1 / 40

Die Collatz-Folge

Die Collatz-Folge. a 0 selbst wählen (  N ) a k+1 = a k /2 falls a k gerade a k+1 = 3a k +1 falls a k ungerade. Beispiele. 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484,

nevada-cervantes
Download Presentation

Die Collatz-Folge

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Die Collatz-Folge a0 selbst wählen (N) ak+1 = ak/2 falls ak gerade ak+1 = 3ak+1 falls ak ungerade

  2. Beispiele 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

  3. Collatz-Zahlen • Def.: Eine Zahl n  N heißt Collatz-Zahl, wenn die Collatz-Folge mit a0 = n bei 1 endet (4–2–1) • Wir kennen derzeit für die Menge der Collatz-Zahlen keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Zahl sicher anhält und die Ausgabe ja oder nein liefert. • Es ist nicht bekannt, ob die Menge entscheidbar ist. • Sollten alle natürlichen Zahlen Collatz-Zahlen sein, so ist die Menge entscheidbar. • Leicht ist es hingegen, eine Turingmaschine zu entwickeln, die mit ja anhält, falls es sich bei der Eingabe um eine Collatz-Zahl handelt, und andernfalls nicht anhält.

  4. Das Halteproblem Kann man eine Turingmaschine bauen, die von einer anderen Turingmaschine feststellt, ob diese hält oder nicht?

  5. TM Hält Stellt fest, ob TM t hält oder nicht Hält TM t hält vielleicht manchmal und manchmal nicht, je nach Eingabe

  6. TM Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht Hält Was sollte auf dem Band stehen?

  7. TM Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht Hält Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n

  8. Frage: Kann man so eine Turingmaschine Hält basteln?

  9. Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält

  10. Fragen: • Angenommen, wir können die Turingmaschine Hält programmieren. • Welche Auswirkung hätte das auf die Goldbachsche Vermutung? • Welche Auswirkung hätte das auf das Collatz-Problem? • Welche Auswirkung hätte das auf die Software-Industrie? • Hausaufgabe!

  11. 1. TM: Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält Hält Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n

  12. 2. TM: Kopierer Kopiert den Bandinhalt Kopierer Verdoppeln

  13. 3. TM: Seltsam ? Seltsam Eingabe TM t, Ausgabe stopp mit j oder Endlosschleife

  14. TM Seltsam Seltsam ruft zuerst TM Kopierer auf, danach TM Hält 1. Kopierer Seltsam Hält 2.

  15. TM Seltsam Seltsam ruft nun noch TM Hält auf Seltsam Hält 2.

  16. TM Seltsam Was hat Hält auf das Band geschrieben? j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam

  17. TM Seltsam j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. Seltsam

  18. TM Seltsam n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam

  19. TM Seltsam spezielle Eingabe Seltsam Seltsam bekommt sich selbst als Eingabe! Seltsam

  20. Frage: Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam? Akzeptiert Seltsam sich selbst?

  21. Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

  22. Widerspruch! Annahme 2 a) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam ist unmöglich!

  23. Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

  24. Widerspruch! Annahme 2 b) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht ist unmöglich!

  25. Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält Schlussfolgerung: Diese Annahme ist unmöglich!

  26. Frage: Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam? Akzeptiert Seltsam sich selbst?

  27. Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

  28. TM Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam 1. Kopierer Seltsam Hält 2.

  29. TM Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Seltsam Hält 2.

  30. TM Seltsam Was hat Hält auf das Band geschrieben? j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam Annahme 2 a):Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

  31. TM Seltsam j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. Seltsam Annahme 2 a):Seltsamhält bei EingabeSeltsam

  32. Widerspruch! Annahme 2 a) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam ist unmöglich!

  33. Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

  34. TM Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsamnicht 1. Kopierer Seltsam Hält 2.

  35. TM Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsamnicht Seltsam Hält 2.

  36. TM Seltsam Was hat Hält auf das Band geschrieben? j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsamnicht

  37. TM Seltsam n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsamnicht

  38. Widerspruch! Annahme 2 b) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht ist unmöglich!

  39. Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält Schlussfolgerung: Diese Annahme ist unmöglich!

  40. Halteproblem Resümee: Es gibt keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Turingmaschine t und eines Wortes w entscheidet, ob t bei Eingabe von w hält oder nicht. Die Menge aller Paare (t,w) [t, w, wie oben] derart, dass t auf w hält, ist nicht entscheidbar. Satz von Turing (1936)

More Related