5y = − 9 4x + 3y = 13 Ecuación 1 Ecuación 2 Multiplicamos por 3 la ecuación 1, y por 5 la ecuación 2; enseguida realizamos la suma y resta de las dos: 18x − 15y = − 27 20x + 15y = 65 38x = 38 Despejamos x de: 38x = 38 y obtenemos x = 38/38 → x = 1 Sustituimos x = 1, en la ecuación 2: 4(1) + 3y = 13 → 3y = 13 − 4 → 3y = 9 → y = 9/3 → y = 3 La solución del sistema es: x = 1 ; y = 3.

  32. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de suma y resta. Para comprobar la solución, sustituimos x = 1 y la y = 3 en ambas ecuaciones y deben de salir ciertas las igualdades: Para la ecuación 1, tenemos: 6(1) − 5(3) = − 9 6 − 15 = − 9 − 9 = − 9 satisface a la ecuación. Para la ecuación 2, tenemos: 4(1) + 3(3) = 13 4 + 9 = 13 13 = 13 satisface a la ecuación.

  33. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de suma y resta. Resolver el sistema: 7x − 15y = 1 −x − 6y = 8 Ecuación 1 Ecuación 2 Multiplicamos por 6 la ecuación 1, y por 15 la ecuación 2, además le cambiamos de signo; luego la suma y resta: 42x − 90y = 6 15x + 15y = −120 57x = −114 Despejamos x de: 57x = −114 → x = −114 /57 → x = −2 Sustituimos x = −2, en la ecuación 1: 7(−2) − 15y = 1 → −14 − 1 = 15y → −15/15 = y → −1 = y La solución del sistema es: x = −2 ; y = −1.

  34. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de suma y resta. Para comprobar la solución, sustituimos x = −2 y la y = −1 en ambas ecuaciones y deben de salir ciertas las igualdades: Para la ecuación 1, tenemos: 7(−2) − 15(−1) = 1 −14 +15 = 1 1 = 1 satisface a la ecuación. Para la ecuación 2, tenemos: −(−2) − 6(−1) = 8 2 + 6 = 8 8 = 8 satisface a la ecuación.

  35. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de suma y resta. Resolver el sistema: 3x − 4y = 41 11x + 6y = 47 Ecuación 1 Ecuación 2 Multiplicamos por 6 la ecuación 1, y por 4 la ecuación 2, luego la suma y resta: 18x − 24y = 246 44x + 24y = 188 62x = 434 Despejamos x de: 62x = 434 → x = 434/62 → x = 7 Sustituimos x = 7, en la ecuación 1: 3(7) − 4y = 41 → 21 − 41 = 4y → −20/4 = y → −5 = y La solución del sistema es: x = 7 ; y = −5.

  36. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de suma y resta. Para comprobar la solución, sustituimos x = 7 y la y = −5 en ambas ecuaciones y deben de salir ciertas las igualdades: Para la ecuación 1, tenemos: 3(7) − 4(−5) = 41 21 + 20 = 41 41 = 41 satisface a la ecuación. Para la ecuación 2, tenemos: 11(7) + 6(−5) = 47 77 − 30 = 47 47 = 47 satisface a la ecuación.

  37. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de Gráfico.

  38. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Sistema de coordenadas rectangular o cartesiano. + Eje de las y o de las ordenadas Primer Cuadrante (+,+) y Segundo Cuadrante (−,+) + − x Eje de las x o de las abscisas Origen (0,0) − Tercer Cuadrante (−,−) Cuarto Cuadrante (+,−)

  39. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Las coordenadas (x,y). Si la x es: + es moverse hacia la derecha. − es moverse hacia la izquierda. 0 es no moverse ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. Si la y es: + es moverse hacia arriba. − es moverse hacia abajo. 0 es no moverse ni hacia arriba ni hacia abajo.

  40. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Graficar los siguientes puntos… y 5 A(2, 3) B(−3, 2) C(−4, −2) D(4, −2) E(0, 3) F(2, 0) G(−3, 0) H(0, −4) I(3, 2) 4 F G 3 E H A C B I D 2 1 −4 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −5 x −1 −2 −3 −4 −5

  41. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO ¿Cómo se gráfica una ecuación lineal? Primero la ecuación debe tener despejada la y, si no es así hay que despejarla: Por ejemplo: 3x − y + 2 = 0 → 3x + 2 = y → y = 3x + 2 La ecuación se ubica enseguida en un tabulador x y y = 3x + 2 0 y = 3(0) + 2 2 A(0, 2) Se generan los puntos. y = 3(1) + 2 1 B(1, 5) 5 Se evalúa enseguida la ecuación en los valores propuestos. Se puede poner aquí dos valores cualquiera generalmente se seleccionan los más fáciles

  42. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ahora graficamos los puntos y obtenemos la recta. Graficamos: A(0, 2) B(1, 5) y 5 4 3 A B 2 1 −4 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −5 x −1 −2 −3 −4 −5 Gráfica de la ecuación 3x − y + 2 = 0 y = 3x + 2

  43. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Para resolver un sistema por el método gráfico. Debemos graficar las dos ecuaciones y enseguida determinar el punto donde se cruzan y este será la solución. Hay dos casos en los que las rectas no tienen un solo punto de corte: Cuando son paralelas, en cuyo caso no hay solución: y = 5x + 3 y = 5x − 2 y y x x Y cuando son equivalentes, en cuyo caso una queda encima de la otra y tienen un número infinito de soluciones: 2x + 3y = 5 4x + 6y = 10

  44. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método Gráfico. Resolver el sistema: x − y = 1 x + y = 7 Ecuación 1 Ecuación 2 Despejamos y de cada ecuación, las ponemos en un tabulador a cada una, y obtenemos dos puntos para cada gráfica. x x y y y = 7 − x y = x − 1 0 0 y = 7 − 0 y = 0 − 1 −1 7 A(0, −1) C(0, 7) y = 7 − 1 y = 1 − 1 1 1 B(1, 0) D(1, 6) 6 0

  45. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ahora graficamos los puntos y obtenemos la recta. Punto solución E(4, 3) x = 4 ; y = 3 Graficamos: A(0, −1) B(1, 0) y 5 4 3 C B A E D Graficamos: C(0, 7) D(1, 6) 2 1 −4 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −5 x −1 −2 −3 −4 −5 Gráfica de la ecuación x − y = 1 y = x − 1 Gráfica de la ecuación x + y = 7 y = 7 − x

  46. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método Gráfico. Resolver el sistema: x − 2y = 10 2x + 3y = −8 Ecuación 1 Ecuación 2 Despejamos y de cada ecuación, las ponemos en un tabulador a cada una, y obtenemos dos puntos para cada gráfica. x x y y y = (−2x−8)/3 y = (x − 10)/2 y=[−2(2)−8]/3 2 0 y = (0 − 10)/2 −5 −4 C(2, −4) A(0, −5) y=[−2(5)−8]/3 y = (2 − 10)/2 5 2 D(5, −6) B(2, −4) −4 −6

  47. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ahora graficamos los puntos y obtenemos la recta. Gráfica de la ecuación 2x + 3y = −8 y = (−2x−8)/3 Graficamos: A(0, −5) B(2, −4) y Punto solución E(2, −4) x = 2 ; y = −4 5 4 C 3 B A D Graficamos: C(2, −4 ) D(5, −6) 2 E 1 −4 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −5 x −1 −2 −3 −4 −5 Gráfica de la ecuación x − 2y = 10 y = (x − 10)/2

  48. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Método de Determinantes.

  49. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO El método de Determinantes. Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, lo primero que necesitamos es saber resolver un determinante de 3x3, hay varios métodos pero nosotros usaremos el de Sarrus: En este método de Sarrus, se agregan las filas 1 y 2 en el determinante y se crean 6 diagonales (3 positivas y 3 negativas) de las cuales se multiplican sus elementos y luego se suman los resultados para obtener el determinante que es un número. +(2)(−3)(4) = −24 3 − 2 4 3 − 2 4 +(3)(−1)(−5) = 15 −1 − 3 − 5 +(−1)(−2)(6) = 12 = −1 − 3 − 5 2 − 1 6 = −24 +15 +12 +54 −4 −20 −(3)(−3)(6) = 54 = 33 es el determinante. 3 − 2 4 2 − 1 6 −(−1)(−1)(4) = −4 −1 − 3 − 5 −(2)(−2)(−5) = −20

  50. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO El método de Determinantes. Otro ejercicio: +(−7)(−5)(−3) = −105 +(−1)(8)(6) = − 48 +(4)(2)(−9) = − 72 −(−1)(−5)(−9) = 45 −1 − 2 −3 −(4)(8)(−3) = 96 −1 2 −3 4 −5 6 −(−7)(2)(6) = 84 = 4 −5 6 −7 −9 8 = −105 − 48 − 72 + 45 + 96 + 84 −1 2 −3 −7 8 −9 4 −5 6 = 0 es el determinante.

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