La recta tangente a la parábola

1. La recta tangente a la parábola Desde el punto de vista de los puntos comunes entre la intersección de una recta y una parábola, pueden presentarse los siguientes casos:

2. En el primer caso, la recta corta a la parábola en dos puntos, por lo que se le llama secante. y x l

3. Segundo caso; la recta corta a la parábola en un punto, pero tiene una parte dentro y otra afuera de la parábola. y l x

4. Tercer caso, la recta corta a la parábola en un solo punto y el resto de sus puntos están siempre fuera de la parábola. Así, únicamente este es el caso en donde la recta es tangente a la parábola. y P (punto de tangencia o de contacto) x l

5. Definición: • La recta l es tangente a una cónica en un punto P de ella, si corta a la cónica únicamente en P y todos los demás puntos de l están en una misma de las regiones determinadas por la cónica. • La ecuación de una parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse empleando la condición para tangencia.

6. 1.- Tangente en un punto de contacto dado. Para determinar la ecuación de la tangente a la parábola empleamos (1) en un punto cualquiera P1( x1, y1 ) de la parábola. La ecuación de la tangente buscada es de la forma: (2) multiplicando y despejando “y” Tenemos: (3) Y ² = 4 p x y - y 1 = m ( x – x 1 ) y = m x – mx1 + y1 Sustituyendo (3) en (1 ) obtenemos: (4) (m x – mx1 + y1)² = 4 px Resolviendo el trinomio al cuadrado y simplificando, se reduce a: (5) m²x² + ( 2my1 – 2m²x1– 4p) x + (y1² + m²x1² - 2mx1y1) = 0

7. Los coeficientes a, b y c en la cuadrática ax² + bx +c = 0 de la relación anterior son: a = m² , b = 2my1 – 2m²x1 – 4p , c = y1² + m²x1² - 2mx1y1 Para la tangencia, el discriminante ( b² - 4 ac = 0 ) de la ecuación (5) debe anularse y escribirse como : (6) ( 2my1– 2m²x1 – 4p) ² - 4 (m²) (y1² + m²x1² - 2mx1y1) = 0 La cual se reduce a: (7) x1m² – y1 m + p= 0 De donde se obtiene ( 8) m = y1 ± √ y1² - 4px1 2x1

8. El punto P1( x1, y1 ) está sobre la parábola ecuación (1) tenemos: (A ) Y 1² = 4 p x1 , sustituyendo ( A ) en ( 8 ) obtenemos: m = y1 ± √ 4 p x1- 4px1 = y1 2x1 2x1 Si sustituimos este valor de “m “ en la ecuación (2) y - y 1 = y1( x – x1 ) 2x1 Realizando las operaciones necesarias y factorizando tenemos: ( B ) 2x1 y = y1( x – x1 ) De la ecuación (A) descomponemos en factores: Y 1² = (2 p) (2 x1) despejando 2 x1 = Y 1² , 2p sustituyendo en ecuación (B) este último obtenemos: Y 1² = y1( x – x1 ) 2p Resolviendo determinamos: y1 y = 2p ( x + x1 )

9. Teorema 4: La tangente a la parábola y² = 4 px en cualquier punto P1( x1, y1 ) de la curva tiene por ecuación: y1 y = 2p ( x + x1 ) 2.- Tangente con una pendiente dada: Para determinar la ecuación de la tangente de pendiente “m” a la parábola se procede de la siguiente manera: La ecuación buscada es de la forma en donde k = cte cuyo valor debe determinarse. (C) y = mx + k Si sustituimos el valor de “ y” dado por la ecuación (C) en ( 1), obtenemos: (1 ) Y ² = 4 p x ( mx + k ) ² = 2p ( x + x1 ) , resolviendo tenemos: m²x² + x( 2mk – 4p) + k² = 0

10. La condición para la tangencia es la siguiente: Determinado primero los coeficientes de la ecuación cuadrática en base a : m²x² + x( 2mk – 4p) + k² = 0 a= m² , b= 2mk – 4p ; c= k² y empleando el discriminante tenemos: ( 2mk – 4p)² - 4 (m² ) (k² ) = 0 De donde el valor de: k = p / m valor que sustituimos en ecua. (1) y = mx + p / m m ≠ 0 Teorema 5. La tangente de pendiente “m” a la parábola y ² = 4px tiene por ecuación: y = mx + p / m m ≠ 0

11. 3.- Tangente trazada desde un punto exterior: Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto ( 2 , -4 ) a la parábola x² - 6x – 4y + 17 = 0 Solución: Sustituimos el valor del punto en la ecuación de la recta. y – y 1 = m ( x- x1) , de esta forma tenemos : y + 4 = m ( x -2 ) Donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada, despejando el valor de “y” y realizando las operaciones indicadas tenemos: y = mx – 2m -4 Este valor se sustituye en la ecuación de la parábola dada: x² - 6x – 4( mx -2m – 4) + 17 = 0 Esta ecuación se reduce a: x² - ( 4m + 6) x + ( 8 m + 33) = 0

12. Para que exista tangencia: ( 4m + 6)² - 4( 8 m + 33) = 0 Resolviendo el binomio y simplificando: m² + m – 6 = 0 De esta manera se resuelve la ecuación y determinamos los valores de m = -3 y m = 2 Las ecuaciones de las tangentes buscadas son: y + 4 = 2 ( x - 2) Y y + 4 = -3 ( x-2 ) Es decir, 2x – y – 8 = 0 Y 3x + y – 2 = 0 Gracias

14. y x