Análisis Combinatorio

1. Objetivo de la Unida Análisis Combinatorio Analizar los principios fundamentales del análisis combinatorio. Resolver situaciones problemáticas aplicando el análisis combinatorio con y sin  uso de la calculadora. Valorar la importancia del uso de la calculadora para la resolución de problemas matemáticos. Reconocer la importancia de las variaciones, permutaciones y combinaciones como técnicas para resolver problemas científicos.

2. Teoría Combinatoria La Combinatoria es una rama de las matemáticas cuyo objeto es estudiar las posibles agrupaciones de objetos que podemos llevar a cabo de un modo rápido teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellas. Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.

3. El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de ArsConjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas. El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias.

4. Por ejemplo:1) Con 3 colores diferentes ¿cuántas banderas tricolores podemos hacer colocando los colores horizontalmente? Una bandera de otra se diferencia en tener un color diferente o en el orden de colocación de los colores.2) Cuantas combinaciones de 2 números diferentes podemos hacer con los números del sistema decimal.3) si tu numero telefónico es 829-920-6656, y alteramos el orden: 829-920-5666, es el mismo numero telefónico? Como pudimos observar en los ejemplos, las teorías combinatorias nos pueden ayudar a resolver múltiples problemas de la vida diaria. L R Y

5. Teorema Fundamental del Análisis Combinatorio • Si un evento A ocurre de m manera diferentes, y un segundo evento B de n manera diferentes, entonces A seguido de B ocurre de m x n manera diferentes. • Ejemplo 1: Para ir de Santo Domingo a Santiago hay 3 maneras: Carro, Avion y Guagua. Para ir de Santiago a Puerto Plata hay 2 maneras: Guagua y Tren. De cuantas manera puede ir un ciudadano de Santo Domingo a Puerto Plata? • 3 x 2 = 6 de seis manera distintas.

6. En general la teoria combinatoria es de gran utilidad en aquellas áreas donde distintas maneras de agrupar un numero finito de elementos tenga importancia. • En el análisis combinatorio se distinguen las variaciones, las permutaciones y las combinaciones.

7. Las Variaciones Llamamos variaciones a los distintos grupos de elementos que podemos formar tomados de n en n de un total de m elementos. Hay dos tipos de variaciones: sin repetición y con repetición. Variaciones sin repetición: los elementos no pueden repetirse en el grupo dado. Las variaciones de m elementos tomados de n en n, se detona así: m V n = m(m-1) (m-2) … (m-2+1) Ejemplo:¿Cuántos grupos de 2 cifras (n) podemos formar con las cifras 1, 2 y 3 (m)? m V n = 3(3-1) 3 V 2 = 3 x 2 = 6

8. Variaciones ¿Cuántos grupos de 3 cifras (n) podemos formar con las cifras 1, 2, 3, y 4 (m)? n = 3 y m = 4 elementos m V n = m(m-1)(m-2) 4 V 3 = 4 x 3 x 2= 24 cifras Con la letras {a,b,c,d,e}. Cuantos grupos diferentes se pueden formar tomado de 3 en 3?

9. Variaciones Para hallar el números de variaciones de cualquier caso dado, también lo podemos hacer mediante la formula: m!: Significa factorial un número. Para hallar el factorial de un numero se utiliza la formula m! = m x (m-1) x (m-2) x …. x 1 Así el factorial de 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Probar los ejemplos anteriores con la formula.

10. Variaciones con Repetición En estos casos los elementos pueden repetirse en la formación de los grupos. Ejemplo: cuantos grupos diferentes de 2 en 2 puemos formar con la palabra AMOR: m = 4 y n = 2 = AA, AM, AO, AR, MM, MA, MO, MR OO, AO, OM, OR RR, RA, RM, RO

11. 2) Cuantas variaciones con repetición podemos hacer con las 5 vocales tomadas de 2 en 2? • 3) ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 ? • m = 4     n = 3 • No entran todos los elementos. De 4 dígitos entran sólo 3. • Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. • Sí se repiten los elementos.

12. Las permutaciones PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN • Partiendo de un número m de elementos, llamamos permutaciones a los distintos grupos que podemos formar con los m elementos entrando todos los elementos en cada grupo.Un grupo de otro se diferencia en el orden de colocación de sus elementos.Tiene cierto parecido con las variaciones, su diferencia es que m y n son iguales.Según lo que acabas de leer podemos escribir: • Vemos que las permutaciones de m elementos es igual al producto de m factores decrecientes a partir de m de unidad en unidad hasta llegar a 1.(Factorial de un numero) • Con las cifras 1, 2 y 3 podemos hacer 6 números distintos:

13. Permutaciones • Cuantas permutaciones se pueden hacer con la palabra AMOR? • Cuantas permutaciones se pueden hacer con la palabra SAL?

14. Permutaciones con repetición • En el caso de repetir algún elemento, dos veces, como en el caso de la palabra ala, en la que el elemento a se repite dos veces, escribiríamos:  • Para saber las permutaciones que podemos hacer cuando un elemento, como en el caso de la palabra ala se repite dos veces, tenemos que dividir el total de las permutaciones de los n elementos entre las permutaciones del número del elemento que se repite.En este caso, como el elemento a se repite 2 veces tendremos: • Los grupos que podemos formar son:   ala, aal, laa

15. Permutaciones con repetición • Las permutaciones que podemos hacer con la palabra masa serán: • masa, maas, msaa, amsa, amas, asma, asam, aams, aasm, smaasama, saam • Las permutaciones que podemos hacer con la palabra banana

16. Las combinaciones