Corso di biomatematica lezione 7-3: Test di significatività

1. Corso di biomatematica lezione 7-3:Test di significatività Silvia Capelli

2. Sommario • Tabelle di contingenza e Yates • Tabelle 2x2 metodo esatto piccoli campioni (Fisher) • Tabelle 2xN

3. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Quando confronto le risposte binarie di due campioni • indipendenti è utile costruire una tabella a doppia entrata • detta tabella di contingenza • Il test del 2permette in questo caso di verificare se le • proporzioni di successi e di insuccessi nei due gruppi sono • indipendenti dal “trattamento” al quale sono sottoposti • oppure se esiste associazione tra essi. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

4. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Per applicare il test del c2 dovrò costruirmi una tabella di • valori misurati (osservati) ed una di valori attesi, vediamo • con un esempio come fare: • Date due zone una ad alto inquinamento ed una a basso • inquinamento, si vuole stabilire se esiste un nesso con • l’incidenza di malattie polmonari • Per costruire la tabella dovrò tener conto che: • Le modalità della var. casuale vanno sulle righe • Le modalità della var. effetto sulle colonne • (non tutti seguono la stessa convenzione…) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

5. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Avremo dunque la tabella dei dati osservati Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

6. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • In questa tabella abbiamo indicato con le lettere a,b… i dati e • con indici ni le rispettive somme parziali, con N la totale. • Ora se fosse vera l’ipotesi nulla H0 le frequenze relative • sarebbero uguali e le differenze riscontrate sarebbero • casuali. • La stima migliore di questa frequenza relativa nell’ipotesi • nulla H0 è data dalla somma delle persone con malattie nei • due gruppi diviso il totale, cioè (32+13)/150 = 0.3 • Considerando che nei due campioni ho un diverso numero di • osservazioni i valori aspettati sono di 24 (80x0.3) nel primo • e di 21 (70x0.3) nel secondo Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

7. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Avremo quindi la tabella dei dati attesi (mantenendo le • somme parziali e totali): Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

8. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Per i valori attesi è sufficiente trovare una sola delle • frequenze attese e le altre le ricavo per differenza (somme • costanti…), ovvero una tabella attesa 2x2 ha solo 1 grado di libertà (ho 4 dati e 3 informazioni necessarie: totale riga, totale colonna e totale generale, 4–3=1) • Calcoliamo ora il c2 dai nostri dati secondo la formula Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

9. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Con i nostri dati otteniamo: • Le tavole del c2 riportano come valori critici con g.d.l. 1 • 3,84 alla probabilità a =0,05 • 6,64 alla probabilità a =0,01 • Quindi il valore calcolato è addirittura superiore a quello • per a =0,01, ovvero con probabilità < 0,01 posso dire che la • differenza tra le due popolazioni è significativa (molto…) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

10. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 • Partendo solo dalla tabella dei dati osservati, è possibile • ricavare il valore del c2 tramite la formula: Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

11. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 e correzione di Yates • Anche per le tabelle 2x2 nel caso di campioni con • osservazioni comprese tra 100 e 30 è necessario ricorrere • alla correzione di Yates, che in questo caso diventa: • E gli effetti di questa correzione sono tanto maggiori quanto • più basso è il numero di osservazioni Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

12. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 piccoli campioni: metodo esatto di Fisher • Se il numero di osservazioni scende sotto le 30, e/o almeno una frequenza attesa è inferiore a 5, si ricorre al metodo delle probabilità esatte di Fisher che permette di stimare la PROBABILITA’ di ottenere una tabella 2x2 uguale a quella osservata. • Con la stessa simbologia precedente avremo Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

13. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 piccoli campioni: metodo esatto di Fisher • Ora, per stabilire se esiste una differenza significativa tra le • distribuzioni osservate (sani, malati) devo stimare la probabilità • totale di ottenere una distribuzione così estrema o più estrema • ancora. • Per fare questo riduco di 1 il numero di osservazioni nella • casella con numero minore e modifico le altre caselle per • mantenere uguali i totali marginali ni . • Per decidere tra le due ipotesi (H0 e H1) la probabilità che • mi occorre stimare è data dalla somma della probabilità della distrib • osservata e di quelle delle risposte più estreme nella stessa direzione. (test a 1 coda) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

14. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2x2 piccoli campioni: metodo esatto di Fisher • E’ necessario elencare tutte le possibilità più estreme, • ovvero continuerò a ridurre i valori della casella con • numero minore fino ad arrivare a 0. • Sommo tutte le probabilità e confronto il risultato con il • limite critico fissato (di solito a =0,05) • Se P < a rifiuto H0 ed accetto H1 • Nei test a due code P è raddoppiata… Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

15. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN • Il metodo del calcolo del c2 può essere estesso anche al caso • generale, ovvero con classificazioni multiple, ad esempio • considerando il confronto tra 2 popolazioni per verificare • l’ipotesi nulla H0 che tutte le N percentuali o proporzioni a • confronto siano uguali. • I gradi di libertà di una tabella 2xN sono N-1, mentre in • generale per una tabella MxN saranno (N-1)x(M-1). • Sarebbe opportuno NON avere caselle con frequenze • attese inferiori a 5, ma con più gradi di libertà il c2 è meno • sensibile ad eventuali errori dovuti a frequenze attese • piccole. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

16. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN - esempio • Vogliamo confrontare l’effetto di 5 pesticidi dispersi in 5 • areee diverse sulla sopravvivenza dello stesso tipo di • animale Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

17. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN - esempio • L’ipotesi nulla H0 è quella che tutti i pesticidi determinino la • stessa frequenza percentuale, mentre l’ipotesi alternativa H1 • è che almeno una classe sia significativamente differente • dalle altre. • Per determinare la distribuzione attesa in ogni casella dovrò • fare il prodotto: • Attesa= totale colonna x totale riga / totale generale Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

18. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN - esempio • Otterremo dunque la tabella attesa Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

19. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN - esempio • Il numero di gradi di libertà è (5-1)x(2-1)=4 e calcoliamo il • c2 tramite la formula seguente: • Ottenendo • Che essendo inferiore al valore critico 9,49 per a =0,05 • implica di non poter rifiutare l’ipotesi nulla. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

20. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN - esempio • Per il calcolo del c2 possiamo utilizzare formule abbreviate • come la seguente di Brandt e Snedecor: • Con • Dove k è il numero di gruppi a confronto, • pi è la frequenza percentuale carattere in esame, gruppo i • ni è la frequenza assoluta carattere in esame, gruppo i • N totale osservazioni e è la media di tutti i gruppi Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

21. Adattamento dei dati • Tabelle di contingenza 2xN - esempio • Per il calcolo del c2 nel nostro caso avremo: Silvia Capelli - Dottorato in Biologia