Transformada de Laplace y Teoría de Control

1. Por Irene Valenzuela Transformada de Laplacey Teoría de Control

2. Ejemplos históricos: - La idea de que un reloj de agua pudiera realizar una función automática se le ocurre a Platón. Los alumnos de Platón tenían ciertas dificultades para levantarse por la mañana, lo cual era fuente de discusiones todos los días. Por lo cual Platón diseña un sistema de alarma basándose en una Clepsydra. En el vaso de la Clepsydra se ubicó un flotador encima del cual se depositan unas bolas. Durante la noche se llenaba el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y las bolas caían sobre un plato de cobre. Y así los alumnos terminarían por levantarse. el caudal suministrado al depósito b es constante por lo cual este tardará en llenarse un tiempo determinado y fijo al final del cual las bolas caen sobre la bandeja ejerciendo la función de alarma. http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/22.html 1. Un poco de Historia del control

3. Otro ejemplo es el reloj de agua diseñado en el siglo III por H. Diels: El agua hace subir el émbolo que va señalando las horas, para ello se necesita un flujo constante. http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/11.html • Hasta el siglo XVII se desarrollan innumerables mecanismos basados en el control como dispensadores de grano y vino o reguladores para molinos de viento.

4. La Revolución Industrial: - Los mecanismos reguladores se desarrollan en la Revolución Industrial. Gracias, en gran parte a la introducción de la máquina de vapor en sus vidas. Esto, conllevó que se necesitasen distintos artilugios para controlar sus aplicaciones. En 1778, James Watt diseñó controlador centrífugo para la velocidad de su máquina de vapor, cuyo tipo es aún usado con pequeñas modificaciones. http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/4444.html Aunque ya existiesen sistemas de control aún no existía una Teoría de Control Automático, dado que ni siquiera existían las herramientas matemáticas necesarias para ello.

5. El desarrollo teórico: Al mismo tiempo que Watt se dedicaba a perfeccionar su regulador de bolas, Laplace y Fourier (basandose en la trasformada Z) desarrollaban los métodos de Transformación Matemática, tan utilizados y asumidos en la Ingeniería Eléctrica y por supuesto en la actual Ingeniería de Control. (explicaremos algo de ellos más adelante) En el siguiente medio siglo se produjeron significativas contribuciones en el campo del control automático. Durante las dos décadas anteriores a la II Guerra Mundial ocurrieron importantes desarrollos en la aviación y en la electrónica. Nyquist realizó su clásico trabajo sobre la estabilidad de sistemas lineales retroalimentados, aunque enfocado a redes de comunicaciones, siendo durante la II Guerra Mundial que la gente interesada en control automático descubrió de nuevo sus ideas. El trabajo de Hazen, fue el primer intento de desarrollar alguna teoría sobre servomecanismos. La palabra servo fue entonces usada por primera vez, y es derivada de la palabra latina “servus” que significa esclavo, la cual expresa justamente la función de aquellos mecanismos de control que fueron diseñados para mover los timones de barcos y aviones, obedeciendo fielmente las órdenes enviadas por los pilotos de las naves.

6. Las guerras mundiales: Durante las guerras mundiales el desarrollo de los sistemas de control realimentados se transformaron en una forma de supervivencia. Se exigió el desarrollo de una serie de nuevos componentes de control y de una teoría de control completamente nueva, necesaria por los complejos sistemas propuestos,.Debido al secreto militar, las publicaciones fueron muy limitadas y solo hasta 1945 se conocieron los adelantos que se habían logrado. En la cuarta y quinta décadas del siglo pasado fueron introducidos el concepto de función de transferencia de frecuencia y el uso de cálculo de transformaciones. Desarrollos durante las guerras: Control de barcos. Entre los primeros desarrollos estaba el diseño de sensores para controlar sistemas a lazo cerrado. En el año 1910 E.A.Sperry inventó el giróscopo que utilizó en la estabilización y dirección de barcos y más tarde en control e aviones. Desarrollo de armas y puntería para cañones. Un problema muy importante durante el periodo de las dos guerras fue lograr exactitud en la puntería de cañones hacia barcos y aviones en movimiento. Con la publicación de “Teoría de los Servomecanismos” por parte de H.L.Házen en 1934, se inició el uso de la teoría matemática del control en la solución los problemas planteados. Los visores de bombardeo Norden desarrollados durante la Segunda Guerra Mundial, utilizaban sincrorepetidores para relevar la información sobre altitud y velocidad del avión, y perturbaciones debidas al viento sobre los visores de bombardeo, a los fines de asegurar un despacho exacto del sistema de armas.

