Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace.

1. Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace. AUTORES:

2. Planteamiento del Problema Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales.

3. Objetivos de la Investigación • Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en circuitos eléctricos Objetivo General Objetivos Específicos • Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método.

4. Objetivos de la Investigación • Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, fuentes y condensadores. • Aplicar el método a un circuito eléctrico típico Objetivos Específicos

5. Justificación • Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales. • En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del problema. • Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricos

6. Alcances y Limitaciones • Abarca aplicaciones básicas de la transformada de Laplace. • Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. • Se hallarán las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. • No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. • Los resultados no serán contrastados experimentalmente

7. Bases Teóricas • Definición de Transformada de Laplace • Propiedades de la Transformada de Laplace • La transformada de Laplace es lineal

8. Bases Teóricas • Transformada de una derivada • Transformada de una integral • Definición de términos básicos • Condensador y Capacitancia • Resistencia • Inductor e Inductancia • Fuente

9. Marco Metodológico • Definir el caso de estudio. • Identificar cada uno de los elementos del circuito eléctrico a resolver. • Plantear el diagrama del circuito eléctrico a resolver. • Establecer las ecuaciones diferenciales que permitan resolver el circuito eléctrico. • Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia.

10. Marco Metodológico • Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace. • Definir la señal de entrada o perturbación. • En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial planteada. • Graficar y analizar los resultados.

11. Caso I: CIRCUITO RCL • Definición del caso • Elementos del circuito • Diagrama del circuito

12. Caso I: CIRCUITO RCL • Se aplica una la Ley de Kirchoff • Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito

13. Caso I: CIRCUITO RCL • Transformación al dominio de la frecuencia • Corriente en el dominio de la frecuencia

14. Caso I: CIRCUITO RCL • Solución de la ecuación diferencial • Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa • Aplicando la transformada inversa de Laplace

15. Gráfica del resultado Caso I: CIRCUITO RCL

16. Definición del Caso Elementos del circuito Diagrama del Circuito Caso II: Motor eléctrico de corriente directa

17. Relación torque – Corriente eléctrica Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Relación torque – Velocidad Angular • Ecuación de Voltaje

18. Ecuación diferencial del sistema físico Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Transformación al dominio de la frecuencia • Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa

19. Ecuación en el dominio de la frecuencia Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Solución de la ecuación diferencial La solución se obtiene realizando una expansión en fracciones parciales.

20. Expansión en fracciones parciales Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Los valores de A, B, C son: Con

21. Aplicando la transformada inversa Caso II: Motor eléctrico de corriente directa

22. Grafica Velocidad Angular - Tiempo Caso II: Motor eléctrico de corriente directa

23. Conclusiones • Se logró conocer la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos. • Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace. • La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.

24. Conclusiones • La técnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico. • Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada. • Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a un valor dado por: