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I- INTRODUÇÃO Há quem defenda que a teoria das probabilidades, ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos, que sendo viciados dos dados, preocupavam-se com a "forma" de ganhar. O imperador Claudius (sec I) escreveu um livro : "Como ganhar nos dados". Mas o conceito matemático é mais recente e nasce com a correspondência trocada entre Blaise Pascal e Fermat acerca da possibilidade do ganho nos jogos. Borel (1871-1956) e Henri Lebesgue(1875-1941) foram responsáveis pelo seu arranque sistemático.
Inicialmente o conceito de probabilidade era de caráter frequentista, isto é, associando a probabilidade de um acontecimento à frequência com ele se repetia, quando observadas um grande número de experiências. • Não é difícil dar conta que tal conceito pecava for falta de rigor. Basta pensar no quão relativo é dizer-se :"um grande número de experiências". • Em 1933 o russo Kolmogorovconstruiu uma axiomática para o cálculo de probabilidades convertendo-a numa teoria matemática e transformando-a na ciência que hoje é.
Os objetivos deste curso são: 1 - Apresentar uma introdução geral à probabilidade e estatística usando os conhecimentos prévios de cálculo e análise de sinais procurando relacionar as definições e conclusões dos experimentos científicos e de engenharia com situações reais, estimulando o uso da intuição, da observação e da dedução para extrair conclusões válidas e tomar decisões razoáveis com base na análise de dados. 2 - Introduzir o conceito de processos estocásticos para modelar fenômenos em função do tempo, apresentando diversas aplicações.
N CIRCUITOS CENTRAL A CENTRAL B • MODELOS DETERMINÍSTICOS • MODELOS PROBABILÍSTICOS • EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS • 1. TRÁFEGO TELEFÔNICO • QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DAS • CHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ? M TERMINAIS
SITUAÇÃO: Uma população de usuários solicita em diferentes instantes de tempo um determinado serviço. MODELO: tráfego de entrada, fila posto de serviço, etc. Teoria de filas 3- SÉRIE TEMPORAIS Previsão de valores futuros base- ados no valor presente e passados de um conjunto de variáveis. Onde se aplica: Vazão de um rio, demanda de energia elétrica, inflação, etc 2- RUÍDO TÉRMICO
4- DESVANECIMENTO DE SINAIS RÁDIOELÉTRICOS DESVANECIMENTO DOS SINAIS RADIOELÉTRICOS ENLACE RADIOELÉTRICO • 6- OUTRAS APLICAÇÕES • Modelamento de canais de • propagação para comunicação • móveis e fixas. • Qualidade de serviço em redes • de telecomunicações. • Confiabilidade de sistemas • Identificação, estimação • etc 5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO DIGITAL
TEORIA DAS PROBABILIDADES 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS É O CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO. RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO MODELO PROBABILÍSTICO 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS 2. ÁLGEBRA DE EVENTOS 3. MEDIDA DE PROBABILIDADE 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS EXPERIÊNCIA: ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR A PRIMEIRA LETRA IMPRESSA. S = { a, b, c, . . . , z } observar se é vogal ou consoante S = { vogal, consoante } CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA POR MINUTO NO HORÁRIODE DE 10:00 AS 12:00 H. S = { 100, 97, 94, ... }
2. ÁLGEBRA DE EVENTOS EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA CONDIÇÃO A = { s : uma dada condição c é satisfeita } S = { s1 , s2 , s3 . . . , sK } AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DAS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. 1. IGUALDADE A = B 2. INCLUSÃO A B, B A 3. UNIÃO A B 4.INTERSEÇÃO A B 5. COMPLEMENTO Ā 6. DIFERENÇA A - B 7. EVENTO NULO 8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS OU DISJUNTOS
PROPRIEDADES 1. COMUTATIVA: A B = B A e A B = B A 2. ASSOCIATIVA : A ( B C) = (A B) C e (A B) C = A (B C) 3.DISTRIBUTIVA: A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C) 4. REGRA DE DEMORGAN : (A B)C = AC BC e (A B) C = AC BC CLASSE DE EVENTOS A CLASSE OU COLEÇÃO DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ: SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO 1. SE A Ā 2. PORTANTO É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO. PROPRIEDADES: SE S
-ALGEBRA DE EVENTOS UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS É UMA -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ A SEGUINTE CONDIÇÃO: DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA -ÁLGEBRA CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S. É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA -ÁLGEBRA. DEFINIÇÃO A MENOR -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA -ÁLGEBRA GERADA POR C. EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO. S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 }ESPAÇO DE AMOSTRAS SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS C = [ { f1 } , { f2 , f 4 , f6 } , { f1 , f 3 , f 5 } , S , ]
ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A DEFINIÇÃO { f1 } { f2 , f4 , f6 } = { f1 , f2 , f4 , f6 } C { f1 }c = { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } C ENTÃO: [ , S , { f1 , f3 , f5 }, { f2 , f4 , f6 } , { f1 } , { f1 , f2 , f4 , f6 } , { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } , { f3 , f5 } ]É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO. PORTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A MENOR -ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS TRÊS ELEMENTOS ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM VIOLAR A DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS E É UMA ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA -ÁLGEBRA
b 4 c 5 d 1 2 3 I II III a EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E 5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III) A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EM UM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOS DOS TRONCOS. 1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO” SEJA iUM PONTOGENÉRICO DE S , ENTÃO: i = { C, T1 , T2 , T3, , T4 ,T5 } ; C { I , II , III }; Ti ={ 0 , 1 } , i = 1, 2, 3, 4, 5. NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S : N = 3 x = 96
b 4 c 5 d 1 2 3 I II III a 2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS 2.1. A = { : a e c podem comunicar-se } A1 = { I , 1 , x , x , 1 , x }; A2 = { II , x , 1 , x , x , x }; A3 = { III , x , x , 1 , x , 1 }; A = A1 A2 A3 N = 8 + 16 + 8 = 32 ( EVENTOS DISJUNTOS ) 2.2. B = { : b e c podem comunicar-se } B = { x , x , x , x , 1 , x }; N = 3 x = 48 2.3. C = { : a chave está na posição I } C = { I , x , x , x , x , x }; N = = 32
3. MEDIDA DE PROBABILIDADE A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILI- DADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS : AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE 1. P(A) > 0 ; 2. P( S ) = 1 ; 3. SE A B = , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B) PROPRIEDADES 1. SE Ai Bj= ; i, j = 1, 2, 3, . . . , n , i j , 2. P( Ā ) = 1 - P( A ) 3. P( ) = 0 , ENTÃO P( S ) = 1 4. P( A ) < 1 5. P( A B) = P( A ) + P( B ) - P( AB )
1) Evento complementar: P ( A ) 1 P ( A ) 2) Propriedade da soma: P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) 3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 4) Propriedade do produto: P ( A B ) P ( A ) P ( B / A ) 5) Propriedade do produto para eventos independentes P ( A B ) P ( A ) P ( B ) Probabilidades de eventos
Exemplo • Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial. • Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
C2 C1 A B C3 Exemplo • Seja um sistema formado por 3 componentes, ligados conforme o esquema abaixo. Considerando que a probabilidade de cada componente funcionar é de 0,9, qual a probabilidade do sistema funcionar? (O sistema funciona se houver uma ligação entre A e B. Admita independência entre os componentes)
C2 C1 A B C3 Exemplo • P(sistema funcionar) = P{(C1 C2) (C1 C3)}= = P(C1 C2) + P(C1 C3) P(C1 C2 C3) = = (0,9)(0,9) + (0,9)(0,9) (0,9)(0,9) (0,9) = = 0,891 P(Ci) = 0,9, i = 1, 2, 3
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.O espaço amostral é denotado por S. Elementos ou pontos no espaço amostral são os resultados individuais de um experimento. O conjunto de elementos do espaço amostral é denotado por Elementos são mutuamente exclusivos ou disjuntos. O número de pontos no espaço amostral pode ser: finito quando o espaço amostral é discreto e finito infinito contável quando o espaço amostral é discreto e infinito infinito incontável quando o espaço amostral é contínuo evento é um subconjunto de S. Será denotado por letras maiúsculas. Eventualmente serão consideradas operações de união, intersecção e complemento de eventos. ocorrência do evento A se dá quando ocorre algum ponto em A.
Probabilidade • Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos. • Base teórica para a análise inferencial.
ProbabilidadeIntuitiva Este resultado pode ser estendido para uma interpretação estatística de probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência do evento.
