Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Réunion CCS-Palais de la Découverte

1. Horloge hélio-caustique de temps moyen Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Réunion CCS-Palais de la Découverte

3. Sommaire Qu‘est ce qu‘une caustique? Aperçu historique Les catacaustiques Les diacaustiques Etude d‘une horloge hélio-caustique de temps moyen à cadran plat

4. Qu‘est ce qu‘une caustique? Le terme caustique désigne d’une façon générale l’enveloppe des rayons lumineux issus d'un point à distance finie (caustique "au flambeau") ou infinie (caustique "au soleil ") après modification par un instrument optique. On distingue: Catacaustique: Caustique formée par la réflexion des rayons lumineux par un miroir courbe. Diacaustique:Caustique formée par la réfraction des rayons lumineux par un dioptre.

5. Aperçu historique • En 213 av JC les romainsassiègent Syracuse • Archimède auraitréussi à enflammer les navires des romains à l‘aide de grandsmiroirs en bronzepolie. • Cetteillustration du livre de Kircher met en scènecettelégende. • Premièreremarque: vu la position du Soleil par rapport au navireilsembleraitplutots‘agird‘uneboule de verre. • Deuxièmeremarque: Plus intéressantssont les illustrationsmontrant la parabole, l‘ellipse et le demi-cercle. Siège de Syracuse et les miroirs ardents d’Archimède Ars Magna Lucis et Umbrae (Kircher)

6. Renaissance Léonard De Vinci (1452-1519), Codex Arundel Esquisse de la caustique du cercle Il s‘agit du premiertracé de caustiqueconnu.

7. Premières études En 1690, dans son livre Traité de la lumière, Christian HUYGENS (1629-1695) donne une représentation géométrique de la caustique d’un cercle. La caustique d‘un cercle est une néphroïde c’est-à-dire une  épicycloïde à deux rebroussements (cercle de rayon a/2 roulant à l'extérieur d'un cercle de rayon a).

8. Premières études Ehrenfried-Walter TSCHIRNHAUSEN (1651-1708) créa le mot caustique à partir du mot grec kaustikos provenant de katein = brûler. Jacques et Jean Bernoulli s‘emparèrent du sujet et le traitèrent d‘une manière beaucoup plus générale. Ils n‘ont considéré les caustiques que sous leur aspect mathématique, c‘est à dire, que comme des courbes dont il était intéressant de rechercher les propriétés. On trouve dans l'Analyse des infiniment petits du Marquis de l'Hôpital (1661-1704), une méthode pour déterminer les caustiques de réflexion et de réfraction d'une courbe quelconque.

9. Mise en équation Jean de Thomas de St Laurent (1762-1835), Arthur Cayley ( 1821 - 1895) puis Henri Bouasse (1866- 1953) parviennent à mettre quelques courbes caustiques en équation. Par exemple l‘équation de la catacaustique d‘un miroir cylindrique est:

10. Généralisation La théorie des catastrophes fondée par le mathématicien René Thom (1923-2002) permet une nouvelle interprétation mathématique du phénomène optique de focalisation. Les caustiques peuvent être classées suivant leur topologie. De nombreuses recherches sont en cours pour mettre au point des outils mathématiques pour simuler les surfaces caustiques.

11. Un sujet toujours brûlant • L‘hotelVdara à Las Vegas estunimmeuble de 170m qui a ouvertsesportes en 2009. • Dèsseptembre 2010 des clients, assisdevant la piscineontétésévèrementbrulés par unsoi-disantrayon de la mort, qui a égalementfaitfondre des objets en plastique. • Uneétude a étépubliée en aout 2012 par 2 chercheursallemands. Ils ontdémontréquec‘est la forme en arc de cercle des immeubles et les vitrestrèsréfléchissantesquiproduisaientunecaustiquedont le point de rebroussementbalayait les bords de la piscine. • L‘étudemontreque des températures de 200 à 250°C pouvaientêtreatteinteslocalement en quelquessecondes. • D‘importanttravauxsontenvisagéspouréliminer la caustique. • C‘est à ce jour la plus grandecaustique au monde. Etude des caustiques des tours de l‘hôtel Vdara à Las Vegas Caustic effects due to sunlight reflections from skyscrapers: simulations and experiments M Vollmer and K-P Möllmann

12. Conclusion Les caustiques, phénomènes optiques, ont été un sujet d‘étude pour de nombreux mathématiciens. Certaines caustiques ont même été mises en équation.

