Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Bralinie • ID grupy: 98/78_MF_G1 • Opiekun: Iwona Modzelewska • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • „Wyrażenia algebraiczne w opisywaniu prawidłowości i projektowaniu.” • Rok szkolny: 2011/2012

Nasze działania: • W wybranym przez nas temacie projektowym „ Wyrażenia algebraiczne w opisywaniu prawidłowości i projektowaniu.” zajmowałyśmy się następującymi zagadnieniami: • Wyjaśnieniem poszczególnych pojęć związanych z wyrażeniami algebraicznymi oraz podaniem przykładów. • Rozwiązywaniem różnego typu zadań związanych z wyrażeniami algebraicznymi i ich zastosowaniem. • Wykonaniem projektu domu jednorodzinnego w programie GeoGebra. • Wykonaniem makiety domu jednorodzinnego

Wyrażenia algebraiczne • Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami, nazywamy wyrażeniami algebraicznymi np. • -3x, a, 2x-3, 4(a-5), 3+y. • Jeżeli do danego wyrażenia algebraicznego w miejsce liter wstawimy konkretne liczby, to dla tych liczb możemy obliczyć wartość liczbową tego wyrażenia.

Jednomiany • Jednomianem nazywamy wyrażenie, które jest pojedynczą liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter. • Jednomiany zapisujemy w postaci uporządkowanej, to znaczy najpierw znak, potem czynnik liczbowy, a następnie czynniki literowe w kolejności alfabetycznej np. • -3ab, -2, 5x, y, -20. • Iloczyn jednomianów jest jednomianem.

Redukcja wyrazów podobnych • Wyrazy sumy algebraicznej różniące się co najwyżej współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi np. • -7xy + 2y + xy - 5 • Wyrazami podobnymi są: -7xy i xy. • Przekształcenie sumy algebraicznej polegające na dodaniu do siebie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 1. Redukcja wyrazów podobnych: • 7x2 - 2x + 4xy - 1 - 3x2 - 4x - xy + 5 + 3x + 2 • Teraz zaznaczamy wyrazy podobne: • 7x2 - 2x + 4xy -1 - 3x2 - 4x – xy+ 5 + 3x + 2 • Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy wyrażenie: • 4x2 - 3x + 3xy + 6 • Przykłady redukcji wyrazów podobnych : • 7x+6y-3x-4y=4x+2y • a-2a2+5-3a+4a2-3=-2a+2a2+2 • 3ab-5a2b2-6ab2+2ab+ab2+7a2b2=5ab+2a2b2-5ab

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 2. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych (opuszczanie nawiasów): • gdy przed nawiasem jest znak plus lub nie ma znaku opuszczając nawias przepisujemy wszystkie wyrazy bez zmian: • 2x + (3x-1) = 2x + 3x – 1 = 5x – 1 • gdy przed nawiasem jest znak minus to opuszczając nawias wszystkie wyrazy z nawiasu zmieniają znak na przeciwny : • 4a - (2a+1) = 4a - 2a – 1 = 2a – 1 • Przykłady dodawania i odejmowania sum algebraicznych: • –(3x+2) + (4y-3x+4) – 22= -3x-2+4y-3x+4-22 = -6x + 4y - 20 • (3a-6b) – (4a+8b) – (9a-2b) = 3a - 6b - 4a - 8b - 9a + 2b = -10a - 12b • -(2x-3)+(-3x-4)- (-6x+1) = -2x + 3 - 3x – 4 + 6x - 1 = x - 2

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 3. Wyłączanie czynnika poza nawias: • ax – ay + az = a(x-y+z) • Przykłady wyłączania czynnika przed nawias : • 27xyz + 18ayz - 36yzw + 9yz = 9yz (3x + 2a - 4w +1) • 3·9 2·9 4·9 1·9 • 5a + 10b - 15c = 5( a + 2b - 3c ) • 1·5 2·5 3·5

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 4. Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian – wymnażamy każdy wyraz sumy przez jednomian. • 4(x-2) = 4·x - 4·2 = 4x – 8 • Przykłady mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian: • 3(2x-3y) = 3·2x - 3·3y = 6x - 9y • 5(2xy-y) = 5·2xy - 5·y = 10xy - 5y • 8(x-y+1) = 8·x - 8·y + 8·1 = 8x - 8y + 8 • 2(x+1) - 3(x-1) = 2x+2-3x+3 = -x + 5 • 5(x-y-1) - 4(x+2) = 5x – 5y -5- 4x– 8 = x -13

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 5. Mnożenie sum algebraicznych – wymnażamy każdy wyraz jednej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy • (2a – 3)(5b + 6) = 2a·5b + 2a·6 - 3·5b - 3·6 = • = 10ab +12a – 15b – 18 • Przykłady mnożenia sum algebraicznych: • (x-3)(3-x) = 3x-x2-9+3x = -x2 + 6x - 9 • (4a-b)(2b-3a) = 8ab – 12a2 – 2b2+3ab = – 12a2 – 2b2 + 11ab • 2(-2p - q)(q - 2p) = 2(-2pq +4p2 - q2 + 2pq) = 8p2 - 2q2

Wykorzystanie wyrażeń algebraicznych w zadaniach z treścią. • Zadanie 1 • Michał miał m złotych, Maciek cztery razy więcej, a Mirek o 6 złotych mniej od Maćka. Chłopcy złożyli wszystkie pieniądze razem, a następnie podzieli się nimi po równo. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego, ile pieniędzy dostał każdy z chłopców. Wykonaj obliczenia dla m=10.

Rozwiązanie: • Pieniądze Michała - m • Pieniądze Maćka - 4m • Pieniądze Mirka - 4m - 6 • Wszystkie pieniądze razem można zapisać: m+4m+4m-6 czyli 9m- 6 • Każdy z chłopców dostanie (9m-6) : 3 czyli 3m - 2 • Dla m=10 • 3m - 2 = 3·10 - 2 = 30 - 2 = 28 • Odp: Każdy z chłopców dostanie 28zł.

Zadanie 2 • Jedno wiadro benzyny waży 7kg, mleka 10,4 kg, betonu 22kg, a ołowiu 113,2 kg. Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące, ile waży: • a) b wiader mleka; • b) a+5 wiader ołowiu: • c) m wiader betonu i dwa razy więcej wiader benzyny. • Rozwiązanie: • a) b wiader mleka opisuje wyrażenie: 10,4 b • b) a+5 wiader ołowiu opisuje wyrażenie: (a+5)113,2 = 113,2a+566 • c) wiadra betonu i benzyny opisuje wyrażenie: • 22m + 2m 7 = 22m + 14m = 36m

Zadanie 3 • Gosia ma x lat i jest o 2 razy młodsza od mamy. Jakim wyrażeniem algebraicznym można opisać łączny wiek Gosi i jej mamy? • Rozwiązanie: • Wiek Gosi – x • Wiek mamy - 2x • Łączny wiek Gosi i jej mamy możemy opisać takim wyrażeniem: • 2x + x czyli 3x

Zadanie 4 • Świątynie greckie budowano w ten sposób, • że jeśli liczba kolumn na każdej krótszej • ścianie była równa n, to licząc kolumny • na dłuższej ścianie, powinniśmy otrzymać 2n+1. • Ile łącznie kolumn miała świątynia grecka na czterech ścianach? • Rozwiązanie: • Liczba kolumn na każdym dłuższym boku wynosi 2n + 1 • Liczba kolumn na każdym krótszym boku wynosi więc n – 2, • ponieważ dwie kolumny „narożne” wliczamy do boku dłuższego • Ilość wszystkich kolumn można więc zapisać wyrażeniem: • 2(n - 2) + 2(2n + 1) = 2n – 4 + 4n + 2 = 6n – 2

Ciekawe zadania z testów z platformy e-learningowej • Zadanie 1 • Wstążkę podanej długości 10x+3y pocięto na trzy części. Pierwszą część ma następującą długość 2x+y, druga jest dwa razy dłuższa. Jaką długość ma trzecia część?Rozwiązanie : Pierwsza część : 2x+yDruga część jest dwa razy dłuższa: 2(2x+y) = 4x+2yTrzecią część obliczymy odejmując od całości pierwszą i drugą część : 10x+3-(2x+y)-(4x+2y) = 10x+3y-2x-y-4x-2y = 4x • Odpowiedź : Trzecia część ma długość 4x.

