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BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 3

BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 3. Filtro di Kalman Caso scalare. MODELLO DEL SEGNALE : Processo autoregressivo del primo ordine. EQUAZIONE DI MISURA. w(k-1). x(k). y(k). c. STIMATORE. +. +. +. T. +. v(k). a. Filtro di Kalman Caso scalare.

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Presentation Transcript

  1. BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 3

  2. Filtro di Kalman Caso scalare MODELLO DEL SEGNALE: Processo autoregressivo del primo ordine EQUAZIONE DI MISURA w(k-1) x(k) y(k) c STIMATORE + + + T + v(k) a

  3. Filtro di Kalman Caso scalare A(k) e B(k) si trovano minimizzando l’errore quadratico medio. Equazioni di Ortogonalita’: L’errore è ortogonale alla stima al passo precedente e alle misure.

  4. Filtro di Kalman Caso scalare RELAZIONE FRA A(k) e B(k)

  5. Filtro di Kalman Caso scalare La stima può quindi essere scritta: PREDIZIONE CORREZIONE Tale stima consta della somma di due termini: il primo rappresenta la predizione in base alla stima al passo precedente, il secondo è la differenza, pesata con il coefficiente B(k) (GUADAGNO DI KALMAN), fra la misura in k e la migliore predizione della misura in base alla stima al passo precedente.

  6. Filtro di Kalman Caso scalare Si deve ora trovare un’espressione recorsiva per B(k). Questa può essere ottenuta con il seguente procedimento:

  7. Filtro di Kalman Caso scalare

  8. Filtro di Kalman Caso scalare Le equazioni del filtro diventano quindi:

  9. Filtro di Kalman vettoriale Nel caso in cui: x:vettore (nx1), u:vettore (qx1), y:vettore (1xr), A: matrice (nxn), B:matrice (nxq), C:matrice (rxn) le equazioni del filtro di Kalman diventano: Stimatore x*= Ax*(k-1) + K(k)[y(k) – CAx*(k-1)] Guadagno del filtro K(k) = P1(k)CT[C P1(k)CT + R(k)] –1 dove P1(k) = AP(k-1)AT + Q(k-1) R(k) e Q(k) sono rispettivamente le matrici di covarianza dell’errore di misura v e del rumore additivo presente nell’equazione del modello w Matrice di covarianza dell’errore P(k) = P1(k) – K(k)C P1(k)

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