Chapitre VI. Arbres (définition, parcours, représentation)

1. Chapitre VI. Arbres (définition, parcours, représentation) Chapitre VI.1. Arbres généraux

2. Introduction • Les structures arborescentes jouent un rôle important dans l’organisation de données • - indexes des Bases de Données sont organisés sous forme des arbres afin de segmenter la mémoire et de réduire le temps d’accès aux données. • -dans ce chapitre nous étudions l’objet « arbre » et proposons différentes stratégies de son exploration

3. Arbres(1) • Un arbre peut être défini comme un ensemble des points, appelé des nœuds et un ensemble de lignes appelées des arcs, ou un arc relie deux nœuds distincts. • Propriétés : • (1) Il existe un nœud particulier appelé la racine • (2) Tout nœud c autre que racine est relié par un arc à un autre nœud p appelé le père de c • (3) Un arbre est qualifié de connexe car si nous commençons à n’importe quel nœud n autre que la racine et nous nous déplaçons vers le père de n, puis vers le père du père de n et ainsi de suite, nous atteindrons certainement la racine de l’arbre.

4. Arbres Exemple Huges Capet 939-996 Adélaïde d’Aquitaine Robert II 970-1031 Constance de Provence Henri Ier 1008-1060 Anne de Kiev « Jaroslavna » Robert Sans terre Philippe Ier 1053-1108 Berthe de Hollande Huges le Grand

5. La définition récursive des arbres • La base : Un nœud seul n est un arbre. On dit que n est la racine de cet arbre à un nœud • La récurrence : soit r un nouveau nœud et soient T1,T2, …,Tkdes arbres ayant respectivement pour racines c1,c2,…,ck. Nous demandons à ce qu’aucun nœud n’apparaisse plus d’une fois dans les Ti; r étant un nouveau nœud , il ne peut pas apparaître dans un de ces arbres. Nous formons un nouvel arbre T à partir de r et de T1, T2,…,Tk: • 1. Faire de r la racine de l’arbre T • 2. Ajouter un arc entre ret chacun des c1,c2,…ck, de manière que chacun de ces nœuds soit un fils de la racine r

6. Chemins, ancêtres et descendants(1) • Supposons que m1,m2,…,mksoit une séquence de nœuds telle que m1=père(m2), m2=père(m3)…mk-1=père (mk) • Alors m1, m2,…,mkest appelée « chemin depuis m1 jusqu’à mk » dans l’arbre • L=k-1 – longueur du chemin • Illustration graphique

7. Chemins, ancêtres et descendants(2) • m1 est l’ancêtre de mk • mk est descendant de m1 • Si L(m1, .., mk)>=1 alors m1 est ancêtre propre de mk et mk est descendant propre de m1 • Sous-arbre : dans un arbre T un nœud naccompagné de tous ses descendants propres (si il en possède) est appelé un sous-arbre de T. • Si père(ni)=père(nj), ni, njsont appelé frères. • Feuille : un nœud d’un arbre qui n’a pas de fils • Nœuds intérieurs : ceux qui ont au moins un fils

8. Mesures sur les arbres(1) • Le nombre de fils d’un nœud ndans un arbre est appelé le degré de n. • L’existence de la racine donne une orientation aux arbres d(n)=4

9. Mesures sur les arbres (2) • La profondeur d’un nœud np(n): la longueur du chemin depuis la racine jusqu’à n • La hauteur d’un nœud n h(n): la longueur du plus long chemin depuis n jusqu’à une feuille r h(n)=2, p(n)=2 n

10. Mesures sur les arbres (3) • p(r)=0 • p(n)=p(q) +1 si q=père(n) • La hauteur ou la profondeur d’un arbre h(T) = max{h(n): n nœud de T} • La longueur de cheminement • La longueur du cheminement externe • La longueur du cheminement interne

11. Arbres comme structures de données • Arbres avec des nœuds étiquetés par des entiers 1,…,N • Codage par tableau « père » :taille N 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 6 0 9 1 5 1 1 5 4 4 7 4 8 9 2

12. Codage par tableau « père » • 1. Est-feuille (n)? • 2. p(n)? • 3. h(T)?

13. info info info info Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs p1 p2 pbf pbf : facteur d’arborescence = le nombre maximal de fils que peut avoir un noeud

14. Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs(2) • Type PtrNoeud = ^Noeud Enregistrement Noeud info : TypeInfo enfants : Tableau[1,…bf] de PtrNoeud Fin Enregistrement; Déclaration d’un arbre : MonA : PtrNoeud { pointeur vers la racine} Le temps d’accès au i-ème fils de n’importe quel nœud en O(1). L’inconvénient : gaspillage de l’espace mémoire.

15. info info info info Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs(3) • Fils-aîné-frère-droit: pour un nœud autre que la racine

16. Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs(4) • Type PtrNoeud = ^Noeud Enregistrement Noeud info : TypeInfo fils_ainé : PtrNoeud frere_droit : PtrNoeud Fin Enregistrement;

17. Parcours des arbres (3) • Un arbre peut être vu comme • T1,…,Tkest un ensemble des arbres disjoints – « forêt » • Du fait qu’il y a toujours un nœud (r) un arbre n’est jamais vide

18. Parcours des arbres(1) • Procédure Parcours(A: PtrNoeud) • Var i,nb : entiers • Début nb:=NbrFils(A) Si feuille(A) alors TraitementTerminal sinon TraitementPref {traitement avant de voir les fils} Pour i de 1 à nb faire Parcours(ième(Liste-Fils),i) Traitement(i) {*} FinPour TraitementSuf{traitement après avoir vu tous les fils} FSi FinParcours

19. Parcours des arbres(2) • 1. L’ordre Prefixe : chaque nœud n’est pris en compte que lors du premier passage: TraitementPref et TraitementTerminal sont actifs, les autres ne font rien. • 2. L’ordre suffixe : chaque nœud n’est pris en compte que lors du dernier passage : TraitementSuff et TraitementTerminal sont actifs, les autres ne font rien.

20. Parcours des arbres(3) • Parcours d’un arbre général

21. Exemple(1) : Affichage de contenu d’un arbre généalogique en parcours préfixe • Procédure AffichePref(A: PtrNoeud) Var i,nb : entiers • Début nb:=NbrFils(A) Si feuille(A) alors affiche(«info + plus de descendance ») sinon affiche(info) {TraitementPref : traitement avant de voir les fils} Pour i de 1 à nb faire Parcours(ième(Liste-Fils),i) FinPour FSi FinParcours

22. Primitives sur les arbres • Type Arbre =PtrNoeud • Type Forêt = Liste de PtrNoeud • Signature • Type Arbre, Forêt • Opérations • Cons : PtrNoeud X Forêt ->Arbre • Racine: Arbre ->PtrNoeud • List-arbres: Arbre ->Forêt • Forêt-vide: ->Forêt • Ième : Forêt X Entier->Arbre • Nb-arbres : Forêt->Entier • Insérer : Forêt X EntierXArbre->Forêt, • …

23. Axiomes • Précondition • Insérer (F,i,A) est definie ssi • Axiomes • Racine(cons(o,F))=o • List-arbres(cons(o,F))=F • Nb-arbres(forêt-vide)=0 • nb-arbres(insérer(F,i,A)=nb-arbres(F)+1 • 1<k<i->ième(insérer(F,i,A),k)=ième(F,k) • K=i->ième(insérer(F,i,A),k)=A • i+1<k<1+nb-arbres(F)-> • ième(insérer(F,i,A),k)=ième(F,k-1) {décalage}

24. Mise en œuvre des primitives • Représentation avec les tableau des pointeurs • Type PtrNoeud = ^Noeud Enregistrement Noeud info : TypeInfo enfants : Tableau[1,…bf] de PtrNoeud Fin Enregistrement; Primitive Insérer : Forêt X Entier X Arbre->Forêt Procedure Inserer (ref EnfantsDuNoeud : Tableau [1…bf] de PtrNoeud, i:entier, A : PtrNoeud) Debut Var j:entier Si i>0 et i<bf+1 alors Pour j de i à bf-1 EnfantsDuNoeud[j+1]:=EnfantsDuNoeud[j]; FPour { j pointe sur la première case vide du tableau des pointeurs} EnfantsDuNoeud[i]=A; Fin-Si FinInserer

25. Exemple(2) • Supposons arbre généalogique avec l’ordre de la descendance selon primarité • Ecrire la procédure d’ajout du fils cadet au dernier représentant de la lignée principale

26. Type PtrNoeud = ^Noeud Enregistrement Noeud info : TypeInfo enfants : Tableau[1,…bf] de PtrNoeud Fin Enregistrement; ProcedureAjoutLePlusJeuneLD(Agen : PtrNoeud, FilsCadet : PtrNoeud) Début {Arbre n’est jamais vidé !} Si Agen.^enfants[1]=NIL { Base de récursivité 1 – le dernier descendant de la LD n’a pas de fils} alors Insérer(Agen.^enfants,1,FilsCadet) sinon {Agen.^enfants[1]<>NIL} Si Agen.^enfants[1].^enfants[1]=NIL {Base de récursivité 2- le dernier descendant de la LD a des fils} alors j=1 TQ(j<nbf et Agen.^enfants[j]<>NIL) j:=j+1; FTQ Si (j<nbf) alors { Test de capacité du mémoire réservé} Insérer(Agen.^enfants,j,FilsCadet) FSi sinon AjoutLePlusJeuneL(Agen.^enfants[1],FilsCadet) FSi FSi FinAjoutLePLusJeuneLD

27. info info info info Mise en œuvre des primitives NFA • Fils-aîné-frère droit • Fonction ième(NFA: PtrNoeud, FD: PtrNoeud, i: entier):PtrNoeud • Var k : entier • ptr : PtrNoeud • Debut • Si i=1 alors retourner NFA sinon ptr:=FD; k:=3; Tqptr<>NIL et k<i faire ptr:=ptr.FD; k++; Ftq FSi Retourner ptr; Fin ième