Zadanie 2Rodzina Nowakowskich planuje trzy dniową wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia zamierzają przejechać x km, drugiego o 7 km więcej, a trzeciego połowę trasy pierwszego dnia i jeszcze 8 km. Zapisz jakiej długości trasę pokonają? Oblicz długość trasy gdy pierwszego dnia przejadą 42 km.Rozwiązanie : • w pierwszy dzień przejadą – x kmw drugi dzień przejadą – x + 7 kmw trzeci dzień przejadą – 1/2x + 8 kmdługość całej trasy wynosi : x + x + 7 + 1/2x + 8 = 2,5x + 15 • Gdy x = 42 km to długość trasy wynosi : 2,5·42 + 15 = 120 km

Zadanie 3Na rysunku dany jest prostokąt . Jaka jest różnica pomiędzy długością przekątnej a długością krótszego boku prostokąta?Rozwiązanie : odejmujemy długość boku 2x+y • Od długości przekątnej 5x-3y • (5x-3y) - (2x+y) = 5x - 3y - 2x – y = • = 3x-4yOdpowiedź : Różnica tych długości wynosi 3x - 4y.

Zadanie 4Doprowadź do najprostszej postaci podane • wyrażenie 2a(3a-4)-a(2a+5), a następnie • oblicz jego wartość liczbową dla a = -2.Rozwiązanie : 2a(3a - 4) - a(2a + 5) = 6a 2 - 8a - 2a 2 - 5a = 4a 2 - 13a • Dla a = -2 mamy: 4·(-2)2 - 13·(-2) = 4·4 + 26 = 16+26 = 42Odpowiedź : Wartość liczbowa wyrażenia wynosi 46.

Zadanie 5Podane wyrażenie n(n+1)(n+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Jaka jest wartość tego iloczynu, jeśli ostatnia z tych liczb ma wartość 6?Rozwiązanie:n - pierwsza liczba naturalnan+1 – druga liczba naturalnan+2 – trzecia liczba naturalna, której wartość równa jest 6n+2 = 6 czyli n = 4, n+1 = 5, więc n(n+1)(n+2) = 4 ∙ 5 ∙ 6 = 120Odpowiedź: Iloczyn trzech liczb wynosi 120.

Zadanie 6Trzech przyjaciół wybrało się na grzyby. Adam nazbierał x grzybów, Piotr połowę tego, co Adam i jeszcze 6 grzybów, natomiast Janek dwa razy tyle, co Piotr. Ile nazbierali grzybów razem, jeśli w koszyku Piotra było ich 20? • Rozwiązanie: • Grzyby Adama – xGrzyby Piotra – 1/2x+6 = 20 czyli 1/2x=14 czyli x=7Grzyby Janka - x+12Wstawiając za x liczbę 7 obliczamy:Grzyby Adama – 7Grzyby Piotra – 20 7+20+40= 67 Grzyby Janka – 40Odp: Chłopcy nazbierali razem 67 grzybów.

Zadanie 7 • W 1 klasie liczącej 25 uczniów jest x dziewcząt. Z okazji dnia dziewczyn chłopcy złożyli się po 5 zł na kwiaty dla dziewcząt. Ile zebrali pieniędzy?Rozwiązanie:x – liczba dziewcząt25 - x – liczba chłopców(25 - x)∙5zł =25∙5 - 5∙x = 125 - 5xOdpowiedź: Zebrali 125-5x pieniędzy.

Zadanie 8 • Normalny bilet do kina kosztuje n złotych. Bilet ulgowy jest o 30% tańszy. Ile należy zapłacić za 2 bilety normalne i 3 ulgowe? • Rozwiązanie:bilet normalny – n złbilet ulgowy – 70%n = 0,7 n • 2 bilety normalne + 3 ulgowe – 2n + 2,1n = 4,1n Odpowiedź: Za 2 bilety normalne i 3 ulgowe należy zapłacić 4,1n zł.