13. Les catacaustiques

14. Catacaustiqued‘unmiroircylindrique Az=0° Az=-45° Az=45°

15. Influence de l‘angle d‘incidence Source: Playing with caustic phenomena Christian Ucke/Christoph Engelhardt

16. Influence de la hauteur du miroir Source: Kaustik in der Kaffeetasse Christian Ucke und Christoph Engelhardt

17. Catacaustiqued‘unmiroirparabolique Az=-10° Az=0° Az=10° • La paraboleesttrèsconnuepoursespropriétésoptiques. Elle concentre en sonfoyer les rayonsparallèles à sonaxe. • Si les rayons ne sontpasparallèles à l‘axeil se forme unecaustiques en forme de courbe de Tchirnhausen. • Cettecaustiquesuit le mouvement du Soleil, maisuniquementl‘azimut et non la hauteur.

18. Catacaustiqued‘unmiroir en forme de deltoide Az=0° Az=-45° Az=90° • La deltoideestunecourbe de la famille des cycloides. • Cettecoube a la particularité de produireunecaustique en forme d‘astéroidedont les points de rebroussementssuivent le mouvement du Soleil. • Jean François Echard a déposéunbrevet en 2005 pource type de cadransolaire. • Malheureusement la forme de la caustiquen‘estpas sensible auxvariations de la hauteur du Soleil.

19. Conclusion Les catacaustiquesétudiées ne permettentpas de réaliserunehorlogehélio-caustique de tempsmoyencarelles ne prennentpasassez en compte la hauteur du Soleil

20. Les diacaustiques

21. Diacaustiqued‘uncylindre en verre Az=-10° Az=0° Az=30° Az=0°

22. Diacaustiqued‘uncylindre en verre Walter Gordon Benoy Voici des cadranssolairesdontl‘indication des heuresestréaliséeavecunecaustiqueproduite par uncylindre en verre. Erich Pollähne  http://de.wikipedia.org/wiki/Erich_Poll%C3%A4hne

23. Diacaustique d‘un cylindre Cadran d’Erich Pollähne à Wennigsen  http://de.wikipedia.org/wiki/Erich_Poll%C3%A4hne

24. Diacaustique d‘une boule en verre

25. Diacaustique d‘une boule en verre Horologium heliocausticum Athanasius Kircher 1646 Ars Magna Lucis et Umbrae Anthanasius Kircher a décritdanssonlivreunehorlogehéliocaustiquedont la chaleurpermet de mettre le feu à de la poudre à chaque heure. On notera la petitesse de la boule par rapport à sacaustique. Cequimedérangec‘estquel‘onattributl‘inventionmotcaustique à Tschirnhausenalorsque Kircher utilisedéjàcemot.

26. Diacaustique d‘une boule en verre Johannes Zahn 1641-1707 Oculus artificialis teledioptricus Quelquesannées plus tard Johannes Zahn reprendl‘idée de Kircher et rajouteunexempled‘horlogehéliocaustique.

27. Diacaustique d‘une boule en verre Héliographe de Campbell-Stokes Vers 1850

28. Diacaustique d‘une boule en verre Cadran solaire pour aveugle de Claude Guicheteau d’après Jacques Ozanam http://www.cadrans-solaires.fr/cadran-solaire-pour-aveugles.html

29. Diacaustique d‘une boule en verre Kitt Peak National Observatory Réalisé par Stephen Jacobs Installé en 2005

30. Diacaustique d‘une boule en verre Iwan Kahn http://www.kahn-glas.com/Bildu%20Grafiken/Doku_gesamt.pdf

31. Conclusion Les réalisations existantes montrent qu‘une boule en verre , grâce à sa caustique, peut servir d‘horloge solaire et peut même indiquer le temps moyen. Peut-on réaliser une horloge solaire de temps moyen à cadran plat?

