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Transformada Z

Transformada Z. Francisco Carlos Calderón PUJ 2009. Objetivos. Definir la trasformada Z y estudiar algunas de sus propiedades. Analizar sistemas discretos utilizando la transformada Z. La transformada Z. La entrada a un SLIT, su salida . Sea. está determinada por:.

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Presentation Transcript

  1. Transformada Z Francisco Carlos Calderón PUJ 2009

  2. Objetivos Definir la trasformada Z y estudiar algunas de sus propiedades. Analizar sistemas discretos utilizando la transformada Z.

  3. La transformada Z La entrada a un SLIT, su salida Sea está determinada por: Por lo tanto al reemplazar se obtiene:

  4. La transformada Z Esta sumatoria de define como la trasformada Z de h[n].

  5. La transformada Z Siendo Xs(s) la transformada de laplace de una señal muestreada mediante un tren de impulsos de periodo T

  6. La transformada Z La transformada Z de una señal en tiempo discreto de define como: Si la señal es causal, la transformada Z bilateral cambia a la transformada Z unilateral definida como:

  7. La transformada Z Si =>

  8. Convergencia de la transformada Z • Para que la transformada Z converja, es necesario que la Transformada de Fourier de: • converja, por lo tanto la transformada Z, posea un intervalo de valores de z para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

  9. Ejemplo 2: Con ROC Con ROC Convergencia de la transformada Z Hallar X(z). Hallar X(z).

  10. Propiedades de la ROC • i) La ROC de X(z) consiste de un “anillo” en el plano z centrado alrededor del origen. • ii) La ROC no contiene ningún polo. • iii) Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z = 0 ó z =  . ROC = Todo el plano Z ROC = Todo el plano Z, con excepción z=0 ROC = Todo el plano Z, con excepción z=

  11. Propiedades de la ROC • iv) Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z| > r0 también estarán en la ROC. • v) Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales 0 < |z| < r0 también estarán en la ROC.

  12. Propiedades de la ROC • vi) Si x[n] es bilateral y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces ésta consistirá de un anillo en el plano z que incluya al círculo |z| = r0. • vii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito

  13. Propiedades de la ROC • viii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, y si x[n] es derecha, entonces la ROC es la región en el plano z fuera del polo más alejado. Donde puede incluir o no a |z| =  . • ix) Si la trasformada Z de x[n] es racional, y si x[n] es izquierda, entonces la ROC es la región en el plano z dentro del polo diferente de cero más interno. Donde puede incluir o no a z = 0.

  14. Transformada Z inversa Se acuerdan del teorema de los residuos???

  15. Propiedades de la transformada Z • Linealidad: • Desplazamiento de tiempo: ROC = R (Con posible adición o eliminación de cero o infinito.

  16. Propiedades de la transformada Z • Escalamiento en Z • Convolución con ROC = |z0|R.

  17. Propiedades de la transformada Z • Inversión en tiempo • Conjugación ROC = 1/R ROC = R.

  18. Propiedades de la transformada Z • Diferenciación en e dominio de Z • Teorema del valor inicial ROC = R. , entonces Si

  19. Referencias • Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 8 • Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 10 • Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ • Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ

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