1 / 43

Analisis Vektor

Analisis Vektor. Lingkup Bahasan. Skalar dan Vektor Aljabar Vektor Sistem Koordinat Persegi Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan Medan Vektor Hasil Kali Titik/Dot Product Hasil Kali Silang/Cross Product Sistem Koordinat Silinder Sistem Koordinat Bola. Skalar dan Vektor.

metta
Download Presentation

Analisis Vektor

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Analisis Vektor

  2. Lingkup Bahasan • Skalar dan Vektor • Aljabar Vektor • Sistem Koordinat Persegi • Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan • Medan Vektor • Hasil Kali Titik/Dot Product • Hasil Kali Silang/Cross Product • Sistem Koordinat Silinder • Sistem Koordinat Bola

  3. Skalar dan Vektor Perbedaan mendasar

  4. Skalar dan Vektor • Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk panah. Panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor • Ekor panah disebut titik awal dan ujung panah disebut titik terminal

  5. Jikatitikawalsuatuvektor v adalah P dantitikterminalnyaadalah Q, makadapatdituliskansbb: • Besaranvektortersebutditulisdalambentuk: • Vektor yang mempunyaipanjangdanarah yang samadisebutvektorekivalen (sama) misalnya • Vektornolmerupakanvektor yang mempunyaibesar 0

  6. Aljabar vektor Jika A,B,C adalah vektor-vektor dan m,n skalar-skalar,maka: • A+B=B+A Hukum komutatif penjumlahan • A+(B+C)=(A+B)+C Hukum asosiatif penjumlahan • mA=Am Hukum komutatif perkalian • m(nA)=(mn)A Hukum asosiatif perkalian • (m+n)A=mA+nA Hukum distributif • m(A+B)=mA+mB Hukum distributif • Hasil penjumlahan vektor juga merupakan vektor (sifat tertutup) • 1A =ASifat identitas • 0A= 0, m0 = 0. • Jika mA= 0, maka m=0 atau A = 0

  7. v u+v u Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dapat ditentukan dengan hukum jajargenjang seperti di bawah ini:

  8. B A -B A-B Pengurangan Vektor • Apabila pengurangan vektor maka caranya sama seperti penjumlahan namun vektor yang mengurangi dibalik arahnya

  9. Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

  10. Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan • Vektor komponen adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan salah satu sumbu koordinat • Magnitudo/ besar vektor komponen ditentukan oleh vektor yang bersangkutan namun arahnya selalu diketahui dan bersifat konstan

  11. Vektor x, y, dan z merupakan komponen dari vektor r berturut-turut dalam arah x, y, z seperti yang terlihat pada gambar ini

  12. z z r x y y r=x+y+z x

  13. Jumlah dari vektor-vektor komponen yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z membentuk suatu vektor sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor komponen merupakan penyusun suatu vektor

  14. Vektor satuan • Vektor satuan merupakan sebuah vektor yang besarnya satu dan arahnya sejajar sumbu koordinat • Arah vektor satuan sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga koordinat • Jika A adalah sebuah vektor yang besarnya A K0 maka A/A adalah sebuah vektor satuan yang arahnya sama dengan A

  15. Besar vektor A yang dinyatakan dalam |A| dapat dihitung dengan persamaan: • Sehingga vektor satuan a dinyatakan: a= A |A|

  16. Terminologi: • Vektorposisi • Fungsivektorberdasarposisi • Fungsiskalarberdasarposisi Vektor posisi dengan titik awal di pusat koordinat O dan posisi di (x,y,z), dapat ditulis sebagai: dengan magnitude sebesar:

  17. Contoh Soal 1. Cari sebuah vektor satuan yang sejajar resultan dari vektor-vektor r1=2i+4j-5k, r2=i+2j+3k • Jawab: • Resultan=r1+r2=(2i+4j-5k)+(i+2j+3k) =3i+6j-2k

  18. Medan Skalar: • Jikadi masing-2 titik (x,y,z) di region R korespondingterhadapΦ(x,y,z), makaΦdisebutfungsiskalarterhadapposisi. • Contoh: • Temperaturpadasetiaptitikdimukabumipadawaktutertentumerupakanfungsimedanskalar. • Φ(x,y,z)= x3y-z2adalahmedanskalar

  19. Medan Vektor • Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan. • Medan vektor V merupakan fungsi vektor dari vektor kedudukan yang telah didefenisikan dalam R.

  20. Dot product • A . B = |A| |B| cos  Hukum-hukum yang berlaku: • A.B=B.A hukum komutatif • A.(B+C)=A.B+A.C hukum distributif • n(A.B) = (nA).B = A.(nB) = (A.B).n • i.i=j.j=k.k=1, i.j=j.k=k.i=0 • Jika A.B=0, A dan B bukan vektor nol maka A dan B tegak lurus

  21. Cross product • A X B = |A| |B| sin  Hukum-hukum yang berlaku: • AxB=-BxA komutatif tak berlaku • Ax(B+C)=AxB+AxC distributif • m(AxB)= (mA)xB= Ax(mB)= (AxB)m • ixi=jxj=kxk=0, ixj=k, jxk=i, kxi=j • Jika AxB=0, A dan B bukan vektor nol maka A dan B sejajar

  22. Perbedaan Dot dan Cross

  23. Contoh Soal • Diketahui F=2ax-5ay-4az dan G=3ax+5ay+2az. Carilah: (a)F.G (b)sudut antara F dan G • Jawab • a)F.G=(2ax-5ay-4az)(3ax+5ay+2az) =6-25-8 =-27 b)Sudut antara F dan G F.G = |F||G| cos 

  24. Sistem Koordinat dalam Analisis Vektor • Ada 3 jenis koordinat yang digunakan dalam analisis vektor yaitu: 1. Koordinat Cartesius/Cartesian 2. Koordinat silinder 3. Koordinat bola

  25. Sistem Koordinat Cartesian • Koordinat Cartesian digunakan untuk menyatakan benda yang mempunyai bentuk siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku • Koordinat Cartesian yang digunakan dapat berupa: 1. 2 dimensi (terdiri dari sumbu x dan y saja) 2. 3 dimensi (terdiri dari sumbu x, y, z)

  26. y 0 x Sistem Koordinat Cartesian 2 Dimensi • Koordinat Cartesian 2 dimensi digunakan untuk menggambarkan objek 1 dimensi dan 2 dimensi • Obyek 1 dimensi dapat berupa garis lurus ataupun garis lengkung • Obyek 2 dimensi berupa bidang datar

  27. Z Y X Sistem Koordinat Cartesian 3 dimensi • Memakai tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, dan menamakannya sumbu X,Y dan Z.

  28. Sistem Koordinat Cartesian 3 Dimensi • Biasanya dipakai sistem koordinat putar kanan: perputaran sumbu x menuju sumbu y akan mengakibatkan sebuah sekrup berorientasi tangan kanan bergerak ke arah yang ditunjukkan oleh sumbu z positif • Koordinat Cartesian 3 dimensi digunakan untuk menggambar obyek berupa 1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi

  29. Sistem Koordinat Silinder • Koordinat silinder atau koordinat tabung digunakan untuk menggambarkan obyek yang berbentuk lingkaran dengan simetri yang khas • Terdapat 3 sumbu koordinat pada koordinat tabung: 1. sumbu  2. sumbu  3. sumbu z

  30. Sistem Koordinat Silinder (cont’d) • Berikut ini gambar vektor pada koordinat silinder

  31. Sistem Koordinat Silinder (cont’d) • Peubah dalam koordinat Cartesian dan koordinat tabung dapat ditemukan hubungan sebagai berikut: • x= cos  • y=  sin  • z=z • Atau sebaliknya:

  32. Sistem Koordinat Silinder (cont’d)

  33. Sistem Koordinat Bola • Koordinat bola digunakan untuk menyatakan suatu objek yang mempunyai bentuk simetri bola. Contoh adalah medan listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik. Berdasarkan rumus: E=1/4πε0 qr2 Maka titik-titik yang berjari-jari sama akan mempunyai medan listrik yang sama. • Posisi medan yang berada di sekitar muatan titik akan sulit dijelaskan dengan koordinat Cartesius maupun tabung karena bentuk medan yang bundar. Oleh karena itu digunakan sistem koordinat bola agar mudah dibayangkan. • Untuk menyatakan besaran vektor, koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat yaitu r, ø dan 

  34. Sistem Koordinat Bola (cont’d) • Penggambaran sistem koordinat bola

  35. Mengubah Koordinat Kartesius ke Bola dan Sebaliknya • Dari kartesius ke bola: • X=r sin  cos  • Y=r sin  sin  • Z=r cos  • Dari bola ke kartesius • r=x2+y2+z2 (r>0)

  36. Contoh Soal • Tanya: Nyatakan medan temperatur T=240+z2-2xy dalam koordinat tabung • Jawab: Hubungan cartesian dan koordinat tabung X= cos  Y=  sin  maka T=240+z2-2 ( cos )( sin ) =240+z2- 2sin2

  37. Penerapan Analisa Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari • Pengukuran yang lebih efektif dari sinyal RF seperti Bluetooth, GSM, or 802.11 wireless networking • Air traffic control untuk membantu navigasi pesawat terbang • Pembedahan cacat mata astigmatisma

  38. Referensi • Hayt,William.H.”Elektromagnetika Edisi ke-7”.Erlangga • Spiegel, Murray R.1994.”Analisis Vektor”.Erlangga

  39. SOAL PR, Tugas Individu, Kumpul 10 Februari 2011 • Misalkanu = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilahkomponenvektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w • Misalkanu,v,wadalahvektorsepertisoal 1, carilahskalar c1, c2 dan c3 sehingga : c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) • Hitunglahjarakantara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) • Carilahsemuaskalarsehingga dimanav = (1,2,4)

More Related