Introduction à l’étude des systèmes asservis linéaires (SAL) mono variables en régime continu.

1. Introduction à l’étude des systèmes asservis linéaires (SAL) mono variables en régime continu. A. Principe de superposition. système linéaire : modélisation (étude) équation différentielle linéaire (coefficients constants) mono variable: entrée et sortie uniques linéarité: réponse (sortie) générale  somme des réponses des différentes excitations (entrées) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

2. B. Rappel des lois fondamentales utiles en automatique. 1. Mouvement de translation. * Ressort. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

3. * Frottement sec: force de module constant opposée au mouvement * Frottement de Coulomb: pour une vitesse nulle, de sens opposé à la vitesse Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

4. 2. Mouvement de rotation (par rapport à un point ou un axe). Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

5. C. Modélisation du moteur à courant continu. - aimantation permanente - flux variable (flux constant) (inducteur en série avec induit ou alimenté de façon autonome) champ magnétique: bobinage fixe (inducteur) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

6. 1. Moteur à aimantation permanente. • - LA: self-inductance d’induit (rotor) • - RA: résistance d’induit • - VA: tension d’alimentation • - IA: courant d’induit • - F: flux d’inducteur (constant ici) • - KT: constante de couple • - KE: constante de fém • GM: couple en sortie du moteur • - JM: moment d’inertie du moteur • - fM: coefficient de frottement visqueux • - qM: position du rotor • - WM: vitesse angulaire du rotor Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

7. GM=K FIA=KTIA (KT: constante de couple en N.m/A) + fcém KEWM • modélisation: Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

8. 2. Moteur à courant continu à excitation séparée. mêmes paramètres + : - LF: self-inductance de l’enroulement - RF: résistance de l’enroulement - VF: tension d’alimentation inducteur - IF: courant inducteur GM=K FIA et maintenant F=KFIF IF constant: KT=KKFIFGM=K FIA mêmes équations Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

9. Chapitre 1 - Concepts fondamentaux. 1.1 Signaux et systèmes linéaires. 1. Signaux. signal: évolution temporelle d'une grandeur physique signaux analogiques déterministes sur tÎ[0, ∞[ ou par segments Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

10. 2. Systèmes linéaires. système: trait d'union entre signaux modèle: représentation mathématique de grandeurs physiques  Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

11. analyse (étude) de SLI à fonctionnement continu réponse s(t) (sortie) d'un SLI: fonction de l'entrée (excitation) e(t) et du système condition nécessaire de réalisabilité physique d’un SLI (causalité et énergie finie): n>m linéarité: superposition des états d’équilibre SLI: sortie de même forme que l'entrée problème: résolution mathématique limitée à n petit outil en continu:transformation de Laplace (TL)  ED linéaire à coefficients constants d'ordre n  équation algébrique de degré n variable de Laplace: variable complexe p (ou s) par TL: ED linéaire  fraction rationnelle en p  fonction de transfert (FT)  mode de fonctionnement du système Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

12. 1.3 Etude d'un système objet: automatiser (réguler) un système  comportement désiré autour d'un point de fonctionnement ensemble matériel: architecture (configuration) du système objectifs requis nécessitant une stratégie de commande régulation industrielle définition d'un cahier des charges recensement des variables modélisation (identification) + validation des modèles élaboration d'une architecture et d'une stratégie de commande variables à mesurer et emplacement des capteurs essais et vérification des performances Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

13. Chapitre 2 - Représentation des systèmes. 2.1 Transformation de Laplace (T.L.) TL unilatérale: fonction X(p (ou s)=a+jw) d’une variable réelle x(t) définie pour t  0 et nulle pour t < 0 ( causalité): x(t) à énergie finie  intégrale toujours convergente transformation linéaire  L{lixi(t)}=li[L{xi(t)}]=liXi(p) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

14. 2.2 Fonction de transfert (FT). 1. Recherche d'une FT. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

15. solutions de D(p)=0: pôles  modes de fonctionnement, solutions de N(p)=0  zéros de la FT systèmes réalisables(n>m): ordre  degré du dénominateur 2. Réponse d'un système. F(p) et E(p): fractions rationnelles en p utilité de la FT S(p)  s(t)=L-1{S(p)}=L-1{F(p).E(p)} TL e(t) + FT S(p)  s(t) remarques : S(p)={éléments simples de F(p)}+{éléments simples de E(p)} pôles de F(p)  régime transitoire (fondamental: stabilité) pôles de E(p)  régime forcé (permanent, établi ou définitif) s(t): superposition régime forcé (entrée) + régime transitoire (système) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

