"MODELLI OTTENIBILI ATTRAVERSO LA FUNZIONE LOGARITMO "

1. "MODELLI OTTENIBILI ATTRAVERSO LA FUNZIONE LOGARITMO " Presentazione preparata dalla classe IV I Liceo socio-psico-pedagogico “S. Pertini” Genova

2. INDICE DELLA PRESENTAZIONE • La funzione esponenziale • Applicazioni del modello esponenziale • I logaritmi • La funzione logaritmica • Applicazioni del modello logaritmico e la scala logaritmica

3. La funzione esponenziale

4. La funzione esponenziale • La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica. • Fissato un numero reale a>0 e a≠1 si chiama funzione esponenziale di base a la funzione di equazione y=ax, il cui dominio è R e il codominio è R+ - {0} . • Se a=1 ,poiché 1x =1, la funzione esponenziale degenera nella retta parallela all’asse x di equazione y=1. • Per x=0 si ha y=1 ( a≠0) quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0,1) • Se a≠1 si distinguono due casi: a>1 e 0<a<1

5. Il grafico della funzione y=ax 0<a<1 a>1

6. CASO a>1 y=2x • Dominio R, codominio R+- • Interseca l’asse y in (0,1) • La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante. • La funzione è monotona crescente • La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica. • l’asse x negativo è l’asintoto della funzione

7. La funzione y=ax con a>1 al variare di a y=2x y=3x y=4x All’aumentare di a la funzione cresce più rapidamente

8. CASO 0<a<1 • Dominio R, codominio R+- • Interseca l’asse y in (0,1) • La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante. • La funzione è monotona decrescente • La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica. • l’asse x positivo è l’asintoto della funzione

9. La funzione y=ax con 0<a<1 al variare di a All’aumentare di a la funzione decresce più rapidamente

10. CONFRONTO DEI GRAFICI y=ax e y= (1/a)x con a>1 y= 2x y=(1/2)x Il grafico della funzione y=ax con a>1 è simmetrico rispetto a quello della funzione y=(1/a)x rispetto all’asse y

11. Assorbimento Radioattivo in fisica medica Tensione del vapore saturo Modelli e Applicazioni della funzione esponenziale Decadimento radioattivo Modello di Malthus Carica e scarica di un condensatore

12. I logaritmi e la funzione logaritmica

13. I logaritmi • Come nascono i logaritmi • Definizione di logaritmo • Proprietà dei logaritmi • Cambiamento di base • La funzione logaritmica • Scala logaritmica • Applicazioni del modello logaritmico e della scala logaritmica

14. Come nascono i logaritmi Michael Stilef ha individuato: LA PROGRESSIONE GEOMETRICA r0 ,r1 ,r2, r3,,rL, Che è in corrispondenza biunivoca con LA PROGRESSIONE ARITMETICA 0, 1, 2, 3, 4, .L,

15. Gli elementi della seconda riga • sono gli esponenti che si devono attribuire ad una stessa base per ottenere l’elemento corrispondente della prima riga. • Il prodotto di due termini della progressione geometrica fornisce un termine il cui esponente è la somma dei corrispondenti termini della progressione aritmetica. • La divisione di due termini della progressione geometrica fornisce un termine il cui esponente è la differenza  dei corrispondenti termini della progressione 0, 1, 2, 3, 4, .L,( progressione aritmetica) r0 , r1 , r2, r3,, rL, ( progressione geometrica)

16. L’invenzione dei logaritmi • John Napier: “ Mirifici logarithomorum canonis desriptio” ( Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi)(1614) seguita nel 1619 dal libro “Mirifici logarithomorum canonis constructio” in cui si desrivono i metodi da lui usati nella costruzione delle sue tavole. • Henry Briggs: “ Logarithmorum chilia prima”(1617)logaritmi dei numeri da 1 a 1000

17. DEFINIZIONE DI LOGARITMO Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione dell ‘equazione esponenziale elementare nel caso determinato cioè l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b . ax =b a= base dell’esponenziale e del logaritmo x= logab

18. Proprietà dei logaritmi • loga(b*c)=logab+logac • loga (b/c)=logab-logac • logaan=n*logaa • loga • loga(1/n)=-logan

19. Cambiamento di base logab= logcb/logca logab= 1/logba

20. Le basi più comuni • Base 10 • Base e • Base 2

21. La funzione logaritmica Si chiama funzionelogaritmica ogni funzione del tipo: y=logax , con a>0 ,a≠1 e x • La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale • Poiché il dominio della funzione è D: XєR+-{0}, il grafico sarà tutto a destra dell’asse y. • Poiché per X=1 si ha Y=0 il grafico della funzione interseca • l’asse x nel punto (1,0)

22. Il grafico della funzione y=logax a>1 0<a<1

23. CASO a>1 • Il dominio è R , il codominio è R+ • La funzione è monotona crescente: • x1<x2 logax1<logax2 • Per x>1, la y assume valori positivi e cresce al crescere della X • Per 0<X<1, la Y assume valori negativi grandi in valore assoluto • y=0 è l’asintoto della curva • La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale

