Ecuaciones

1. Ecuaciones Continuidad Cantidad de movimiento Energía Ecuación de estado Con ayuda de la ecuación de la energía, la de continuidad se escribe como:

2. Ecuaciones (continuación) Continuidad Cantidad de movimiento Multiplicando por  (con dimensiones de velocidad) la ecuación de cantidad de movimiento y sumándola a la de continuidad, se obtiene la ecuación Obsérvese que a lo largo de a lo largo de

3. Ecuaciones (continuación) para que ambas líneas coincidan Sustituyendo los dos valores de  se obtienen las ecuaciones donde la última ecuación es la de la conservación de la entropía a lo largo de las líneas fluidas. Estas ecuaciones, junto con a = a(p,), permiten resolver el problema, al que hay que imponerle condiciones iniciales y de contorno.

4. Ecuaciones (continuación) La solución se ve gráficamente en la siguiente figura, donde las magnitudes en P dependen sólo de las magnitudes en A, B y C, que se propagan a lo largo de las líneas dx/dt = u + a, dx/dt = uy dx/dt = u - a, respectivamente. Conocidas variable p,  y u en el instante t = 0, se pueden determinar en el instante t = dt mediante las ecuaciones siguientes

5. Ecuaciones (continuación) Las condiciones de contorno se tratan de forma especial. Si el flujo parte de un depósito cuyas magnitudes de remanso son conocidas y se conservan hasta el primer nodo (P = 1), allí se tienen las dos relaciones de conservación de la presión y densidad de remanso, junto con la información que trae la característica que viene de aguas abajo

6. Ecuaciones (final) Si el flujo acaba en una pared, en ese nodo (P = f), la velocidad es nula, pero también hay dos ecuaciones más debido a los invariantes que llegan de aguas arriba. Si el flujo descarga de forma subsónica a una presión exterior p = pext , sólo habría que cambiar pf por pext y determinar uf, que ya no sería nula. En otras palabras, se cambia el dato uf = 0 por pf = pext.

7. Movimiento homentrópico. Variables de Riemann La ecuación de la energía indica que la entropía de las partículas fluidas se conserva en su movimiento, S = Sp. Si todas las partículas tienen inicialmente la misma entropía S0, se tiene un movimiento homentrópico . En esas condiciones  y a son sólo funciones de p, ya que S0 es constante y las ecuaciones quedan Donde R+ y R- son las variables de Riemann.

8. Variables de Riemann. Gases caloríficamente perfectos En el caso de gases caloríficamente perfectos las relaciones de homentropía son con p0, 0 y a0 constantes. Las variables de Riemann se reducen a

9. Ondas simples Cuando una de las variables de Riemann es uniforme inicialmente, se mantendrá uniforme posteriormente en la zona del campo fluido alcanzada por las características que la transportan. Estos movimientos se llaman ondas simples. Si R- = A = constante se tiene que junto con se obtiene lo que indica que u es constante, y también a, a lo largo de las líneas C+, donde R+ es constante. Como consecuencia de ello, las líneas características C+ son líneas rectas de ecuación donde  es el valor de x para t = 0.

10. Ondas simples (continuación) Si en el instante inicial es u = F(), en ese mismo instante es a = (-1)[A – F()]/2. En cualquier otro instante se tiene u =F[x – (u + a)t] = F() y a = (-1)[A – u]/2. Onda de compresión Onda de expansión

11. Ondas simples (continuación) En las ondas de compresión, dF/d < 0, las características se van acumulando y comienzan a cortarse entre si y, como cada una transporta un valor distinto de la velocidad, desarrollará primero un punto de pendiente vertical y luego se hará una función multiforme de x en una cierta región del espacio, delimitada por la envolvente de la familia de rectas C+. La solución multiforme no tiene sentido físico. A partir del instante en se cortan por primera vez dos características de la familia C+ es necesario introducir una onda de choque.

12. Ejemplo ondas simples Movimiento generado por el desplazamiento de un pistón. x Movimiento homentrópico. Invariante R- = 2a0 /(-1) = A constante. Solución de la forma u = f1(x,t,a0,vp,); a = f2(x,t,a0,vp,). El análisis dimensional proporciona de modo que la solución sólo depende de la combinación x / a0 t y no de x y t por separado.

13. Ejemplo ondas simples (continuación) El movimiento corresponde a una onda simple ya que R- es constante x = xp+ (ap - vp) t x = - vp t t x = (ap - vp ) t Cálculo del punto A: uA = 0 y aA = a0 B x = (a + u) t x = a0 t Cálculo del punto C: up = -vpy ap = a0 – ( - 1)vp/2. D C + C C - A Cálculo del punto B: uB = -vp y aB = ap. u = 0 ; a = a0 Entre las líneas x = a0 t y x = (ap – vp) t se tiene la solución de semejanza. x En un punto tal como el D se tiene

14. Ejemplo ondas simples (final) Dado que el flujo es sónico cuando vp = ap, lo que implica y la velocidad del sonido en el pistón se anula, ap = 0, cuando

15. Ondas de compresión La ecuación de la línea característica que parte del pistón en el instante t1 está dada por La velocidad del fluido es igual a up en todos los puntos de la recta y la del sonido es a = ap = a0 + ( - 1)up / 2. Las rectas anteriores convergen cuando dup / dt1 > 0. La envolvente de la familia se obtiene eliminando t1 entre la ecuación anterior y su derivada respecto a t1: En lugar de eliminar t1 resulta más cómodo despejar t:

16. Ondas de compresión (continuación) que sustituida en la primera ecuación (ecuación de la línea característica) de la hoja anterior, proporciona Esta ecuación, junto con la anterior son las ecuaciones paramétricas de la envolvente. El valor mínimo de t sobre la envolvente se obtiene de hacer dt / dt1 = 0 en la ecuación anterior lo que proporciona el valor de t1 correspondiente al punto de retroceso de la envolvente.

17. Ondas de compresión (up =  t) Cuando la velocidad del pistón es up =  tparat > 0(con up = 0 para t < 0) el punto de retroceso corresponde a t1 = 0, donde d2up / dt12 no está definida y no es válida la última ecuación deducida anteriormente. Sin embargo si son válidas el resto de las ecuaciones, que con t1 = 0 se obtiene el punto de retroceso dado por

18. Muchas gracias por su atención