16. 2.3 Etude fréquentielle (harmonique) d'un système. régime harmonique: entrée en régime sinusoïdal permanent SLI de FT F(p) commandé par sinusoïde  régime établi en sortie: sinusoïde d'amplitude modifiée et déphasée par rapport à l’entrée F(jw): réponse en fréquence (p  jw)  étude fréquentielle: étude du module et de l'argument ou des parties réelle et imaginaire de F(jw) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

17. représentation fréquentielle(issue des études en électricité): diagrammes de Nyquist, Black, Bode et asymptotique (r, j et w) ou (X, Y et w) possibilités: - une courbe paramétrée en w (Nyquist et Black) - deux courbes fonctions de w (Bode et diagramme asymptotique) 1. Lieu de Nyquist. F(jw) en coordonnées polaires (phase en degrés) arguments : référence axe réel positif, sens trigonométrique >0 échelle linéaire de modules lieu décrit dans le sens des w croissants exploitable que gradué en w Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

18. 2. Lieu de Black . échelle logarithmique des modules rdB=20log10r en fonction de j (°) avec axes orthogonaux intérêt: systèmes en cascade (série)  Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

19. 3. Lieu de Bode.  2 courbes séparées: rdB et j en fonction de log w octave: w multiplié ou divisé par 2 décade: w multiplié ou divisé par 10 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

20. 4. Diagramme asymptotique. approximation du lieu de Bode  en général seulement pour F(jw) évolution de bkwk (dénominateur) pour un octave sup Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

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22. Chapitre 3 - FT des systèmes. 3.1 Systèmes en cascades. (S1) et (S2) F1(p) et F2(p) en série (cascade) F(p)=S(p)/E(p)=F1(p) F2(p) attention: vrai si impédances cascades adaptées Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

23. 3.2 Systèmes en parallèle. 3.3 Asservissement d’un système. automatisation (régulation) : réponse à un cahier des charges  - conception de systèmes périphériques - élaboration stratégie de commande - vérification validité d’action structure générale d’un système asservi (SA): F (p) 1 s (t) 1 s(t) e(t) + s (t) 2 F (p) 2 Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

24. comparateur e (t) i (t) Installation à e(t) sortie s(t) + Dispositif correcteur ou automatiser d'entrée régulateur C(p) signal signal _ G(p) entrée ou d'erreur de consigne commande y (t) Traitement du Correcteur Capteur retour signal capteur H(p) signal Actionneur + capteur d'erreur e(t) sortie commande + Correcteur + installation e C(p) (t) s(t) i (t) entrée G(p) - consigne signal de retour H(p) y (t) - retour: capteur + information du traitement du signal capteur  signal de sortie - correcteur (régulateur) dans chaîne directe C(p) - correcteur H(p) dans retour: amélioration de la dynamique ou anticipation de commande: Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

25. * chaîne directe: [C(p), G(p)] entre e(t) et s(t)  FT: C(p)G(p) * boucle ouverte (BO) : cascade [C(p), G(p), H(p)] entre e(t) et y(t)  FTBO: W(p)=C(p) G(p) H(p) * boucle fermée (BF): FT totale entre e(t) et s(t)  FTBF: F(p)  chaîne directe et de BO identiques Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

26. 3.4 Quelques schémas équivalents. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

27. 3.5 Présence de perturbations. mêmes dénominateurs: mêmes propriétés de stabilité d(t) déplacée vers l’entrée: D(p)  C(p) D(p) d(t) perturbation signal + Installation e(t) d'erreur + sortie + Correcteur C(p) entrée G(p) s(t) e (t) - consigne Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

28. Chapitre 4 - Stabilité des systèmes linéaires. 4.1 Condition générale de stabilité. * stabilité asymptotique: réponse revenant à l’équilibre initial après perturbation * instable: réponse tendant vers valeur non finie * stabilité marginale (cas limite): amplitude finale finie avec oscillation autour d'un état d'équilibre (auto oscillation ou pompage) F(p): S(p)=F(p)E(p)+I(p, CI) I(p, CI) dépend des CI et s'annule avec celles-ci dénominateur commun D(p) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

29. décomposition de S(p) en éléments simples du type e(t)=0 : stabilité asymptotiquesis(t)  0 quand t   zi et ai <0 condition nécessaire de stabilité: tous les pôles de FTBF à partie réelle négative (pôles dans demi plan complexe gauche) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

30. 4.2 Critère algébrique de stabilité. 1. Condition nécessaire de stabilité. D(p)==pn+Bn-1pn-1+ ... B1p+B0=0 condition algébriquenécessaire de stabilité : tous les coefficients de D(p) de même signe et non nuls 2. Règle de Routh. conditions algébriques suffisantes de stabilité: critère de Routh (Hurwitz)  tableau de Routh Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