Przekształcanie wzorów • Aby wyznaczyć z danego wzoru ustalona wielkość, musimy przekształcać ten wzór tak, jak równanie, traktując tę wielkość jako niewiadomą, a pozostałe litery jako wiadome liczby. • Poniżej na kilku przykładach pokażemy jak wyznaczać podane wielkości z wzorów.

Przekształcanie wzorów • Zadanie 1. • Ze wzoru na pracę mechaniczną W = F · S wyznacz F i S. • Gdzie W- praca, F- siła, S- droga. • Rozwiązanie: • Wyznaczamy F: • W = F · S / : S (dzielimy obie strony wzoru przez S) • W / S = F czyli F = W / S • Wyznaczamy S: • W = F ·S / F (dzielimy obie strony wzoru przez F) • W / F = S czyli S = W / F

Przekształcanie wzorów • Zadanie 2. • Ze wzoru na moc P = W / t wyznacz W i t, gdzie: P- moc, W- praca, t- czas wykonanej pracy. • Rozwiązanie: • Wyznaczamy W: • P = W / t • P · t = W czyli W = P · t • Wyznaczamy t: • P = W / t /·t (mnożymy obie strony wzoru przez t) • P · t = W / :P (dzielimy obie strony wzoru przez P) • t = W / P

Przekształcanie wzorów • Zadanie 3. • Ze wzoru na energię kinetyczną wyznacz m i v. • - Wyznaczamy v: - Wyznaczamy m:

Przekształcanie wzorów • Zadanie 4. • Ze wzoru na napięcie U = W / q wyznacz W i q, gdzie U- napięcie, W- praca, q- ładunek elektryczny. • Rozwiązanie: • Wyznaczamy W: • U = W / q /·q (mnożymy obie strony wzoru przez q) • U · q = W czyli W = U · q • Wyznaczamy q: • U = W / q /·q (mnożymy obie strony wzoru przez q) • U·q =W /:U (dzielimy obie strony wzoru przez U) • q = W / U

Przekształcanie wzorów • Zadanie 5. • Ze wzoru na opór układu połączonego równolegle wyznacz • Wyznaczamy

Wzory skróconego mnożenia • Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów rozwijających wyrażenia postaci gdzie n jest liczbą naturalną. • Francuski matematyk Blaise Pascal opracował metodę wyznaczania współczynników liczbowych dwumianu (a+b)n za pomocą trójkątnej tablicy liczbowej. Tablica ta została nazwana od jego nazwiska. • TRÓJKĄT PASCALA

Wzory skróconego mnożenia • Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia, plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. • ( a + b )² = a² + 2ab + b² • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie: • (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Wzory skróconego mnożenia • Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia, minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez długie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. • ( a – b )² = a² - 2ab + b² • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie: • (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 - 2ab + b2

Wzory skróconego mnożenia • Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy dwóch wyrazów przez ich różnicę. • (a - b)(a + b) = a2 - b2 • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie: • (a-b)(a+b) = a2 + ab – ab - b2 = a2 - b2

Wzory skróconego mnożenia • Sześcian sumy(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na kwadrat sumy): • (a+b)3 = (a+b)2(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b) = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3 • Sześcian różnicy • (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na kwadrat różnicy): • (a-b)3 = (a2-2ab+b2)(a-b) = a3-2a2b+ab2-a2b+ • +2ab2- b3 = a3-3a2b+3ab2-b3

Wzory skróconego mnożenia • Suma sześcianówa3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3 = a3+b3 • Różnica sześcianówa3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-ba2-ab2-b3 = a3-b3

Wzory skróconego mnożenia • Zadanie 1. • Oblicz kwadrat następującej sumy (3a+ 5b) • Rozwiązanie: • Bez stosowania wzoru • (3a+5b)² = (3a+5b)·(3a+5b)=9a²+15ab+15ab+25ab²= • =9a²+2·15ab + 25ab² = 9a²+30ab+25b² • Z zastosowaniem wzoru • (3a+5b)² = (3a)² + 2·3a·5b + (5b)² = 9a² + 30ab + 25b²