ProbabilidadeAxiomática As noçõesintuitivas de probabilidadepermitemtratarproblemasrelativamente simples, em especial quando tem-se igualdade de condiçõesparatodososeventos. No entanto, freqüentementedeseja-se tratarsituaçõesondealgunseventosnãosão "honestos". Adicionalmente, emalgunscasosnão se podeenumerartodosospossíveisresultados de um experimento. A formulaçãoaxiomáticadateoriadaprobabilidadesimplifica o tratamentonestescasos.
Axiomas da Probabilidade Para qualquereventoA, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este númerosatisfaz as seguintestrêscondiçõesdenominadas de axiomasdaprobabilidade. Note que (iii) estabeleceque se A e Bsãoeventos mutuamenteexclusivos, a probabilidadedauniãoé igual a soma de suasprobabilidades)
Resultados ou dados observados Probabilidade universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas, ... O raciocínio dedutivo da probabilidade
Exemplo de um experimento aleatório • Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher. • Resultados possíveis: homem, mulher • Espaço amostral = {homem, mulher}
Probabilidade de um resultado • Qual a probabilidade de homem e de mulher? • P(homem) = 0,5 • P(mulher) = 0,5 • A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. 50% homens 50% mulheres
Modelo probabilístico ResultadoProbab. bom/ótimo 0,20 regular 0,30 ruim/péssimo 0,50 Modelo de probabilidades POPULAÇÃO Opinião a respeito do governo AMOSTRA: 1 pessoaobservada aoacaso
Evento • Evento = conjunto de resultados possíveis • Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6 • Eventos: A = número par, B = número menor que 3 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3
A Operações com eventos não A
A B A B Operações com eventos
Revisão de AnáliseCombinatóriaA Análisecombinatóriaestudaosdiversosprocedimentosquepossibilitam a construção de gruposdiferentesformadospor um númerofinito de elementos de um conjunto sob certascircunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremosconjuntos Z com m elementos e osgruposformados com elementos de Z terão p elementos com p< m, isto é, p será a taxa do agrupamento. No fundo com o usodaAnálisecombinatóriateremosmétodosquepermitemcontar, de forma indireta, oselementosdessesconjuntos. Vamosanalisaralgunsdessesagrupamentos:
Fatorial Definimos o fatorial de n (indicadopelosímbolo n! ) , comosendo n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1para n 2. E pordefinição : Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 2940 3! = 3.2.1 = 6 Muitasvezesutilizamosuma forma maissintéticaparanosfacilitaroscálculos: 11! =11.10.9.8.7! 6! = 6.5.4!
Princípio fundamental dacontagem - PFC Sedeterminadoacontecimentoocorreemnetapasdiferentes, e se a primeiraetapapodeocorrer de k1maneirasdiferentes, a segunda de k2maneirasdiferentes, e assimsucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Permutações Permutações de nelementosdistintossãoosagrupamentosformados com todososnelementos e que se distinguemuns dos outrospelaordem de seuselementos. Exemplo: com oselementos 1,2,C sãopossíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21. O número total de permutações simples de nelementosdistintos é dado por n!, isto é Pn= n! no exemplo anterior 3!=3.2.1=6 Numafila de 6 pessoas de quantasformasdiferentes se podemorganizar ? P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Arranjos Dado um conjunto com nelementos , chama-se arranjo simples de taxak , a todoagrupamento de kelementosdistintosdispostosnumacertaordem. Doisarranjosdiferem entre si, pelaordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de nelementostomadosk a k (taxa k) porAn,k, teremos a seguintefórmula:
Combinações Denominamoscombinações simples de nelementosdistintostomadosk a k (taxa k) aossubconjuntosformadosporkelementosdistintosescolhidos entre osnelementos dados. Observe queduascombinaçõessãodiferentesquandopossuemelementosdistintos, nãoimportando a ordememqueoselementossãocolocados. Exemplo: No conjunto E= {a,b,c,d} podemosconsiderar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.
Representando o número total de combinações de nelementostomadosk a k (taxa k) porCn,k, teremos a seguintefórmula: É fácilmostrarque
Exemplo:Umcampeonato de atletismoconsta de 10 provasdiferentescadaequipe tem de concorrer a 7. De quantasformaspodeumaequipeparticipar ? Solução: Observe que a ordem de escolha das provasnãoaltera a forma de concorrer. Portantotrata-se de um problema de combinação de 10 elementos 7 a 7. Aplicandosimplesmente a fórmulachegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