32. Etude de la caustique d’une boule en verre

33. Diacaustique d‘une boule de verre Les rayons du Soleilsontdéviéesunepremièrefois par le passage de l‘airdans le verrepuisunedeuxièmefois en passant du verredansl‘air. Les rayonsémergentssonttangents à unecourbe en rouge, c‘est la caustique de la boule de verre.

34. Diacaustiqued‘unebouleen verre Tous les rayons émergents sont tangents à une surface de révolutions appelée nappe tangentielle et se croisent le long de la nappe sagittale. Seuls les rayons centraux convergent au foyer paraxial Fp. Nappe sagittale Foyer paraxialFp Nappetangentielle

35. Foyer paraxial Fp Calcul de la distance du foyer paraxial Fp au centre de la sphère Fp Cettedistancedépend du rayon de la boule et de la matière. Plus l‘indice de réfractionestfaible plus cettedistancefocaleestélevée.

36. Longueur de la nappe sagittale La longueur de la nappe sagittale dépend de l’indice de réfraction du milieu car à partir d’un certain angle, les rayons sont entièrement réfléchis.

37. Géométrie de la caustique • Voicitroiscoupes de la caustique: • L‘extrémité se réduit à unpointtrèslumineux • La coupe au niveau de la nappe sagittale faitapparaitreunetacheavec en soncentreunpointtrèslumineux • La dernièretranchemontrel‘absence du pointcentral.

38. Influence de l‘indice de réfraction verre eau

39. Taille du point La nappe sagittale est l‘image du Soleil. Le diamètre apparent du Soleil est de 32‘, donc l‘épaisseur de la nappe sagittale est de :

40. Intensité de la nappe sagittale La puissance solaire incidente est en moyenne de 1400W/m2 Comme la sphère a un rayon de 50mm, la puissance sur la demi-sphère est de 22W. Cette puissance ramenée au point de diamètre de 0.68mm donne une puissance de 151380W/m2. En utilisant la loi dite de Stefan on peut calculer la température du point sur l‘écran, on trouve 800°C. Se pose le problème de la matière de l‘écran. Il doit résister aux hautes températures.

41. Photo de la caustique Aberration sphérique du 3ème ordre d'une lentille Source: http://semunt.supelec.fr

42. Schématisation Sphère de rayon 0Fp Nappe sagittale Foyer paraxial

43. Réalisation d‘une maquette

44. Impact de la caustique Ecran en bois Quelquessecondesd‘exposition au Soleilontsuffitpourbrûler le bois. Le diamètre du pointestfaible.

45. Conclusion La nappe sagittale de la diacaustique d‘une boule de verre peut être utilisée pour indiquer très précisément l‘heure sur un écran

46. Etuded‘unehorloge hélio-caustique de temps moyen à cadran plat Boule en verre de 100mm de diamètre Indice de réfraction n=1.51 soit Fp=74mm Longitude=-7°26‘ Latitude=47°36‘ Ecran (matière à définir)

47. Mesure de l‘azimut L‘écran est placé à la limite de la nappe sagittale

48. Mesure de la hauteur latitude

49. Zh (xh, yh , zh) sont les coordonnées du Soleil dans le repère local (xh, yh , zh) S (0,0,0) Xh Le point d‘impact est le projeté du centre de la sphère suivant le vecteur S0 Zi Xi latitude

50. Calcul des courbes en huit Les coordonnées(xh, yh , zh) du Soleil dans le repère local sont calculées en utilisant la formule: L‘écran étant incliné, les coordonnées du Soleil dans le repère lié à l‘écran s‘écrivent: Les coordonnéescartésiennes du Soleilsontcalculées à l‘aide des formulesprésentéesdans le Traitéabrégé de gnomonique.