Wzory skróconego mnożenia • Zadanie 2 • Oblicz kwadrat następującej różnicy (2a - 4b) • Rozwiązanie: • Bez stosowania wzoru • (2a - 4b)² = (2a-4b)·(2a-4b) = 4a²- 8ab - 8ab + 16b² = • = 4a² - 2·8ab + 16b² = 4a² - 16ab + 16b² • Z zastosowaniem wzoru • (2a - 4b)² = (2a)² - 2·2a·4b + (4b)² = 4a² - 16ab + 16b²

Średnia harmoniczna • Średnia harmoniczna dwóch wielkości to odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych wielkości. • Średnią harmoniczną n liczb dodatnich • nazywamy liczbę postaci:

2 • Zadanie 1 • Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego średnią harmoniczną liczb 2a i 4a oraz doprowadź to wyrażenie do najprostszej postaci. • Rozwiązanie: • 2a- pierwsza liczba odwrotność pierwszej liczby • 4a- druga liczba odwrotność drugiej liczby • Średnia arytmetyczna odwrotności liczb 2a i 4a • Średnia harmoniczna liczb 2a i 4a

Zadanie 2 • Sprawdź, czy prawdą jest, że średnią harmoniczną liczb x i y można zapisać w postaci wyrażenia • Rozwiązanie: • x - pierwsza liczba odwrotność pierwszej liczby • y - druga liczba odwrotność drugiej liczby • Średnia arytmetyczna odwrotności liczb x i y • Średnia harmoniczna liczb x i y • c.b.d.u.(co było do udowodnienia) ;)

Sofizmaty • Sofizmat - zwodniczy „dowód” matematyczny, pozornie poprawny, lecz zawierający trudny do wykrycia błąd. • Przykład 1 • Wykażemy, że 2=1 • Niech x = y. • x2 = yx (mnożymy tę nierówność przez x) • x2-y2 = yx-y2(odejmujemy od obu stron równania y2) • (x- y)(x+y) = y (x-y) (przekształcamy) • x+y = y (dzielimy przez (x-y))

Sofizmaty • Ponieważ założyliśmy, że x = y • więc podstawiając mamy, że 2y = y. • Wniosek: 2 = 1. Gdzie jest błąd? • Odpowiedź: Jest to oczywiście sofizmat. Dzieląc obie strony przez x-y dzielimy tak naprawdę wyrażenie przez 0, ponieważ założyliśmy, że x=y, a dzielenie przez 0 jak wiemy jest niewykonalne.

Sofizmaty • Przykład 2 • Niech a>b i niech a=b+c. • Równość tę mnożymy przez a-b: a(a-b)=(b+c)(a-b) • Przekształcamy: a2-ab=ba-b2+ca-cb • Przenosimy wyrazy: a2-ab-ac=ab-b2-bc • Wyłączamy wspólny czynnik: a(a-b-c)=b(a-b-c) • Dzielimy przez (a-b-c) i otrzymujemy: a=bDlaczego? • Odpowiedź: Jest to sofizmat. Wniosek, że a=b, jest fałszywy, mimo iż pozornie wydaje się nam prawdziwy. Błąd powstał wskutek dzielenia równania przez wyrażenie, którego wartość wynosi 0 (a-b-c=0).

Nasz Projekt domu • W ramach realizacji tematu wykonałyśmy również projekt i makietę domu. Podzieliłyśmy się na grupy i każda grupa pracowała nad innym zadaniem. • Jedna grupa tworzyła projekt domu w programie GeoGebra, inna grupa pracowała nad makietą domu. • Makieta i projekt domu są wykonane w skali 1:30. • Zadanie okazało się wcale nie łatwe, jak wydawało się to na początku .

Początki projektowania domu

Prace końcowe projektowania

Efekt końcowy projektu domu

Powierzchnia poszczególnych pomieszczeń • Pomieszczenia: 3 pokoje, garderoba, łazienka • Łączna powierzchnia użytkowa: 66,2 m2 • Pokój I: • Wymiary pomieszczenia: 6m x 5m x 2,5m • Powierzchnia podłogi: 30 m2 • Powierzchnia ścian: 51 m2 • Wymiary drzwi wejściowych: 1 m x 2,1 m • Wymiary okna: 1,4 x 1,3 metra

Dane INFORMACYJNE