7. Era del control moderno: De 1945 a 1950 se consolidaron los avances realizados durante la guerra, se publicaron los primeros libros sobre servomecanismos y algunas universidades del mundo empezaron a ofrecer cursos sobre control automático. La teoría desarrollada hasta fines de los años cuarenta estaba relacionada con sistemas lineales continuos. El análisis y la síntesis de sistemas de control eran basados en el método de tanteos. Alrededor de 1950, Evans introdujo su llamado método del lugar de raíces. Más o menos al mismo tiempo se desarrollaron los computadores digitales, cambiando el interés de los sistemas continuos a los sistemas discretos. Desde 1955 a la fecha, la ingeniería de control ha experimentado un desarrollo sin precedentes. Los computadores analógico y digital han alcanzando grandes niveles de perfeccionamiento y su disponibilidad es prácticamente universal. La mayoría de las universidades del mundo han desarrollado excelentes programas de ingeniería de control y ésta es una de las más populares áreas de investigación. Se han generado nuevas formas de control y se tiende a la optimización de los sistemas.

8. 2. Algo de teoria: • Transformada de Laplace: La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por: siempre y cuando la integral esté definida. La Transformada de Laplace cumple una serie de propiedades: • Linealidad • Potencia n-ésima

9. Seno: • Coseno: • Seno hiperbólico: • Coseno hiperbólico: • Logaritmo neperiano: • Raiz n-ésima: • Derivación • Integración

10. Pierre-Simon Laplace A continuación se presenta una tabla con las transformadas-antitransformadas mas comunes Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la Regla de Sucesión de Laplace, podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras de él.

11. Transformada Z: De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral de define como En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. Por eso un ejemplo de la TZ es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad. La Transformada Z inversa se define donde es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de . Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo unidad obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier: _ La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

12. 3. Ejemplos de Control • Resolución de circuitos eléctricos: Suponemos que v(t) es una función escalón:

13. Control de velocidad: Teniendo el sistema abajo descrito, Por medio de las ecuaciones de Newton hacemos suma de fuerzas en la masa: (Renombramos la v como y para no llevar a confusión)

14. A través de las propiedades y de las tablas de transformadas de Laplace , convertimos el sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema geométrico de mayorsencillez: Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos: Despejando por último las variables conseguimos una fórmula mucho mas sencilla de calcular: La teoría de control comenzaría a trabajar ahora ya que podemos introducir el valor o tipo de función deseado de U(s) y obtener la función Y(s) necesaria para cumplir esa condición. Viceversa también funciona…¡Por Supuesto!

15. EJEMPLO NUMÉRICO: m = 1000kg b = 50Nsec/m u = 500N Se conoce que las condiciones iniciales son 0 U = 500, entonces (por la teoría de Laplace) : U(s) = 500/s Y la función Y(s) quedaría,tomando como 0 los valores iniciales: Y(S) = 500/s(1000s+50) Reduciendo la ecuación a dos funciones transformadas de Laplace, tenemos: Y(s) = 10/s – 10/(s+0.5) Y aplicando las anti-transformadas obtenemos: -0.5 t Y(t) = 10-10e Esta es la función de Y(t) para que U(t) pueda ser de 500 N

16. Control de Rumbo: Primero analizamos el sistema dado con las fuerzas y ángulos: Para simplificar el problema suponemos que el avión viaja a altitud y velocidad constante, esto es algo irreal por supuesto, pero nos ayuda a simplificar el problema en este ejemplo.

17. Entonces aplicando las ecuaciones se obtiene: Donde los parámetros que aparecen son los siguientes:

18. Para facilitar el manejo de las ecuaciones vamos a introducir datos de los parámetros Obteniendo: Dejando solo las funciones dependientes del tiempo. Aplicando ahora la Transformada de Laplace al sistema, tomando las condiciones iniciales iguales a 0, nos encontramos con: Este sistema es mucho mas sencillo de resolver que el de arriba, por lo tanto aplicar Laplace ha sido una gran idea.

19. Si nuestro objetivo era encontrar la ecuación respecto al tiempo que debe de cumplir el ángulo de inclinación para conseguir un ángulo de deflación dado. Operando con el sistema podemos llegar a conseguir: Una vez obtenida esta ecuación es muy sencillo conocer el resultado buscado, simplemente introducimos la función transformada de ángulo deseado y despejamos la otra función. Y por anti-transformadas…YA ESTÁ,PROBLEMA RESUELTO!! EJEMPLO NUMÉRICO: Queremos conocer que función debe de cumplir el ángulo theta a través del tiempo para que el ángulo de deflación cumpla: (t) = t Por lo que su función transformada es: (s) = 1/s 2

20. Llevando esto a la ecuación que teníamos de antes y separándola en distintos sumandos para obtener formas de transformadas de Laplace y aplicar entonces las anti-transformadas, conseguimos está sencillez: Más ejemplos de aplicación de Laplace a la teoría de control en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm (ejemplos de sistemas de control usando Laplace) ó http://chem.engr.utc.edu/Webres/Stations/controlslab.html(experimentos con sistemas de control)

21. 4. Aplicaciones actuales del control • Grandes estructuras espaciales. Es frecuente escuchar que el despliegue de una antena o telescopio en el espacio ha ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que han inutilizado completamente la estructura. Estos despliegues y acoplamientos de componentes deben basarse en el control. • Robótica. Existe la importancia de desarrollar métodos eficientes de visión artificial, por ejemplo. Pero la Teoría del Control está también en el centro de gravedad en este campo. El desarrollo de la robótica depende de manera fundamental de la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales para el control de los robots. No resulta difícil imaginar la complejidad del proceso de control que hace que un robot camine y que lo haga de manera estable o sea capaz de coger con sus "manos" un objeto.

22. Control de Plasma. La obtención de reacciones de fusión controladas es uno de los mayores retos para resolver los problemas energéticos del planeta. En la actualidad, una de las vías más prometedoras es el de los tokomaks: máquinas en las que se confina el plasma mediante mecanismos electromagnéticos. El problema fundamental es mantener el plasma, de muy alta densidad, a una temperatura muy alta en la configuración deseada durante intervalos de tiempo prolongados a pesar de sus inestabilidades. Esto se realiza a través de sensores mediante los cuales se obtiene la información necesaria para efectuar cambios rápidos y precisos de las corrientes que han de compensar las perturbaciones del plasma. Control de la combustión. Se trata de un tema relevante en la industria aeronáutica y aeroespacial en las que se hace imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion que, normalmente, viene acompañada de perturbaciones acústicas considerables. En el pasado se ha realizado el énfasis en los aspectos del diseño, modificando la geometría del sistema para interferir la interacción, combustión-acústica o incorporando elementos disipativos. El control activo de la combustión mediante mecanismos térmicos o acústicos, es un tema en el que casi todo está por explorar Control de Fluidos. Se trata de un problema con mucha importancia en aeronáutica puesto que la dinámica estructural del avión (en sus alas, por ejemplo) está acoplada con el flujo del aire en su entorno. Aunque en los aviones convencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es probable que los aviones del futuro tengan que incorporar mecanismos de control para evitar la aparición de turbulencias en torno a las alas. Desde un punto de vista matemático casi todo está por hacer, tanto en lo que respecta a la modelización, al controly a los aspectos computacionales. Economía. Las Matemáticas están jugando hoy en día un papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto, la utilización de modelos matemáticos para predecir las fluctuaciones de los mercados financieros es algo común (mucha gente sueña con predecir los movimientos en Bolsa y poder volverse un “poco” rico). Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en los que la Teoría del Control ya existente puede ser de gran utilidad a la hora de diseñar estrategias óptimas de inversión y consumo.