MÉTODOS NUMÉRICOS Sistemas de ecuaciones no lineales

1. MÉTODOS NUMÉRICOSSistemas de ecuaciones no lineales Newton-Raphson Vladimir Quelca Quispe 2013

2. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES • Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. • Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). • Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1) • El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones • El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.

3. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES y v(x1, y) u(x, y) u(x1, y) v(x, y1) y1 u(x, y1) v(x, y) x1 x

4. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES • Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales. • Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz. • Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:

5. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES v= (x-2)^2+(y-0,5)^2 -1=0 u = x^2-y-1=0 Raíces x = 1,54634 y = 1,39118 Elegimos coordenadas de un punto ¶u/¶x = 2x = 4 ¶u/¶y = -1 = -1 ¶v/¶y = 2(y-0,5) = 3 ¶v/¶x = 2(x-2) = 0

6. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES • Y cuya solución es: • Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

7. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES x = 2 y = 2

8. Grafica de las funciones MÉTODODE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

9. Bibliografía:-http://wolframalpha0.blogspot.com/2012/02/resuelve-ecuaciones-online-con.html-Análisis numérico Chapra-http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/contenidos/TEMA_8/Apuntes/EcsNoLin.pdf GRACIAS POR SU ATENCION