Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales - Estabilidad de Sistemas de EDO

1. Tema V Sistemas no Lineales de Ecuaciones Diferenciales - Estabilidad de Sistemas de EDO Ecuaciones Diferenciales

2. Problemática ProblemaDifícil o aún imposible resolver una E.D. en especial si es “no lineal” Que hacer? Encontrar información cualitativa acerca de las soluciones Ecuaciones Diferenciales

3. (1) Puntos Críticos y Retrato de Fase Fluido circulando a lo largo de la línea real, con velocidad local: EDO Autónoma Retrato de Fase Trayectorias Ecuaciones Diferenciales

4. Fluido Circulando a lo largo de la línea real, con velocidad local: Puntos Críticos Si luego es solución de la EDO original (1) Un punto crítico es estable si para pequeñas perturbaciones alrededor de él la solución permanece cerca del punto para todo Puntos Críticos y Estabilidad Los valores de x que anulan la EDO se denominan Puntos Críticos Puntos Críticos representan Equilibrio A esta solución se la denomina Solución de Equilibrio Ecuaciones Diferenciales

5. (2) Tomemos: y Ejemplo Consideremos una ecuación diferencial para un modelo poblacional: Con  y  constantes reales Ecuaciones Diferenciales

6. La Solución de la E.D. (2) Ejemplo Un punto crítico de una ecuación diferencial autónoma se dice estable si partiendo de un punto x0 cercano a x*, la solución x(t) permanece cercana x*, para todo t> 0. Ecuaciones Diferenciales

7. Estudiaremos el sistema: (3) Estabilidad en un Sistema EDO F(x,y) y G(x,y) son clase C1 en alguna región R del plano xy. Esta Región se denomina Plano de Fase Además, como la variable t no aparece explícitamente en las funciones F(x,y) y G(x,y), el sistema se dice que es autónomo. Del teorema de existencia y unicidad se sigue que si t0 es cualquier número y (x0 , y0) es cualquier punto del plano de las fases, existe una única solución del sistema de EDO (3): Ecuaciones Diferenciales

8. Las funciones: e son las trayectorias. Describen una curva solución. es un punto crítico si: , satisfacen (3) Solución de Equilibrio Punto Crítico: Una solución tal de valor constante se denomina: Solución de Equilibrio En lo que sigue supondremos que todo punto crítico es aislado, en el sentido que existe un entorno centrado en (x0,y0) que no contiene ningún otro punto crítico. Ecuaciones Diferenciales

9. Trayectorias y Plano de Fase • Si (x0,y0) no es un punto crítico: • Trayectoria: curva en el plano xy • (x(t) , y(t))se moverá por esa curva a medida que t aumente • Trayectorias: curvas no degeneradas, no se intersectan a si mismas • Plano de fase: muestra cualitativamente el comportamiento de las soluciones • El comportamiento cerca de los puntos críticos es de especial interés Ecuaciones Diferenciales

10. Consideremos el sistema autónomo: con k constante Si Ejemplo Punto crítico: (0,0) Ecuaciones Diferenciales

11. Nodos Nodo propio Nodo impropio Ecuaciones Diferenciales

12. x=x(t), y=y(t) permanece cerca de (x*,y*) Estabilidad Si (x0,y0) está suficientemente cercano a (x*,y*) Entonces (x*,y*) es un punto crítico estable Ecuaciones Diferenciales

13. Si introducimos: Trayectorias: Centros Estables Consideremos una masa que oscila sin amortiguamiento: Punto crítico: (0,0) centro estable Ecuaciones Diferenciales

14. Si además de ser estable cada trayectoria que comienza suficientemente cercana a (x*,y*) , se aproxima a él cuando , el punto crítico se llama asintóticamente estable Estabilidad Asintótica Hacer Ej. 1 y 2 Ecuaciones Diferenciales

15. (2) Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Sistema EDO lineal de 1° orden Det. de la matriz de coeficientes, A (1) (0,0) es el único punto crítico solución no trivial del sistema  son los valores propios de la matriz de coeficientes A de (1), los que se calculan a partir de: det (A - I ) = 0 Ecuaciones Diferenciales

16. complejos conjugados (parte real distinta de cero) y y y y y • Si: • Si: • Si: • Si: Sean las raíces de (2) . Distinguiremos 5 casos: reales y distintos imaginarias puras reales e iguales Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Casos Principales Casos Frontera Ecuaciones Diferenciales

17. Solución de (1) y reales y distintos (igual signo) • Si , entonces Cuando t→, la solución tiende al origen con la dirección del vector propio • Si , entonces Cuando t→, la solución tiende al origen con la dirección del vector propio • Si , entonces (3) • 1 < 2 < 0 Ecuaciones Diferenciales

18. y reales y distintos (igual signo) Sacando factor común de la ecuación anterior, obtenemos Considerando que 1 - 2 < 0 cuandot→  : y la solución tiende al origen con esta dirección. Ahora sacando factor común de la ec. (3), obtenemos Considerando que 2 - 1 > 0, entonces cuandot→ - : y la solución tiende al infinito con esta dirección. Ecuaciones Diferenciales

19. Esto es, las curvas convergen al punto crítico (0,0) con una dirección paralela a una de las asíntotas, , cuandot→  y se hace paralela a la otra cuando t→ -. Como las soluciones se acercan al punto crítico, cuando t→  , decimos entonces que el punto crítico es un nodo impropio asintóticamente estable (Figura 1). y reales y distintos (igual signo) Figura 1 Nodo impropio b) 0 < 1 < 2 El tratamiento matemático es similar al anterior pero el punto crítico es inestable, es decir, las trayectorias se alejan del punto crítico cuando t→  . Ecuaciones Diferenciales

20. y reales y distintas (distinto signo) Considerando1 < 0y 2 > 0 Valen las mismas deducciones que para el caso anterior. El punto crítico (0,0) es inestable, cuando t→ , las soluciones se alejan del punto crítico. (Figura 2) Un punto crítico con estas características se denomi-na punto silla y es siempre inestable. Ecuaciones Diferenciales

21. y complejos conjugados y complejos conjugados c1  Si A2 = B1 = 0, La solución es: c2 En este caso los valores propios son 1,2 =   i, con   0. La expresión de la solución ya fue tratada en el capítulo anterior. Tomando 1=  +i  Ecuaciones Diferenciales

22. Reemplazando: y complejos conjugados La cual puede reescribirse como: r  x y t Las ecuaciones corresponden a trayectorias que giran en forma de espirales (por ser   0). Queda por determinar el sentido de giro de estas trayectorias y la estabilidad del punto crítico. Para determinar el sentido de giro debemos hacer cambio de coordenadas: Ecuaciones Diferenciales

23. y complejos conjugados Luego de un desarrollo que pueden ver en el apunte, llegamos a la siguiente conclusión: Ecuaciones Diferenciales

24. y y reales e iguales reales e iguales Figura 4: nodo propio es un valor propio múltiple completo. Luego despejando Las trayectorias son semirrectas Si  < 0 es asintóticamente estable. Si  > 0 es inestable (Fig. 4). Ecuaciones Diferenciales

25. y reales e iguales (*) Si c2 = 0: , las trayectorias son semirrectas. Cuando t→, de (*), (x,y) → (0,0) con pendiente = a es un valor propio múltiple defectuoso. Ya vimos que la expresión de la solución es: Supongamos  < 0. Si c2 0 Las soluciones son curvas y como  < 0, las trayectorias tienden a (0,0) cuando t→. Esto es: Ecuaciones Diferenciales

26. y reales e iguales Entonces, la trayectoria tiende al origen en la dirección . Figura 5. Nodo impropio y cuando t→, (lo mismo para el denominador) Cuando t→-, haciendo el mismo análisis, la trayectoria (y la solución) tiende a infinito en la dirección . Ecuaciones Diferenciales

27. y imaginarios puros y imaginarios puros Se cumple , entonces las trayectorias son elipses (figura 6). Figura 6. Centro En este caso los valores propios son 1,2 =   i, con  = 0. Siguiendo el procedimiento visto para valores propios complejos conjugados, pero teniendo en cuenta que  = 0, se llega a: A los fines de analizar el sentido, vale lo visto para el caso C, con  = 0. Ecuaciones Diferenciales

28. Sistema EDOL Autónomo: q=detA Inestable Asintóticamente Estable p2-4q=0 Estable Nodos límite (Propios) Espirales Espirales Centros Nodos Impropios Nodos Impropios p=-trA Inestable Puntos Silla Estabilidad y trayectorias para puntos críticos de sistemas de EDO de primer orden lineales Resolver Ej. 3 Ecuaciones Diferenciales

29. Taylor Puntos Críticos Simples de Sistemas no Lineales (0,0) punto crítico Si x e y son pequeños, es decir cuando (x,y) está muy cerca del origen f(x,y) y g(x,y) son perturbaciones Cerca de (0,0) el comportamiento del sistema lineal será similar al no lineal f(x,y) y g(x,y)son continuas y tienen derivadas continuas Punto Crítico Simple Ecuaciones Diferenciales

30. Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist. no lineal (cuasi lineal) y consideramos el sist. lineal asociado, se presentan los siguientes casos: Casos Principales Casos Frontera Ecuaciones Diferenciales

31. Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Si bien el punto crítico es de la misma especie, las trayectorias pueden ser diferentes. Punto Silla Sistema No Lineal Si (0,0) es un punto crítico simple de un sist. lineal asociado, asintóticamente estable, entonces el punto crítico del sistema no lineal (cuasi lineal) es también asintóticamente estable. Lo mismo vale para la inestabilidad. Resolver Ej. 4 Ecuaciones Diferenciales

32. Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales Que hacer cuando un punto crítico es distinto del (0,0) ? . Ecuaciones Diferenciales

33. Péndulo Simple Ecuaciones Diferenciales

34. Ecuaciones para el Péndulo Ecuaciones Diferenciales

35. Transformación a un sistema EDO Ecuaciones Diferenciales

36. SISTEMA AUTÓNOMO SOLUCIÓN PUNTOS DE EQUILIBRIO O PUNTOS CRÍTICOS Puntos Críticos Ecuaciones Diferenciales

37. Puntos Críticos Ecuaciones Diferenciales

38. Péndulo sin amortiguamiento Péndulo sin amortiguamiento - Trayectorias Ecuaciones Diferenciales

39. Péndulo sin amortiguamiento Péndulo sin amortiguamiento - soluciones Ecuaciones Diferenciales

40. Péndulo con amortiguamiento – Trayectorias Péndulo con amortiguamiento Ecuaciones Diferenciales

41. Péndulo con amortiguamiento – Soluciones Péndulo sin amortiguamiento Ecuaciones Diferenciales