Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312

1. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Programa de Asignatura. • Fundamentos de Matemática. • Clave : MME - 312 • Prerrequisito. : Licenciatura o su • Equivalente. • Número de Créditos : 3 • # Horas Semanales : 3 • Horas Teóricas : 3 Prácticas: 0 • Aula : • Horario : Sábado de 8:00 AM a 4:00 PM.

2. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Introducción. • Algunas frases para empezar. • Se aprende haciendo; • El esfuerzo y la dedicación aseguran el conocimiento; • Las matemáticas entran por las manos; • Presentación del Programa y discusión de Reglas internas.

3. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • ■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático. • Para entender y aprender las matemáticas es necesario conocer su idioma, pues en caso contrario, aunque se digan cosas muy sencillas, no se entenderán. • Hace falta conocer su idioma, sus palabras clave, los objetos que se utilizan y las herramientas necesarias para manejar esos objetos. • El idioma que utiliza la matemática es formal y abstracto. Mezcla palabras, números, símbolos, figuras y conceptos que tienen un “significado matemático”, que no siempre coincide con el significado en el lenguaje normal, castellano o de cualquier otro idioma. • La Matemática es una ciencia lógica y deductiva. La deducción lógica exige cumplir unas reglas muy precisas: “si no se cumplen, no funciona”

4. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. ■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático. Cuando hablamos de “lenguaje” nos referimos al proceso cognitivo que lleva a una actividad simbólica o de la representación del mundo. A través de la actividad simbólica se expresan un conjunto de sonidos y palabras con base en el pensamiento. “Un símbolo es un sonido, o algo visible, conectado mentalmente a una idea. Esta idea es el significado del símbolo.” Skemp (1999)“ Según Skemp, un símbolo debería tener asociado un solo significado, o bien, que a varios símbolos le puede corresponder un mismo significado. El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de símbolos especiales para realizar cálculos matemáticos.

5. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • ■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático. • ■Objetos matemáticos. • Con la palabra objeto se quiere designar las cosas (elementos) que se emplean en Matemáticas. • Hay objetos aritméticos, geométricos, del análisis, de la estadística… Así, un número, un ángulo, una recta, un intervalo, un diagrama de barras, un paréntesis, el signo de igualdad o cualquier otro símbolo, una • ecuación o un exponente, pueden ser considerados objetos matemáticos. • En general, los objetos matemáticos suelen darse mediante una definición y unido a la definición puede ir el procedimiento, el cómo se hace; y también las propiedades que cumplen.

6. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • ■ Más sobre Objetos matemáticos. • Algunas de esas propiedades se llaman axiomas o postulados, y se aceptan sin demostrar, supuestamente por su evidente certeza. (Por ejemplo, la geometría clásica se asienta sobre cinco axiomas, conocidos como postulados de Euclides.) • Los axiomas son los principios, algo similar a las reglas de cualquier juego, que son imprescindibles para poder jugar. Así, en el ajedrez cada pieza se mueve según una regla no discutible, y para jugar hay que aceptar dichas reglas. • A partir de esos axiomas, y siempre por deducción lógica, se obtienen otras propiedades o teoremas. Se construye así una teoría matemática.

7. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • ■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático. • ■ En definitiva, y como resumen de esta referencia, para • aprender a trabajar matemáticamente hay que saber tres • cosas: • 1. Qué tipo de objetos se emplean: para qué se usa cada uno. • 2. Cómo se manejan, es decir, qué propiedades cumplen. • 3. Cómo se relacionan entre ellos: operaciones. La operación se define; las propiedades generan resultados.

8. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tres conceptos claves. • Una demostración es el proceso lógico que asegura que una determinada propiedad es cierta siempre, para cualquier valor del objeto considerado. • Una comprobación es la verificación de que una propiedad (una igualdad, por ejemplo) es cierta para un caso particular. Pero una comprobación, en modo alguno, es equivalente a una demostración. • Una conjetura, una suposición, por muy razonable que parezca, sólo puede ser admitida como cierta cuando se llegue a demostrar por deducción lógica. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach afirma que • “todo número par mayor que 2 es la suma de dos números • primos”.

9. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • El Método Axiomático. • El método axiomático (o axiomática) consiste en la formulación de un conjunto de proposiciones o enunciados, llamados axiomas o postulados, los cuales guardan entre sí una relación de deducibilidad, y sirven de hipótesis o de condiciones para un determinado sistema. • El objeto de un sistema axiomático es utilizar un pequeño número de propiedades y precisar cómo deducir de ellas todas las demás.

10. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática.

11. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • El Método Axiomático. • En los fundamentos de las Matemáticas, está la teoría de los conjuntos y la Lógica. • Esta fundamentación ha dado origen a la matemática moderna que ha supuesto una revolución. Esta revolución surgió para dar al conjunto de los conocimientos matemáticos una mayor consistencia y coherencia. Tal fue la intención de sus creadores, Hilbert,  Cantor  y Russell. • También fueron importantes las aportaciones de los matemáticos franceses reunidos bajo el nombre de Nicolás Bourbaki. • Para todos ellos era más importante enunciar y demostrar con el máximo rigor los principales teoremas de las Matemáticas que descubrir otros nuevos.

12. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • El Método Axiomático. • Este nuevo enfoque de las Matemáticas, concibe a esta ciencia como un sistema formal axiomático. • Si conseguimos entender estas palabras, habremos comprendido la estructura de las Matemáticas. • Un sistema formal axiomático, está constituido por un conjunto de proposiciones llamadas  tesisdel sistema, de las que unas son los  axiomas  y otras los teoremas.

13. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • El Método Axiomático. • Estructura de un sistema formal axiomático: • I. Parte morfológica: • Un conjunto de componentes primitivos. • Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes. • Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo, a partir de los componentes primitivos, se pueden construir nuevos componentes llamados derivados.

14. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Estructura de un sistema formal axiomático: • II. Parte Axiomática: • 1. Un conjunto de axiomas. • 2. Un conjunto de definiciones. • 3. Un conjunto de reglas o criterios de deducción. • 4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.

15. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático. • Leer más en: • http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-aplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones.shtml#ellenguaja#ixzz2KFUTGXXp • http://www.monografias.com/trabajos75/metodos-ciencias/metodos-ciencias2.shtml#ixzz2KFbarUVx • http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-aplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones.shtml#ellenguaja#ixzz2KFTuVC8A

16. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • 1.2. Proposiciones Lógicas. Conceptos básicos: • Lógica: Es el estudio del razonamiento humano, que se expresa a través de argumentos orales o escritos y cuyo propósito es la búsqueda de las normativas para evaluar lo correcto o incorrecto de esos argumentos. • Dos Historias de la Lógica: Antes del siglo xx (desarrollo lento y cargado de enfrentamientos -Aristóteles y otros-); Después del siglo xx (desarrollo dinámico -Lógica Clásica o Moderna- Bertrand Russell y Alfred Whitehead). • Lógica Post-moderna o no Clásica.

17. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Conceptos básicos (continuación): • Deducción (Aristóteles). Es un discurso (logos) en el cual, suponiendo ciertas cosas, resulta de necesidad otra cosa diferente de las cosas supuestas sólo por haber sido éstas supuestas (primeros analíticos) • Cada una de las cosas supuestas es una Premisa (prótasis) –una premisa es cualquier “supuesto” conocido por quien deduce-. (definiciones, axiomas, teoremas, entre otros). • Lo que “resulta de necesidad” es la conclusión (sympérasma).

18. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Conceptos básicos (continuación): • Enunciados generales (frases)…Proposiciones • Un argumento es una secuencia finita de enunciados. El último enunciado de la secuencia es la conclusión, mientras que los demás son las premisas del argumento. • Un argumentoes deductivamente válido si y sólo si es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. En caso contrario es deductivamente invalido. • Un argumentoes deductivamente consistente si y sólo si es deductivamente válido y todas sus premisas son verdaderas. En caso contrario es deductivamente inconsistente.

19. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Conceptos básicos -Argumentos inductivos-: • Un argumentoes inductivamente fuerte si y sólo si, su conclusión es altamente probable dado el grado de verdad de las premisas. • Los argumentos por analogía (por comparación) y por causalidad (existencia de causas), proporcionan los ejemplos más claros de argumentos inductivamente fuertes. • Un argumentoes inductivamente consistente si y sólo si, es inductivamente fuertey sus premisas son verdaderas.

20. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Conceptos básicos -Silogismos-: • Silogismo: Es un argumento deductivo en el que la conclusión se infiere de dos premisas. • Enunciado categórico: Es aquel que afirma o niega que una clase, conjunto o categoría de cosas, está incluida en otra clase, conjunto o categoría, total o parcialmente. • Silogismo categórico : Es aquel en el que las premisas y la conclusión son enunciados categóricos. • Sorites: Es cuando en un argumento deductivo sólo se incluyen las premisas y la conclusión, sin hacer explícitos los eslabones de la cadena silogística, el argumento resultante.

21. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Conceptos básicos -Entimemas-: • Un entimema es un argumento en el cual una o más de sus partes no se hace(n) explícita(s). • El análisis de un entimema depende en gran medida del contexto en que aparece y de la información de la que disponga el que la maneja. • Dicho análisis debe estar guiado por el principio de caridad, que consiste en que al completar el argumento debemos propender para que sea lo mejor posible.

22. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Conceptos básicos -Consistencia lógica-: • Un conjunto de enunciados es lógicamente consistente si y sólo si, es posible que todos los miembros del conjunto sean verdaderos. Es lógicamente inconsistente si esto es imposible • Actividad para discusión en el aula. • A. Construir un ejemplo y un contraejemplo de: • 1. Argumento deductivamente válido; • 2. Argumento deductivamente consistente; • 3. Argumento inductivamente fuerte; • 4. Argumento inductivamente consistente; • B. Construir un ejemplo de: • 1. Silogismo; • 2. Conjunto de enunciados lógicamente consistentes.

23. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Lógica Proposicional. • Simbolización de Proposiciones • Conectivos lógicos: Proposiciones Simples y Compuestas. • Nombre Significado en Castellano Notación • La Conjunción. (y) ٨. • La Disnjunción inclusiva. (y/o) ۷. • La Disnjunción exclusiva. (“o”) v. • La Condicional o Implicación. (se, entonces) →. • La Doble Cond. o doble implic. (si y sólo si) ↔. • El Operador de negación. ¬ o ~.

24. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Valor de verdad y tablas de verdad. • Los conectivos lógicos, junto al operador de negación componen el conjunto de los operadores lógicos. • Tabla para la Conjunción:

25. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tabla para la Disyunción inclusiva:

26. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tabla para la Disyunción exclusiva:

27. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tabla para la Condicional o Implicación:

28. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tabla para la Bicondicional o Doble-implicación.

29. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • La negación de p:

30. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tautologías y Contradicciones: • A partir de las tablas simples ya tratadas se pueden construir otras tan amplias como sea necesario, que son muy útiles para demostrar la “certeza” de las denominadas funciones proposicionales. • Ejemplo. Demostrar, a través de una tabla que la operación condicional es distributiva con respecto a la operación de conjunción. • Esta propiedad se representa a continuación como: • p→(q & r) ≡ (p→q) & (p→r). • También podría ser: [p→(q & r)] ↔ [(p→q) & (p→r)].

31. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tautologías y Contradicciones : • Una expresión como la anterior se llama función proposicional. • Podría ponerse como P(p,q,r). • Una función proposicional como la demostrada, que es siempre verdadera sin importar el valor de las variables proposicionales que la componen, se llama Tautología. • Todas las leyes y teoremas de matemáticas son expresiones tautológicas. • A veces se dice que las expresiones Tautológicas son aquellas funciones proposicionales que en su tabla de verdad, poseen sólo 1 o V en toda su columna principal.

32. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Tautologías y Contradicciones: • Ejercicio resuelto 1: Demuestre que [(p→q)&(q→r)]→(p→q) es tautológica. • Ejercicio resuelto 2: Demuestre que [(p→q) & p] →q es tautológica. • Ejercicio resuelto 3: Demuestre que ~{[(p→q) & p] →q} es tautológica. • Como se observa la columna final cambia totalmente, poniendo 0 o F en toda ella. Estas funciones se llaman contradictorias o contradicciones.

33. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Contingencias: • Si al construir la tabla de una función proposicional, su columna principal produce 1 y 0 o V y F, esta se llama contingencia. • Ejercicio. Demostrar que [(p v q) → r] ↔ ¬r, es una contingencia. • Ejercicio. Demostrar que [(p & q) → r] ↔ (¬r v ~p), es una contingencia.

34. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Leyes del Algebra de proposiciones. Resumen: • 1. Leyes de Idempotencia. a) (pvp)↔p; b) (p&p) ↔ p. • 2. Leyes asociativas. a) [(pvq)vr]↔[pv(qvr)]; b) [(p&q)&r]↔[p&(q&r). • 3. Leyes conmutativas. a) (pvq)↔(qvp); b) (p&q) ↔ (q&p). • 4. Leyes distributivas. a) pv(q&r)↔(pvq)&(pvr); • b) p&(qvr)↔(p&q)v(p&r); • 5. Leyes de identidad. a) pv0 ≡ p, pv1 ≡ 1; b) p&1 ≡ p, p&0 ≡ 0. • 6. Leyes del complemento. a) pv~p ≡ 1, ~~p ≡ p; b) p&~p ≡ 0, ~(1) ≡ 0 y ~(0) ≡ 1. • 7. Leyes de De’Morgan. a) ~(pvq) ≡ ~p & ~q: b) ~(p&q) ≡ ~p v ~q

35. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Reglas de inferencia lógica. Resumen: • (Explicar cada una) • I. Modus ponendoponens (PP). [(p→q) & p]→q. • II. Doble negación (DN). p ≡ ~~p. • III. Modus tollendotollens (TT). [(p→q) & ~q]→~p. • IV. Ley de Adjunción (A). Setienen p y q, entonces p&q o q&p. • V. Ley de Simplificación (S). De p&q se saca p, q. • VI. Modus tollendoponens (TP). De pvq, y ~q, se concluye p. • VII. Ley de Adición (LA). Tenemos p, entonces pvr, etc.

36. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Más reglas de inferencia lógica. • VIII. Ley del silogismo hipotética (HS). De p → q y q → r, se puede concluir que p → r . • IX. Ley del silogismo disyuntivo (DS). De p v q y p → r y q → s, se pude deducir r v s, o se pude deducir s v r. • X. Ley del simplificación disyuntiva (DP). De p v q y p → r y q → s, se pude deducir r v s, o se pude deducir s v r. • XI. Ley de las proposiciones bicondicionales (LB). De p ↔ q, se pueden deducir: • - p → q y q → p; • - (p → q) & (q → p); • Y, si se tienen p → q y q → p, entonces se concluye que p ↔ q. • XII. Regla de premisa (P). Se puede introducir convenientemente una premisa en cualquier punto de una deducción lógica.

37. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Más reglas de inferencia lógica. • XIII- Regla de la demostración condicional (CP). Dice así: • Si es posible deducir una proposición s de otra proposición r y un conjunto de premisas, entonces se puede deducir sólo del conjunto de premisas la proposición condicional r → s.

38. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Práctica # 1 (valor 5%): • Hacer los ejercicios de texto Introducción a la Lógica Suppes y Hill (3ro del programa). • Parte B (4, 5, 6) página 61. • Parte C (4, 5, 6, 7) página 69. • Parte B (del 9 al 13) página 76. • Parte C (del 5 al 9) página 77. • Parte D (del 5 al 8) página 84. • Parte F (del 4 al 7) página 88. • Parte E (del 5 al 9) página 93. • Parte F (del 4 al 8) página 96. • Parte E (del 5 al 8) página 105. • Parte D (del 7 al 10) página 109.

39. Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad I. Elementos de lógica matemática. • Cuantificadores: • El cuantificador universal. Se denomina así a la simbología que muestra las características más universales (generales) de las partes de un todo (por ejemplo, de los elementos de un conjunto). El símbolo más comúnmente empleado es ++. • El cuantificador existencial. Se denomina así a la simbología que muestra la existencia de algún elemento con ciertas características (algunos o un único). Los símbolos más comúnmente empleado son ++. • El cuantificador nulo. Se denomina así a la simbología que muestra la no existencia de características en un elemento. El símbolo más comúnmente empleado es ++. • Relación entre cuantificadores.