Programação Inteira

1. Programação Inteira Prof. Ricardo Santos

2. Formulações Alternativas • Dado um problema P, podem existir diversas formulações para esse problema e algumas delas podem ser melhores que outras • Definição 1: Um subconjunto de Rn descrito por restrições lineares P={x  Rn: Ax<=b} é um poliedro • Definição 2: Um poliedro P ⊂ Rn+p é uma formulação para um conjunto X ⊂ Zn x Rp se e somente se X=P ∩ (Zn x Rp)

3. P1 P2 Formulações Alternativas • Exemplo: A figura a seguir apresenta duas formulações distintas P1 e P2 para o conjunto • X={(1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,2)}

4. Formulações Alternativas • Definição 3: Um conjunto X ⊂ Rn é chamado de conjunto convexo se, para quaisquer x1, x2 X e todo número real , 0 <  < 1, o ponto x1+(1- )x2 X • A interpretação geométrica desta definição é que, se um conjunto é convexo, então, dados dois pontos no conjunto, todo ponto no segmento de reta que liga esses dois pontos também é um elemento do conjunto

5. Formulações Alternativas • Definição 4: Dado um conjunto X ⊂ Rn, a envoltória convexa (convex hull) de X, representada por conv(X), é definida como a interseção de todos os conjuntos convexos que contêm X, isto é, o menor conjunto convexo que contém X

6. P1 conv(X) P2 Formulações Alternativas • A Figura a seguir mostra a envoltória convexa do exemplo anterior • A envoltória convexa corresponde à combinação conexa dos pontos x1=(1,3), x2=(2,1), x3=(2,4), x4=(3,1), x5=(4,2), isto é, • conv(X)=

7. Formulações Alternativas • Note que as soluções ótimas dos exemplos de PI e PIM são pontos extremos das envoltórias convexas dos conjuntos de soluções factíveis de PI e PIM, respectivamente. • Pode-se expressar o problema de PIM como o problema de programação linear z=max cTx+dTy Ãx+Dy<=b x  Rn+, y  Rp+ • Em que {(x,y): Ãx+Dy<=b, x  Rn+, y  Rp+}=conv{(x,y): Ax+Dy<=b, x  Rn+, y  Zp+} • A partir dessa caracterização de PIM é possível definir a melhor de duas formulações P1 e P2 para um dado conjunto X  Rn. • Como X  conv(X)  P, para qualquer formulação P, P1 é uma formulação melhor que P2 se P1  P2

8. Formulações Alternativas • A determinação de conv(X) é tão difícil quanto resolver PIM e os métodos de resolução branch-and-bound e branch-and-cut operam de forma a fazer com que a solução ótima de PIm seja a solução ótima de um problema de programação linear • Esses métodos eliminam regiões da formulação do problema P sem penetrar em conv(X), para evitar a perda de uma possível solução ótima • Por esse motivo, quanto mais próxima é a formulação P em relação a conv(X), menor o número de regiões a serem eliminadas, e os métodos convergem mais rapidamente para a solução ótima • Esta é a motivação para encontrar formulações melhores!!!

9. Formulações Alternativas • Exemplo: Formulações equivalentes para o problema da Mochila 0-1 • Considere o conj. de valores binários para a mochila 0-1 • X={(0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,1), (0,1,0,1), (1,1,0,1)} • E as formulações • P1={x  R4: 0<=xj<=1, j=1,2,3,4, x1+9x2+29x3+4x4<=30} • P2={x  R4: 0<=xj<=1, j=1,2,3,4, 0,3x1+2x2+6x3+x4<=6} • P3={x  R4: x1 + x3 <=1 • x2+x3 <=1 • x3+x4<=1 • 0<=xj<=1, j=1,2,3,4} • Note que o ponto x2=(1;1;0,45;1)  P2, mas ∉ P3 e o ponto x1=(0;0;1;0,25)  P1, mas ∉ P2. Portanto, P3  P2 P1. Então, P3=conv(X)