24. La funzione y=logax a>1 al variare di a all’aumentare della base a la funzione cresce più lentamente

25. CASO 0<a<1 • Dominio R+ ,codominio R • La funzione è monotona decrescente • x1<x2↔logax1>logax2 • per x >1, la y assume valori negativi e decresce al crescere della x • per 0< X<1, la y assume valori positivi e crescenti • y=0 è l’asintoto della funzione • La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale

26. La funzione y=logax 0<a<1 al variare di a all’aumentare della base a la funzione decresce più rapidamente

27. CONFRONTO DEI GRAFICI y= logax e con a>0 e a≠1 si può osservare che i grafici risultano simmetrici rispetto all’asse x positivo

28. Applicazioni del modello logaritmico e scala logaritmica

29. Tipi di scala • Scala lineare:è quella maggiormente utilizzata. La parola lineare indica il fatto che ciascun intervallo di graduazione è costante. • Scala logaritmica:la scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante ma ha un andamento logaritmico.

30. Confronto tra scala lineare e logaritmica:

31. Costruzione della scala logaritmica • Si segna 1 nell’estremo sinistro di un segmento • Si segna 100 nell’estremo destro del segmento • Si prende il punto medio tra 1 e 100 e lo si chiama 10 • Si prende il punto medio tra 1 e 10 e lo si chiama √10=3,162 100 1 √100=10

32. Si prende il punto medio tra 10 e 100 e lo si chiama 10√10=31,62 • Si procede prendendo il punto medio tra 1 e √10 e così via 1 √10=3,162 √100=10 100 La costruzione fatta corrisponde all’applicazione delle proprietà dei logaritmi: log(ab)=loga+logb

33. I LOGARITMI FACILITANO I CALCOLI I logaritmi furono utilizzati originariamente per la semplificazione dei calcoli e trovano ancora impiego e applicazione in diverse discipline come la biologia, l’ astronomia, le scienze della terra e le operazioni finanziarie

34. APPLICAZIONI DEI LOGARITMI E DELLA SCALA LOGARITMICA

35. FINE PRESENTAZIONE

36. FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE Una funzione è monotòna crescente in un intervallo (a,b) se:

37. FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE Una funzione è monotòna decrescente in un intervallo (a,b) se:

38. La funzione • Dati due insiemi A e B, si dice funzione da A in B ogni relazione che ad ogni elemento si A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B. B A a x b y c

39. BIGETTIVE

40. Funzione iniettiva • Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine in A;cioè se due elementi diversi appartenenti ad A hanno immagini diverse in B. A B a x b y .z

41. Nella rappresentazione cartesiana di una funzione reale di variabile reale iniettiva,ogni retta parallela all’asse x interseca il grafico della funzione al massimo in punto. y f(a) f(a)=f(b)=f(c) a a b O c x Funzione non iniettiva Funzione iniettiva

42. La funzione suriettiva • Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A. B A a x b c y

43. Nella rappresentazione cartesiana di una funzione suriettiva ogni retta parallela all’asse x deve intersecare il grafico in almeno un punto. y y O x O x Funzione non suriettiva Funzione suriettiva

44. La funzione bigettiva • Una funzione f:A->B si dice bigettiva o biunivoca se è iniettiva e suriettiva. A B a x y b z c

45. La funzione invertibile • Se una funzione f:A B risulta essere bigettiva,allora è invertibile e avrà come funzione inversa inversa f -1:B A • Nel piano cartesiano f e f -1 hanno rappresentazioni grafiche coincidenti ma se si scambia la x con la y in f -1 i grafici di y=f(x) e y=f -1(x) risultano simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante

46. GRAFICO DI UNA FUNZIONE E DELLA SUA INVERSA y=x y=x y=f(x) y=f -1(x) y=f(x)

47. EQUAZIONE ESPONENZIALE L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo : Essa può essere impossibile, indeterminata o determinata : • impossibilese : • determinata se • Indeterminata se

48. Determinare la soluzione dell’equazione elementare significa trovare le intersezioni tra la funzione y=ax e y=b Se consideriamo per esempio a>1 y=b>0 y=b<0 • Se b>0 si ha un’intersezione e quindi una soluzione reale • Se b=0 oppure b<0 non si hanno intersezioni e quindi nessuna • soluzione reale

49. Applicazione nel suono L’apparato uditivo umano è sensibile alla variazione di pressione atmosferica e la traduce in variazione di segnali elettro-chimici. Questo legame è logaritmico e si misura con la scala del decibel. Il decibel è un’unità di misura di tipo logaritmico che esprime il rapporto fra due livelli di cui uno, quello al denominatore, è preso come riferimento dBX = 10•log(X/X0) dove X0 è il valore di riferimento fissato.

50. I LOGARITMI E LA FINANZA In finanza l’ ultimo ritrovato per scovare gli evasori è collegato con i logaritmi ed è opera del matematico Mark Nigrini(1992). Egli utilizzò la legge scoperta dal matematico SIMON NEWCOMB(1881)e poi formalizzata dal fisico Benford(1938). Probabilità (che la prima cifra del numero sia d)= d indica una delle cifre da 1 a 9 .