2.32k likes | 7.9k Views
TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT. INDUKSI MATEMATIKA. INDUKSI MATEMATIKA. Cara / Teknik membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat Contoh : p ( n ): “ Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n ( n + 1)/2” .
E N D
TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT INDUKSI MATEMATIKA
INDUKSI MATEMATIKA • Cara / Teknikmembuktikankebenarandarisuatupernyataan • Metodepembuktianuntukpernyataanperihalbilanganbulat • Contoh: p(n):“Jumlahbilanganbulatpositifdari 1 sampainadalahn(n + 1)/2”. Buktikanp(n) benar!
INDUKSI MATEMATIKA • Induksimatematikamerupakanteknikpembuktian yang bakudidalammatematika. • Melaluiinduksimatematikkitadapatmengurangilangkah-langkahpembuktianbahwasemuabilanganbulattermasukkedalamsuatuhimpunankebenarandenganhanyasejumlahlangkahterbatas.
PrinsipKerjaInduksi • Misalkanp(n) adalahpernyataanmengenaibilanganbulatpositif. • Kita inginmembuktikanbahwap(n) benaruntuksemuabilanganbulatpositifn. • Untukmembuktikanpernyataanini, kitahanyaperlumenunjukkanbahwa: 1. p(1) benar, dan 2. jikap(n) benar, makap(n + 1) jugabenar, untuksetiapn 1,
PrinsipKerjaInduksi • Langkah 1 dinamakanlangkahbasis, langkah 2 dinamakanlangkahinduksi. • Langkah basis berisiasumsi (andaian) yang menyatakanbahwap(n) benar. Asumsitersebutdinamakanhipotesisinduksi. • Hipotesisinduksidigunakanuntukmendukunglangkahinduksi. • Bilakitasudahmenunjukkankedualangkahtersebutbenarmakakitasudahmembuktikanbahwap(n) benaruntuksemuabilanganbulatpositifn.
Contoh (2) • Buktikanbahwajumlahnbuahbilanganganjilpositifpertamaadalahn2!
SolusiContoh (2) • Langkah 1 (Basis): Untukn = 1, jumlahsatubuahbilanganganjilpositifpertamaadalah n2 = 12 = 1. Inibenarkarenajumlahsatubuahbilanganganjilpositifpertamamemang 1.
SolusiContoh (2) • Langkah 2 (Induksi): Andaikanp(n) benar, yaitupernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 adalahbenar (hipotesisinduksi) catatlahbahwabilanganganjilpositifke-nadalah (2n – 1). Kita harusmemperlihatkanbahwap(n +1) jugabenar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 ……………..Terbukti
LATIHAN • Untuksemuabilanganbulattidak-negatifn, buktikandenganinduksimatematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n= 2n+1 – 1 • Buktikan P(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 untuk n > 1