BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 2

1. BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 2

2. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo Il filtro di Wiener è lo stimatore ottimo non recorsivo dal punto di vista dell’errore quadratico medio pe = E(e2). IPOTESI: 1. y(k) = x + v(k) non essenziale 2. x e v processi stazionari 3. M  Il filtro non lavora il tempo reale. Gli m campioni di y sono tutti acquisiti Si ha un filtro lineare tempo-invariante per cui y* x* =i h(i) y(i) i=1...M le h(i) vanno calcolate minimizzando pe = E(e2) pe = E[x - i h(i) y(i) ]2 pe/ h(j) = -2 E[x - i h(i) y(i) ]y(j) = 0 j=1...M  E[e y(j)] = 0 i h(i) E[y(i) y(j)] = E[xy(j)] j=1...Mi h(i) py(i,j) = pxy(j) py(i,j) e pxy(j) noti, h(i) incognita pe =E(e2)=E{e[ x - i h(i) y(i) ]}=[ E(x2) -i h(i) E[xy(i)] = E(x2) -i h(i) pxy(i)

3. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo Tenendo presente che la matrice Py è simmetrica py(i,j) = py(j,i) In forma matriciale si ottiene: h = Py-1 pxy EQUAZIONE DI WIENER-HOPF x*= hT y =pxyT Py-1 y pe= E(x2) – pxyT Py-1 pxy Con h, y vettori colonna (M1) Py matrice di autocorrelazione (M  M) pxy vettore di mutua correlazione (M1) Osservazioni pratiche: Se ci si discosta dalle ipotesi di base si ha un filtro subottimo.

4. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo APPLICAZIONI – Esempio 1 sv2 se k=j y(k) = x + v(k) con: E(x) =0; E(x2) = sx2; E(v)=0; E[v(k)v(j)] = 0 se kj La soluzione con la formula di Wiener-Hopf porta a: h(1) = h(2) = ...........= h(M) = x* = g = pe = per M grande pe

5. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo APPLICAZIONI – Esempio 2 y(k) = x ·k + v(k) rampa con coefficiente angolare x E(x) =x0; E(x2) = [E(x)]2+sx2 =S; E(v)=0; E[v(k)v(j)] =sv2 per i=k 0 per ik Stimare la x* noti 2 punti per k=1 e k=2 (S+sv2)h(1) + 2Sh(2) = S 2Sh(1) + (4S+sv2)h(2) = 2S

6. Filtro di Wiener Stimatore ottimo non recorsivo • SVANTAGGI DELLA FORMULAZIONE NON RECORSIVA • I principali svantaggi nell’applicazione della formulazione non recorsiva del filtro di Wiener sono: • Richiede la conoscenza a priori della Py e della pxy. • Il numero di campioni m viene definito a priori • Se m cambia per qualunque ragione (ad es. più dati disponibili) il calcolo va ripetuto • Richiede l’inversione di una matrice (mxm) Py che può essere laboriosa.

7. Filtro di Wiener Formulazione recorsiva Nel caso in cui: Si può ottenere una formulazione recorsiva ricordando che: h(k) = Infatti si può scrivere : y(k+1) x*(k+1) + + - a(k) + T x*(k)

8. Filtro di Wiener Segnale variabile nel tempo Consideriamo che y(k) = x(k)+v(k) con y(k) e x(k) campioni di grandezze scalari x(t) e y(t). La misura varia quindi non solo per il contributo del rumore ma anche per la variabilità nel tempo del segnale. Minimizzando l’errore quadratico medio per ogni k si otterrà un’espressione analoga al caso in cui x era costante e precisamente: pe(k) = E[x(k) - i h(i) y(i) ]2  pe(k) / h(j) = -2 E[x(k) - i h(i) y(i) ]y(j) = 0 j=1...M i h(i) E[y(i) y(j)] = E[x(k)y(j)] j=1...M Poichè si dovrà scrivere un’equazione del tipo per ogni k si avrà: i h(k,i) E[y(i) y(j)] = E[x(k)y(j)] j,k=1...M In forma vettoriale si avrà: HE(yyT) = E(xyT) h(1,1)...h(1,j)...h(1,m) E[x(1)y(1)]...E(x(1)y(m) E[y(1)y(1)]...E(y(1)y(m) conH = h(k,1)...h(k,j)...h(k,m E(xyT) = E[x(k)y(1)]...E(x(k)y(m) E(y yT) = E[y(k)y(1)]...E(y(k)y(m) h(m,1)...h(m,j)...h(m,m) E[x(m)y(1)]...E(x(m)y(m) E[y(m)y(1)]...E(y(m)y(m)

9. Si consideri ora il caso in cui, in k, si abbiano q segnali x: x1(k), x2(k),...xq(k) ed r osservazioni y: y1(k), y2(k),...yr(k). In tal caso si ha: H E(YYT)=E(xYT)  H Py=Pxy H(1,1) H(1,2).....H(1,m) hki(1,1)...hki(1,r) H = ................................... H(k,i) = ............. H(m,1) H(m,2).....H(m,m) hki(q,1)...hki(q,r) Py(1,1) Py(1,2)..... Py(1,m) pyij(1,1)... pyij(1,r) Py = ................................... Py(i,j) = ............. Py(m,1) Py(m,2)..... Py(m,m) pyij(r,1)... pyij(r,r) Pxy(1,1) Pxy(1,2)..... Pxy(1,m) pxyij(1,1)... pxyij(1,r) Pxy = ................................... Pxy(i,j) = ............. Pxy(m,1) Pxy(m,2)..... Pxy(m,m) pxyij(q,1)... pxyij(q,r) Filtro di Wiener Segnale e Osservazione vettoriale