Estatística

1. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 14 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelos Prof. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues

2. Aula 13 • Esperança Matemática • Propriedades da Esperança • Variância • Desvio Padrão • Aplicações

3. Esperança Matemática • Já tínhamos visto que podemos representar graficamente uma distribuição de probabilidade com Um gráfico de barras Um histograma • Para entender o conceito de Esperança matemática ou • valor esperado, partiremos de um exemplo discreto com • um histograma de probabilidade  descobriremos onde • está o Centro dele (CVDOT)  estenderemos o conceito • de média para Esperança matemática ou valor esperado •  generalizaremos para distribuições contínuas

4. Esperança Matemática Exemplo Um estudo consiste na escolha aleatória de 14 recém-nascidos e na contagem do número de meninas. Se considerarmos que meninos e meninas são igualmente prováveis, construa a distribuição de probabilidade e calcule a média histograma de probabilidade Distribuição de probabilidade

5. Esperança Matemática Onde está a média? Como calculá-la? Lembrando do cálculo de média em dados agrupados ... m = 0.0,000 + 0,001.1 + 0,006.2 + 0,022.3 + 0,061.4 + 0,122.5 + 0,183.6 + + 0,209.7 + 0,183.8 + 0,122.9 + 0,061.10 + 0,022.11 + 0,006.12 + + 0,001.13 + 0,000.14 = 6,993 ≈ 7

6. Esperança Matemática m CVDOT

7. Esperança Matemática O que fizemos no exemplo anterior? Vimos que uma distribuição de probabilidade pode ser interpretada como uma distribuição de frequência dos valores do espaço amostral Imaginemos uma população, onde são possíveis vários resultados  N resultados possíveis Podemos fazer: distribuição de frequência de cada resultado Calcular parâmetros  m, s2, s, ...

8. Esperança Matemática O que fizemos no exemplo anterior? Se quisermos calcular a média m a partir dos dados agrupados Onde a frequência relativa do resultado xida população é a probabilidade de ocorrência de xi

9. Esperança Matemática Então … • As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser interpretadas como limites de freqüências relativas • Podemos, assim, definir, para as distribuições de probabilidade as mesmas medidas de tendência central e de dispersãoutilizadas nas distribuições de freqüência • Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas respectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ou de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos dos diversos valores xi da v.a. pelas respectivas probabilidades f(xi)

10. Esperança Matemática Da média à esperança matemática (ou valor esperado) A média de uma v.a. discreta é o resultado médio teórico para um no infinito de tentativas. Podemos considerar a média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente Repita o processo de jogar uma moeda cinco vezes, e o no médio de caras é 2,5. Ao jogar uma moeda 5 vezes, o valor esperado do no de caras é também 2,5.

11. Esperança Matemática Definição • A média de uma v.a.X é também chamada de valor esperado, ou esperança matemática, ou simplesmente esperança deX • É representada por E(X) e se define como: • Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de X • E(X) é também chamada média populacional, denotada usualmente porm

12. Propriedades da Esperança de uma v.a. • Se a e b são constantes e X é uma v.a., então: Demonstração

13. Propriedades da Esperança de uma v.a. Demonstração

14. A média é uma medida de posição de uma v.a. É natural que procuremos uma medida de dispersão da v.a. em relação à média Essa medida é a variância Variância da Variável Aleatória Introdução

15. Variância Definição • Seja a v.a. X com valores numéricos x1, x2, ..., xn e probabilidades associadasP(x1),P(x2), ..., P(xn) . Definimos como variância de X: Demonstração

16. Desvio padrão • O desvio padrão (s ) é a raiz quadrada positiva da variância • O desvio padrão expressa a dispersão na mesma unidade de medida da v.a.

17. Aplicações No problema da contagem do número de meninas, ache agora a variância e o desvio padrão. Use a regra empírica da amplitude (abaixo) para achar os valores máximos e mínimos usuais Regra empírica da amplitude  baseia-se no princípio de que, para muitos conjuntos de dados, a grande maioria (tal como 95%) dos valores amostrais se localiza a 2 desvios padrões da média 95% dos valores média-2.s média média+2.s Valor usual mínimo = m – 2 . s = 7 – 2 .1,9 = 3,2 Valor usual máximo= m+ 2 . s = 7 + 2 .1,9 = 10,8

18. Aplicações Continuando o problema anterior, se uma empresa diz ter desenvolvido uma técnica que, supostamente aumenta as chances de um casal ter uma filha. Em um teste preliminar, foram encontrados 14 casais que desejavam ter filhas. Após o uso da técnica, 13 deles tiveram uma filha e um teve 1 filho. A técnica é eficaz ou devemos explicar o fato como resultado aleatório. Em outras palavras, a técnica é eficaz ou poderíamos obter 13 meninas entre 14 bebês apenas por acaso? Forma de solução 1: pelaregraempírica, a grandemaioria dos valoresdevemestar entre 3,2 e 10,8. Então 13 é um valor não usual. A técnicapareceeficaz, pois é altamenteimprovávelque, aoacaso, haja 13 meninasem 14 bebês Forma de solução 2: Se a probabilidade de nascer 13 oumaismeninas for muitopequena, este valor é não usual. Assim P(13 oumaismeninas) = P(13) + P(14) = 0,001 + 0,000 = 0,001. Então, como a probabilidade é muitobaixa, 13 é um valor não usual. A técnicapareceeficaz, pois é altamenteimprovávelque, aoacaso, haja 13 meninasem 14 bebês

19. Aplicações Em um jogo, uma aposta direta funciona da forma seguinte: aposte 50 centavos e escolha um número de 3 dígitos entre 000 e 999. Se os seus 3 dígitos coincidem com os 3 sorteados, você recebe R$ 275,00, com um ganho líquido de R$ 274,50 (porque seus 50 centavos não serão devolvidos). Suponha que você aposte R$ 0,50 no número 007. Qual o valor esperado de ganho ou perda? Solução: há 2 resultados simples: você ganha ou você perde. Há 1.000 possibilidades e você escolheu um número (007) Sua probabilidade de ganhar é 1/1000 = 0,001 Sua probabilidade de perder é 999/1000 = 0,999 A longo prazo, para cada 50 centavos apostados, podemos esperar perder uma média de 22,5 centavos. Embora você não possa perder 22,5 centavos em um jogo individual, o valor esperado de – 22,5 centavos mostra que, numa longa sequência de jogos, a perda média é de 22,5 centavos

20. Aplicações • Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias de furadeiras. O quadro abaixo fornece a quantidade de furadeiras vendidas em uma semana e a respectiva probabilidade. 0 1 2 3 4 5 Quantidade f(x) 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 Se é de R$ 37,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana? Solução: Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos em uma semana: E(X) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,2) + 5(0,1) E(X) = 3,0 Para x unidades vendidas, o lucro é 37.x Logo: O lucro é dado por : R$ 111,00 (= 37.3)

21. Aplicações • O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição: 10 11 12 13 14 15 x = nº de mensagens f(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07 Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de mensagens enviadas por hora. m = E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5 s2 = 102(0,08) + 112 (0,15) + 122(0,30) + 132(0,20) + 142(0,20) + 152(0,07) – 12,52 s2 = 1,85 s = (1,85)1/2 = 1,36

22. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 14 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelos Prof. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues