ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

1. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS AS ESTRUTURAS PARTE 2

2. IV – MONÓIDE COMUTATIVO • Definido pelo par (A, ) onde a operação , • definida em A, é: • associativa, • (b) tem elemento neutro, • (c) não admite inverso e • (d) é comutativa. Exemplo: conjunto N e a operação adição. V – GRUPO Formado pelo par (A, ) onde a operação , definida no conjunto A, (a) é associativa, (b) tem elemento neutro, e (c) todo elemento de A é inversível. Exemplo: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e determinante diferente de zero, munido da operação multiplicação. VI – GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO É um grupo onde a operação ,além das propriedades características e um grupo, é comutativa. Exemplo: conjunto Z e a operação adição.

3. A, N, I, C A a  (b  c) = (a  b)  (a  c) VII – ANEL Consiste no sistema (A, , ), onde: - A é o conjunto -  e  são as operações O conjunto (A, ) constitui um grupo abeliano. O conjunto (A, ) é um grupóide. A operação  deve ser distributiva em relação à operação . Se a operação  for comutativa, a estrutura denomina-se ANEL COMUTATIVO. Será um ANEL COM IDENTIDADE ou ANEL UNITÁRIO quando  apresentar elemento neutro. Exemplo:  O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com as operações adição e multiplicação constitui um anel, não comutativo, com identidade.

4. A, N, I, C VIII – CORPO É o mesmo trio que constitui um anel, isto é (C, , ). No corpo, as duas operações devem ser grupos abelianos. Convém ficar claro que, o elemento neutro da primeira operação não tem inverso para a segunda operação. Deve também ser observada a distributividade de  em relação a . Exemplo: Conjunto Q com as operações adição e multiplicação. O neutro da adição (zero) não tem inverso para a multiplicação.

5. IX – ESPAÇO VETORIAL Nesta estrutura temos dois conjuntos. Um dos conjunto, cujos elementos são chamados de OPERADORES, deve apresentar uma estrutura de CORPO. O outro conjunto deve apresentar uma estrutura (mínima) de MONÓIDE, podendo apresentar inversibilidade apenas à esquerda ou à direita. Seus elementos são chamados de VETORES. Uma operação externa liga os dois conjuntos. Nesta operação, o resultado será um elemento do segundo conjunto. Sejam: A = {a, b, c} - conjunto dos operadores B = {, , } - conjunto dos vetores.  e  - operações no corpo A.  - operação no conjunto B, dos vetores  - operação externa.

6. operadores A   B vetores O quadro abaixo apresenta um esquema da estrutura ESPAÇO VETORIAL. A, N, I, C a  (b  c) = (a  b)  (a  c) (distributiva) a, b, c A, N, I, C a    B.  - operação externa , ,  A, N, inverso à esquerda ou à direita – no mínimo.  Propriedades a serem observadas: (1) a  (b ) = (a  b)  (associatividade) (2) a  () = (a )  (a ) (distributividade) (3) (a  b)  = (a )  (b ) (distributividade).