Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE_04_PVP_226_Sed Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. soustavy ROVNIC

4. Obsah • Základní pojmy • Metody řešení soustav • Soustavy 2 rovnic o dvou neznámých • Soustavy 3 rovnic o třech neznámých • Soustavy rovnic, z nichž jedna je kvadratická • Slovní úlohy • Příklady na procvičení • Výsledky úloh • Použitá literatura

5. Vymezení pojmů • Řešením soustavy 2 lineárních rovnic o dvou neznámých je taková uspořádaná dvojice čísel , která po dosazení do původní soustavy za příslušné proměnné potvrdí platné rovnosti. • Obecný zápis soustavy o 2 neznámých: • Kde:

6. Metody řešení soustav 1. Metoda sčítací (aditivní) 2. Metoda dosazovací (substituční) 3. Metoda srovnávací (komparační) 4. Metoda grafická

7. 1. Metoda sčítací Vhodnou úpravou a sečtením obou rovnic se jedna neznámá vyruší. Řeší se pak rovnice o jedné neznámé. Příklad č. 1:

8. 2. Metoda dosazovací Z libovolné rovnice se vyjádří jedna neznámá a tento nový výraz se dosadí do rovnice druhé. Řeší se pak lineární rovnice o jedné neznámé. Příklad č. 2:

9. 3. Metoda srovnávací Spočívá v tom, že se z obou rovnic vyjádří stejná neznámá (případně stejné výrazy) a tyto výrazy se vzájemně porovnají. Příklad č. 3:

10. 3. Metoda srovnávací - pokračování

11. 4. Metoda grafickáKaždá z rovnic představuje lineární funkci, která je graficky vyjádřena přímkou. Řešením soustavy je pak uspořádaná dvojice [x;y],která charakterizuje bod společný oběma přímkám. Příklad č. 4:

12. 4. Metoda grafická- pokračování příkladu č. 4 • Přímka p - graf lineární funkce č. 1: • Je určena body: • Přímka q- graf lineární funkce č. 2: • Je určena body: • Průsečík P– společný bod obou přímek, jeho souřadnice jsou řešením dané soustavy rovnic • ; y = 2

14. Příklad č. 5: Řešení:

15. Příklad č. 5: - pokračování Řešením je uspořádaná dvojice čísel Poznámky: • Při řešení rovnice byly použity pouze ekvivalentní úpravy, proto nejsou zkoušky nutnou součástí příkladu. • Případné zkoušky se provádí dosazením za x a y do obou rovnic.

16. Soustava třech rovnic o 3 neznámých • Řešením soustavy 3 lineárních rovnic o třech neznámých je taková uspořádaná trojice čísel , která po dosazení do původní soustavy za příslušné proměnné potvrdí platné rovnosti. • K řešení lze využít všechny výše uvedené metody kromě metody grafické. • Vhodné je začít metodou dosazovací. Užitím tohoto postupu se zjednoduší zadaný příklad na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

17. Příklad č. 6: Z rovnice č. 1: Do rovnice č. 2: Do rovnice č. 3 :

18. Soustava lineární a kvadratické rovnice • Při řešení těchto soustav se používá v drtivé většině případů dosazovací metoda. • Z lineární rovnice se vyjádří jedna neznámá a dosadí do rovnice kvadratické. • Kvadratická rovnice se vyřeší. • Ze substituční rovnice se dopočítají hodnoty druhé neznámé.

19. Příklad č. 7: Z rovnice č. 2: Do rovnice č. 1: Dosazením do substituce:

20. C. Slovní úlohy • Většinu slovních úloh lze řešit také pomocí lineární rovnice o jedné neznámé. • Postup řešení slovních úloh: • Důkladné několikanásobné přečtení zadání • Vyjádření jedné i druhé neznámé na základě textu • Rozbor úlohy = matematizace reálné situace • Sestavení dvou rovnic o dvou neznámých • Zkouška, ověření výsledku • Formulace odpovědi

21. Příklad č. 8:Rozdíl součtu a rozdílu dvou čísel je o 14 menší než dvojnásobek jejich součtu. Dvojnásobek druhého čísla je o tři větší než první číslo. Určete součin obou čísel. • první číslo • druhé číslo • součet obou čísel • rozdíl obou čísel • dvojnásobek druhého čísla Sestavení a řešení soustavy rovnic: • Odpověď : Součin hledaných čísel je 35.

22. Příklad č. 9:Matce a dceři je dohromady 34 let. Před dvěma roky byla matka pětkrát starší než dcera. Za kolik let dosáhne dcera plnoletosti? • současný věk matky • současný věk dcery • věk matky před 2 lety • věk dcery před 2 lety Sestavení a řešení soustavy rovnic: plnoletost = 18 • Odpověď : Dcera dosáhne plnoletosti za 11let.

23. Příklady na procvičení – I. část 1. 2. 3. 4.

24. Příklady na procvičení – II. část 5. 6. 7.

25. Příklady na procvičení – III. část 8. Zvětšíme-li jmenovatele neznámého zlomku o jedničku, dostaneme jednu čtvrtinu. Zvětšíme-li v onom zlomku čitatele o 1, dostaneme jednu třetinu. Určete původní zlomek. 9. Víno ze sudu o objemu 3 hl bylo stočeno do 375 lahví. Některé z nich měly objem 7 dl, některé 1000 ml. Kolik bylo litrových lahví ? 10. Na večírku bylo třikrát více mužů než žen. Po předčasném odchodu osmi párů zbylo na večírku pětkrát více mužů než žen. Kolik bylo na večírku mužů?

26. Výsledky příkladů

27. LITERATURA: • POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 608 s. ISBN 80-719-6267-8. • HRUŠKA, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení. 1. vyd. Olomouc: Agentura Rubico, s.r.o., 2012. ISBN 80-7346-149-2. • VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN 80-720-0012-8. • VOŠICKÝ, Zdeněk. Cvičení k matematice v kostce: [pro střední školy]. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, c1999, 208 s. ISBN 80-720-0251-1

28. LITERATURA: • KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053. • SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky : základní obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 96 s. Sbírky úloh pro společnou část maturitní zkoušky. ISBN 80-211-0400-7. • ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9.

29. LITERATURA: • KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní akademie. 5. upr. vyd. Svitavy: SOFICO-CZ, 2005, 168 s. • PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. • Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.