31. initialisation: coefficients de D(p) sur deux lignes avec coefficients des termes de même parité  coefficients C, D et E etc. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

32. ligne suivante: même schéma avec les termes des deux lignes la précédant divisés par C et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne système stable:tous les éléments de 1ère colonne non nuls et de même signe si changements de signes  système instable 3. Oscillations (stabilité marginale). coefficients d'une même ligne tous nuls: système oscillant système marginalement stable ou instable ? poursuite du tableau : ligne nulle remplacée par coefficients de la dérivée par rapport à p du polynôme issu de la dernière ligne non nulle Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

33. 4.3 Critère (géométrique) du revers. 1. Enoncé. FTBO (retour unitaire ) W(p)=C(p)G(p)  D(p)=1+W(p=0) W(p=a+jw)=-1  point critique A(-1, 0) (limite de stabilité) a=0: p=jw, W(p)=W(jw)  lieu de Nyquist C0 aC tel que W(pc)= -1: pC  racine du système en BF a≠0: W(p)  lieu Ca Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

34. critère du revers: SA linéaire stable si, en décrivant le lieu de Nyquist dans le sens des fréquences croissantes, on voit au passage de l’axe réel négatif le point critique A(-1, 0) sur sa gauche instable dans le cas contraire, marginalement stable si le lieu passe en A 2. Remarques. W(p) FTBO mais conclusion sur la stabilité en BF - si W(jw)=kG(jw): pour différents k  un seul tracé de G(jw) (fixe) et point critique en (-1/k,0) - intersection entre lieu et axe réel: FTB0 réelle  condition des gain et pulsation d'auto-oscillation Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

35. - critère transposable à d'autres lieux lieu de Black: point critique sur sa droite (sens inverse de Nyquist) plan de Bode: A(-1, 0)  amplitude = 1 et déphasage = 180° système stable: amplitude < 0 dB quand j = -180° - marges de sécurité (marges de gain Gm et de phase fm) Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

36. Chapitre 5 - Analyse de la réponse d’un système. 5.1 Caractéristiques liées à la forme de la FT. (jw)k en facteur dans D(jw): k intégrations ou de type k étude sur le lieu de Nyquist 1. Points de départ (w→0). * a0 et b0 non nuls. gain statique F(0)=a0/b0 réel, positif et fini, point de départ du lieu * b0 = 0 avec b1 et a0 non nuls pied de l’asymptote: limite de Re{F(jw)} quand w 0 limite finie Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

37. * b0 = b1 = 0 avec b2 et a0 non nuls branche infinie horizontale, sens des réels <0 * b0 = b1 = .. = bk =0 avec bk+1 et a0 non nuls branche infinie de direction k 90° (sens horaire) 2. Points d’arrivée (w→). 5.2 Réponses des systèmes linéaires du 1er ordre. 1. Etude fréquentielle. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

38. étude de G0(u)=r(u)e-jj(u)=X(u)+jY(u)  demi droite verticale d'abscisse 1 dans le plan complexe G0-1(u)  G0(u): inversion géométrique de centre O puis symétrie par rapport à l'axe réel  demi droite  demi-cercle de rayon 1/2 centré au point (1/2, 0) ( demi plan inférieur)  lieu de Nyquist de tout système d’ordre 1 en grandeurs réduites de gain et de fréquence Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

39. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

40.  lieux de Bode et de Black Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

41. 2. Etude temporelle. a) Réponse indicielle (R.I): e(t)=E=const. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

42. b) Réponse impulsionnelle RI) c) Réponse à une rampe régime forcé: terme (t-T)  pôles de E(p) régime transitoire: Texp(-t/T)  pôles de la FT Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

43. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

44. 5.3 Etude des systèmes d’ordre 2. 1. Etude fréquentielle. a) Equations fondamentales. Coordonnées réduites. * Grandeurs réduites Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

45. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

46. |G0(juR)|: coefficient de surtension Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

47. b) Diagramme de Nyquist. famille de paraboles avec Y>0 (w>0) paramétrées en z, OX, axe de symétrie et concavité vers les réels négatifs * symétrie par rapport à l'axe Ox * inversion géométrique de centre O et de rapport 1  "cardioïde" Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

48. 2. Etude temporelle. deux modes: apériodique (pôles réels) ou pseudo périodique (pôles complexes conjugués) a) Systèmes apériodiques. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

49. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007

50. b) Systèmes pseudo périodiques. Systèmes asservis linéaires A. Thieltgen 2006-2007