5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ

1. 5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

2. 5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ Bu bölümde, geri bildirim bir sistemde oluşan istenmeyen etkileri azaltma veya ortadan kaldırmada ne kadar etkili olduğu, gerekli argümanlar kullanılarak ispatlanmaya ve Matlab’ta yapılan benzetim sonuçlarıyla da bunların doğruluğu gösterilmeye çalışılacaktır. İstediğimiz çıkış değeriyle gerçek çıkış arasındaki hata, sistemin içinde çoğunlukla ısınmalar, aşınmalar gibi istenmeyen durumlar yüzünden meydana parametre değişimlerine karşı duyarlılık yani bunlardan etkilenme, yine dışarıdan istemimiz dışında gelen bozucu etkiler, bu etkilerdenbir kaçıdır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

3. 5.1. Geri Bildirimin Hatayı Azaltma Etkisi ( E(s): sistem hatası ) Hata, yani istenilen çıkış değeri ile gerçek çıkış değeri arasındaki fark; E(s)=Yistenen –Ygerçek = Yi(s)-G(s)R(s) olacaktır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

4. Bu hatayı azaltmak mümkün mü? Geri bildirimli bir sistemde, R(s) istenen çıkış değeri (Yistenen ) , Y(s) ise gerçek çıkış değeridir (Yg(s) ). Şekil 5.2 Geri bildirimli Sistem Hata ; E(s)=R(s)-Y(s) olur. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

5. H(s)=1 ise olduğu için E(s)= Yistenen –Ygerçek = Kapalı çevrimde hata G(s)’ten 1+G(s) kat daha az etkilenecektir. Özellikle G(s)>>1 olduğu durumlarda paydadaki 1’i ihmal edebiliriz. E(s)= Yistenen –Ygerçek = Geri bildirimli sistemde zaten Yi(s)=R(s) olduğundan hata sıfıra çok yakın çıkacaktır ve G(s)’teki değişimlerden hemen hemen hiç etkilenmeyecektir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

6. Eğer geribildirim elemanının da H(s) gibi bir transfer fonksiyonu varsa; 5.2. Kontrol Sisteminin Parametre Değişimlerine Duyarlılığı ve Geribildirimin Duyarlılık Üzerindeki Etkisi ise Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

7. Açık çevrim sistemlerde sistemin transfer fonksiyonunda gibi bir değişiklik olursa; kadar değişir. (Açık çevrim sistemde) Kapalı çevrim sistemde; Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

8. Sistemin duyarlılık (Sensitivity) tanımı:: Tüm sistem içindeki açık çevrim bir sürecin transfer fonksiyonunda meydana gelen bir değişimin tüm sistemin transfer fonksiyonunda meydana getirdiği değişmeye etkisini yüzde olarak gösteren orandır. (Genel formül) (Duyarlılık formülü) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

9. 5.2.1. Açık çevrim sistemde duyarlılık T(s)=G(s)’tir. Sistem duyarlılığı %100 oranında etkilenir. 5.2.2. Kapalı çevrim sistemde duyarlılık Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Duyarlılık (1+G(s)) kat küçülür.

10. Eğer geribildirim transfer fonksiyonu varsa (H(s)); G(s)H(s)>>1 ise geri bildirimde meydana gelen değişim tüm sistemi %100 etkiler. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

11. Eğer değişim G(s)’te değil de G(s)’in içinde bir α parametresinde ise bunun tüm sisteme etkisi, zincirleme olarak, α’nın G(s)’te meydana getirdiği değişimin T(s)’e etkisi olarak yorumlanabilir. Şekil 5.3 G(s)’ i bir α parametresiyle değişen geribildirimli sistem Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

12. T(s) bir α ya bağlıysa denklem şu hale gelir. Pay ve payda eşitse duyarlılık sıfır olur. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

13. Örnek 5.1: Çıkışla giriş arasındaki gerilim bağıntısı V0 =-Ka.Vin olan geribildirimsiz sistemde transfer fonksiyonu doğrudan T=Ka ‘dır. Aynı sistemi kazancı dışardan potla (Toplam değeri R1+R2= 500K’lık pot) değiştirilebilen bir geribildirimli yükselteç haline dönüştürürsek; Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

14. Potansiyometrenin geri bildirim kazancı Bu durumda Kapalı çevrim sistemin Ka’daki değişimlere duyarlılığı; , Ka’yı büyük seçersek ona karşılık duyarlılık düşük olacaktır. β=0.1’e ayarlayalım. Eğer Ka kazancını da 10000 seçersek ; Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

15. 5.3. Geribildirimin geçici ve kalıcı durum yanıtları üzerindeki etkisi Açık çevrim bir sistemde istenilen sonuç alınamıyorsa ya bu sistem değiştirilir, ya önüne bir denetleyici konulup parametreleriyle oynanır ya da geri beslemeli hale getirilir. Şekil 5.6. Açık Çevrim sistemde yapılabilecek iyileştirmeler Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

16. Örnek.5.2. Endüvi (armatür) denetimli bir motorun çıkışında hızının zamana göre değişimini açık ve kapalı kontrol sistemleri açısından incelemek istiyoruz. Çözüm: a) Öncelikle açık çevrim sistemin girişinin Laplace dönüşümü bulunur. Va(s)= basamak girişidir. Bu gerilim motora girmektedir. 3. bölümde sistemin blok şemasını ve giriş gerilimiyle çıkış hızı arasındaki yaklaşık transfer fonksiyonunu bulmuştuk. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

17. Şekil 5.8. Açık çevrim endüvi denetimli motorun blok diyagramı ile gösterimi = ve = K1= motorun transfer fonksiyonu G1(s)= = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

18. Bu durumda Va(s)= basamak girişi uygulandığında G(s)Va(s) w(s) çıkış yanıtımız : = kısmi kesirlere ayrılırsa = )* w(s) =( A= ( ) A= bulunur. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

19. B= (s) w(s) = (s) = Sonuç olarak ( 1 - e ) w(t)= Sistemin basamak yanıtı: t=0’da değeri 1-1=0 olan, t sonsuza gittikçe değeri 1-0=1’e yaklaşan bir davranış gösterecektir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

20. b) Devreyi takometre ile kapalı çevrim hale getirdikten sonra yine basamak yanıtına bakalım. Kapalı çevrimde: Şekil 5.9. Kapalı çevrim hale getirilmiş endüvi denetimli motorun blok diyagramı Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

21. ( Yükseltecin kazancı Ka ve motora ait K1 katsayıları >>1) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

22. Açık çevrim ve Kapalı çevrim basamak yanıtını MATLAB’ta çizdirelim. Şekilden de görüldüğü gibi, takometre eklenerek sistemde bir geri bildirimin oluşturulması, geçici durum yanıtında bir iyileşmeye neden olmuş, sistemin istenen çıkışa çabuk ulaşmasında ve istenen değerle gerçek değer arasındaki hatayı azaltmasında etkin rol oynamıştır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

23. Kalıcı durum yanıtı ve kalıcı durum hatasına etkisi: Kalıcı durum hatası, sistemin geçici durum yanıtı yatıştıktan sonra sürekli durum boyunca gözlenen sabit hatadır. Kapalı çevrim bir sistemde E(s)= R(s)-Y(s) olduğuna göre, Birim g.b. sistemlerde H(s)=1 E(s)= bulunur. Son değer teoremine göre e( ) = = olduğundan hata R(s) girişinin ne olduğuna göre değişir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

24. Örnek5.3. Transfer fonksiyonu, olan bir su seviyesi kontrol sürecini ele alalım. Sistemin basamak girişine yanıtında meydana gelecek kalıcı durum hatası; e( ) = = Örneğin K=100’e ayarlanmış ise sistemin kalıcı durum hatası e( ) = Diyelim ki K, Mars yüzeyinde çalışan bir robotun sürücü devresindeki bir pot ve değeri gece gündüz ısı farklılıklarından etkilenerek ayarlandığı değerden ( = %10) kayarak 90 ohm oldu . Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

25. Kazançtaki bu değişim açık çevrim sistemde doğrudan aynı oranda çıkışa yansıyacaktır.Açık çevrim sisteminin hatasındaki değişim =0.1 olacaktır. Kapalı çevrimde ise kalıcı durum hatası e( ) = olacaktır. Hatadaki değişim ise = - =0.0011 yani %0.11 5.4. Geribildirimin Bozucu İşaretler Üzerindeki Etkisi Bir transistorün veya yükseltecin ürettiği gürültü, radar antenlerinin maruz kaldığı sert rüzgarlar, sistem üzerinde bozucu etki yaratırlar. Geri bildirimin en büyük avantajlarından biri bozucu işaretlerin sistem üzerindeki etkilerini azaltmasıdır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

26. Örnek.5.4. Çelik üretim sürecindeki motorlar, normal seyirlerinde dönerken (boşta çalışırken), çelik levha millerin arasına girdiğinde bir anda ani bir bozucu etkiyle karşılaşırlar. Motorlara ek bir eylemsizlik yükü binmiş gibi, dönüş hızında bir anlık bir yavaşlama, dönüşte az da olsa Bir eskisine göre bir zorlanma göze çarpar. Açık ve kapalı çevrim kontrol sistemlerinin bozucu girişe yanıtını bulunuz. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr Şekil.5.12. Armatür denetimli motor

27. Çözüm: a) Td(s) basamak girişinin w(s) çıkış hızı üzerindeki azaltıcı etkisini (ya da bozucu etkinin neden olduğu hatayı ) görebilmek için diğer aralarındaki transfer fonksiyonunu bulmak gerekir. Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç formülünden; = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

28. basamak bozucu girişine sistemin yanıtı w(s)= R(s)=0 iken eğer hala bir w(s) oluşuyorsa bu bozucu etkidendir. E(s)=0-w(s) E(s)= -w(s) = - Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası; = e( )= = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

29. b) Şekil.5.14. Geri bildirimli motor kontrol sistemi Benzer şekilde geri bildirimli kontrol sistemini R(s)=wR(s)=0 için yeniden düzenleyelim: Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

30. Sistemin transfer fonksiyonu; basamak bozucu girişine sistemin yanıtı; ‘dir. w(s)= Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

31. E(s)= -w(s) = E(s)=0-w(s) Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası )= = e( = Bu haliyle sonuçlara bakıldığında geribildirimin bozucu etkinin yarattığı hatayı azaltıp azaltmadığı anlaşılamayabilir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

32. Zamana göre her iki sistemin basamak yanıtları yandaki gibidir. Küçük olan kapalı çevrim hatasıdır. Açık çevrim ve kapalı çevrim sistemlerin hatalarını oranlar ve parametre değerlerini nicel olarak göz önüne alırsak = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

33. Tasarım Örneği: Manş Tünelinde Kullanılan Tünel Açma Makineleri Tünel açma makinesinin konum açısı kontrol modeli şekilde verilmiştir. Y(s) gerçek ilerleme yönü açısı, R(s) ise istenen açıdır. Karşılaşılan kaya kütleleri gibi yüklerin etkileri D(s) bozucu etkisi ile temsil edilmiştir. Tasarım hedefimiz, denetleyiciye ait uygun bir K kazancı seçmektir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

34. Çözüm: Bu iki girişe sistemin yanıtı Y(s) = T(s) R(s) + Td(s) D(s) ‘dir. T(s)= = = ‘dir. T(s)= Td(s)= = = Td(s)= ‘dir. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

35. Böylece Y(s) = R(s) + D(s) ( D(s) - işaretli bir engelleyici giriş) i) Bozucu D(s) girişinin çıkış üzerindeki etkisini azaltmak için K’yı büyük seçmeliyiz ( R(s)=0 ). ii) D(s)=0 iken, K=100 için T(s)= = Sistemin r(t) birim basamak girişine yanıtı K kazancının büyük olmasından dolayı biraz salınımlı olacaktır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

36. İki yanıtı da Matlab’ta görelim. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

37. Bozucunun makinenin yönü üzerinde yol açtığı hata gerçekten fazlasıyla küçük, ama istenen açıya ulaşırken meydana gelen salınımı biraz azaltmalıyız. K’yı 20 seçersek aşma oldukça azalacak, hata da %10’ların altında (%4) yani 0.04 civarında kalacaktır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

38. Kapalı çevrim kontrol sisteminin ( T(s) ) makinedeki ve kontrolördeki (ileri yol G(s) ) değişimlere duyarlılığını ele alalım. G(s)= = = idi. Buradan = = Bir mekanik sistemdeki salınımlar gibi düşük frekanslar için <1 , duyarlılık K için çıkar. K arttıkça da sistemin duyarlılığı azalır. Bu nedenle K=20 seçmek tüm ölçütler açısından ortak bir uygun değer olacaktır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

39. Kaynaklar: 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 2) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 1995 3)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf 4)ÇAPRAZ,S.,KOÜ. Müh .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

40. Ek5.1. Çözümlü Sorular ÇS5.1. Ardışıl Tasarım Örneği: Disk Sürücüsü Okuma Sistemi (Dorf ve Bishop,2005) Hard disk sürücüsü, her türlü harekette, notbook’a ani şekilde bir şeyin çarpması gibi fiziksel şoklarda veya üzerinde bir parça değişimi yapıldıktan sonra bile hatasını tolore edip okuyucunun konumunu sağlıklı bir şekilde korumak ve okuma yapmak zorundadır. Tasarım sürecinin bu bölümle ilgili kısmı buna göre şekillenecektir. (Km=5, Lf = 1*10-3, J=1, b=20, Ka:10-1000, Rf=1, idi) Şekil.E5.1. Disk sürücüsü okuma sisteminin blok şema gösterimi (Dorf ve Bishop,2005) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

41. Bozucu etki D(s) = 0 iken sistemin R(s)=0.1/s basamak girişine yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu; T(s)= = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

42. Ka’yı şimdilik 80 seçelim. Program Sonuçları: Transfer function: 400 ------------------------------- 0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

43. E(s)= R(s)-Y(s) = R(s) ( 1-T(s) ) = R(s) = R(s) = e( ) = = = = =0. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

44. Giriş, R(s)= 0 iken, D(s) = 0.1/s basamak bozucu girişine sistemin yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu Td(s)= Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

45. Ka=80 için Program sonuçları: Transfer function: 0.001 s + 1 ------------------------------- 0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

46. Çıkış grafiğine bakarsak (skala x10-4’tür) bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatası 3 x10-4 civarında olduğu görülür. e( ) = = = = =2.5 x10-4bulunur. = Daha küçük Ka değerleri için R(s) basamak girişine yanıtta aşma azalacaktır ama ikinci denklemde paydada olduğu için bozucu etkiden kaynaklanan hatanın da artmasına neden olacaktır. Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

47. ÇS.5.2. Şekildeki makine kontrol sisteminde ; a)T(s)=Y(s)/R(s) transfer fonksiyonunu bulun b) duyarlılığını bulun c) Bozucu etkileri ve duyarlılığını aynı anda en aza indirecek en uygun K değerini aralığında seçin Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

48. Çözüm: a) = b) Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

49. , , = , c) i) D(s) bozucu girişine karşı Y(s) yanıtının küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. ii) Yine ’nin küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. Bu nedenle Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr K=50 seçilmelidir . .

50. ÇS.5.3)Elektronik kalp pilleri, kalbin atış hızını düzenleyen cihazlardır. Birim basamak şeklindeki bozucu girişe karşılık yanıtta oluşabilecek kalıcı durum hatası 0.02’den küçük olmalıdır. a) Çıkışın R(s) ve D(s)’e bağlı genel denklemini yazın. ( Y(s)=T11 R(s) + T12 D(s) ) b) K için uygun bir değer veya değer aralığı bulun. c) Şayet K’nın ortalama değeri K=10 olsaydı, sistemin K parametresinde oluşabilecek küçük değişimlere duyarlılığı ne olacaktı? Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr