Nona Lezione

1. Nona Lezione Il punto sui campi elettrici e magnetici statici

2. Riassunto della lezione precedente • Forza di Lorentz in alcuni casi notevoli • Forze su fili attraversati da correnti immersi in un campo magnetico • Campo magnetico prodotto da una corrente filiforme: Formula di Laplace • Caso particolare di corrente su filo lungo rettilineo: legge di Biot-Savart • Flusso di B • Circuitazione di B: legge di Ampère • Legge di Ampère in forma differenziale: il rotore

3. Due anni fa (parli del diavolo…) ECCEZIONALE TEMPESTA ELETTROMAGNETCA Rischio blackout Boulder (Colorado). La Noaa, il centro di Boulder nel Colorado che monitora i parametri geofisici della Terra, lancia l'allarme dopo aver registrato, domenica, una tempesta geomagnetica del massimo grado previsto, che potrebbe provocare seri ...

4. NOAA ISSUES SPACE WEATHER WARNING May 15, 2005 — Forecasters at the NOAA Space Environment Center in Boulder, Colo., observed a geomagnetic storm on Sunday, May 15, which they classified as an extreme event, measuring G-5—the highest level—on the NOAA Space Weather Scales. (Click image for larger view of the sun from the SOHO spacecraft of the intense solar activity taken May 15, 2005, at 7:50 a.m. EDT. Click here to view high resolution version, which is a large file. Click here to view latest images. Please credit “SOHO.”) "This event registered a 9 on the K-Index, which measures the maximum deviation of the Earth's magnetic field in a given three-hour period," said Gayle Nelson, lead operations specialist at NOAA Space Environment Center. "The scale ranges from 0 to 9, with 9 being the highest. This was a significant event." Possible impacts from such a geomagnetic storm include widespread power system voltage control problems; some grid systems may experience complete collapse or blackouts. Transformers may experience damage. Spacecraft operations may experience extensive surface charging; problems with orientation; uplink/downlink and tracking satellites. Satellite navigation may be degraded for days, and low-frequency radio navigation can be out for hours. Reports received by the NOAA Space Environment Center indicate that such impacts have been observed in the United States. NOAA forecasters said the probability of another major event of this type is unlikely, however, other minor level (G-1) geomagnetic storms are possible within the next 24 hours.

6. Teorema di Stokes Calcoliamo il flusso del rotore di B su una superficie ortogonale a J e usiamo il th di Ampère in forma differenziale Ma per il th di Ampère in forma integrale Quindi

7. Riassumendo: campi STATICI

8. Alcune proprietà degli operatori • Rende conto del fatto che un campo a circuitazione nulla può essere espresso come gradiente di un potenziale scalare • Vale l’identità • Come sappiamo, il campo elettrostatico soddisfa tale requisito; il campo magnetico (in generale) no • Vale l’identità • Il campo magnetico è solenoidale, quindi può essere espresso come rotore di un vettore, che si definisce potenziale vettore

9. Teorema di Helmholtz • Un campo vettoriale è definito se ne assegnano divergenza e rotore • La conseguenza è che un qualunque campo vettoriale L può essere scritto come

10. Qualche considerazione sull’energia • La densità di energia per un campo elettrico è, in generale • Ovvero per mezzi lineari isotropi, quando D=eE

11. Qualche considerazione sull’energia • Dimostriamolo: se portiamo una carica q2 in prossimità di una carica q1 l’energia potenziale è • se portiamo una carica q3 in prossimità delle prime due spendiamo • L’energia spesa in totale è la somma, che possiamo scrivere • Il fattore 1/2 è dovuto al fatto che ogni coppia appare 2 volte • In termini di potenziale • Considerando una distribuzione continua di carica, in cui dq=rdV

12. Qualche considerazione sull’energia • Ma per il teorema di Gauss • Utilizzando un’identità vettoriale che abbiamo già usato • Sul primo termine a destra possiamo applicare il teorema della divergenza trasformandolo • Se la superficie è una sfera di raggio che tende all’infinito tale termine tende a zero. Infatti D decresce per una carica come r2 e il potenziale f come r; per distribuzioni più complicate (es. dipolo) possono decrescere solo più rapidamente; la superficie della sfera cresce invece some r2 : l’integrando va a zero. Rimane quindi • CVD

13. Qualche considerazione sull’energia • Per il campo di induzione magnetica si potrebbe fare lo stesso (con elementi di corrente al posto delle cariche) ma la dimostrazione è molto più complicata • Il risultato generale (che verificheremo in qualche caso particolare) è che la densità di energia è • Così che l’energia è • Per mezzi lineari isotropi per cui è B=mH sarà

14. Ma cos’è H? • Il campo H, intensità di campo magnetico, era stato definito nel vuoto come • L’atomo, attraverso diversi contributi (spin elettronico, orbita elettronica e spin dei nuceloni) ha un momento di dipolo magnetico • L’orientamento casuale dei dipoli, in gran parte della materia ordinaria, fa si che l’effetto netto complessivo sia nullo; questo non accade nei materiali magnetici • Un campo magnetico esterno produce un momento torcente, ed in alcuni materiali i dipoli si orientano producendo un campo magnetico proprio che si sovrappone al campo magnetico esterno • Definiamo M Polarizzazione Magnetica

15. Ma cos’è H? • Nei materiali lineari M è proporzionale ad H: si definisce il fattore di proporzionalità suscettività magnetica • Per cui in generale • mr si definisce permeabilità magnetica relativa; è un numero adimensionale e nella maggioranza dei materiali vale circa 1

16. Qualche esercizio: 1 Un filo rettilineo, indefinito, percorso da una corrente di intensità di 5 A è immerso in un mezzo omogeneo, isotropo ed indefinito di permeabilità relativa mr=1.05. Si calcoli l’intensità H del campo magnetico, l’induzione magnetica e la densità di energia in un punto distante 6 cm dal filo Legge di Biot-Savart: Densità di Energia:

17. x R Esercizio Trovare H al centro di una spira di corrente quadrata di lato L in aria Simmetria: ogni mezzo lato fornisce stesso H Per il mezzo lato 0£x£L/2 formula di Laplace: y

18. Esercizio Due fili rettilinei, paralleli e percorsi da corrente, si attirano nel vuoto con una forza per unità di lunghezza Fo/l=4 10-3 N/m. Con quale forza per unità di lunghezza si attirerebbero se si trovassero in un mezzo di permeabilità relativamr=0.9? Sappiamo che la forza è legata a B, e che B, rispetto a Bo nel vuoto, è tale che B=mr Bo. Per cui la forza rispetto a quella nel vuoto sarà

19. Esercizio Nella regione 0<r<0.5 m, in coordinate cilindriche, la densità di corrente è e in qualsiasi altro punto è nulla. Trovare H con la legge di Ampère. Scegliamo un percorso circolare per applicare il th di Ampère. Se il percorso ha raggio ro la corrente sarà data dal flusso attraverso la superficie del cerchio di raggio ro: Dove ricordate cherdrdf è l’elemento di area in coord. cilindriche La corrente ha simmetria cilindrica (non dipende da f) e ci aspettiamo che H (come pure B) conservi tale simmetria

20. Esercizio (Continuo) Ora, legge di Ampère sul percorso circolare di raggio ro : Che è la soluzione per r<0.5m Per r da 0.5m in poi la corrente racchiusa rimane la stessa, e la si trova sostituendo tale valore ad ro: I=1.868A

21. z h R I dl Esercizio Trovare H sull’ asse di una spira di corrente circolare di raggio a Questo per il punto evidenziato. Simmetria: elementi di corrente diametralmente opposti generano componenti r che si elidono: H sull’asse è solo lungo z

22. Sia assegnato il campo vettoriale Trovare il rotore di A nell’origine Esercizio E nell’origine:

23. z y x y uf x Esercizio Calcolare in coordinate cartesiane il rotore dell’intensità H dovuta ad un filamento di corrente disposto lungo l’asse z, con la corrente nella direzione di z Per la legge di Biot-Savart Ma vale la trasformazione di coordinate Cilindriche->Cartesiane:

24. Esercizio (Continuo) Calcoliamo quindi il rotore come fatto nell’es. precedente: Questo non è vero nell’origine (x=0,y=0), dove sappiamo per la legge di Ampère:

25. z q1 z y q2 q1 q1i y q2i q2 Esercizio • Si calcoli l’espressione del potenziale generato da due cariche puntiformi q1 e q2. q1=10mC ed è posta in (0,0.05,0.02) m, mentre q2=- 20mC ed è posta in (0,0.05,-0.02) m. Nel piano y=0 c’è un piano perfettamente conduttore. • Applichiamo il principio delle immagini, rimpiazzando il conduttore con due cariche immagine q1i e q1i • Ricaviamo il potenziale

26. Esercizio (continuo) • dove • Per cui • Ecc. • Volendo calcolarsi E basterebbe valutare

27. Esercizio L’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaff ha un diametro d=2m e viene caricato con una corrente di intensità 10 mA. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quanto tempo occorre perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?

28. Esercizio Sia dato il campo Determinare il rotore di H. Il campo può esprimersi come gradiente di un campo scalare? Non può essere il gradiente di un campo scalare, visto che in tal caso il rotore sarebbe nullo

29. Esercizio • Sia dato il campo • Trovare la densità di carica in coordinate sferiche • In coordinate sferiche l’operatore divergenza assume la forma • Per cui