1 / 39

Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE . Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Janusza Korczaka w Chojnie ID grupy: 98/2_MF_G1 Opiekun: Małgorzata Madejczyk Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: TP057 Od równań liniowych Semestr IV rok szkolny 2011/2012. RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ.

nolen
Download Presentation

Dane INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Janusza Korczaka w Chojnie • ID grupy: 98/2_MF_G1 • Opiekun: Małgorzata Madejczyk • Kompetencja: • Matematyczno – fizyczna • Temat projektowy: • TP057 Od równań liniowych • Semestr IV rok szkolny 2011/2012

  2. RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ

  3. Niektóre równania z jedną niewiadomą nie mają rozwiązań. Takie równanie nazywamy sprzecznym. • Można również zapisać równania, które spełnia każda liczba rzeczywista. Takie równanie nazywamy tożsamościowym. x+ 1= x+6 równanie sprzeczne 2(x + 1 ) = 2x+ 2 równanie tożsamościowe

  4. METODY ROZWIAZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ

  5. Metoda podstawiania • Z jednego równania wyliczamy zmienną x lub y i podstawiamy ją do drugiego równania. Za pomocą drugiego równania obliczamy drugą zmienną. Mamy w ten sposób drugą zmienną w sposób jawny, za jej pomocą wyliczamy pierwszą zmienną. • Przykład: -3x + 2y = 4 • x + 3y = 6 • Z drugiego równania mamy: • x = 6 - 3y • Wstawiamy do pierwszego: • -3(6 - 3y) + 2y = 4 • -18 + 9y + 2y = 4 • 11y = 22 • y = 2 • Wstawiamy y = 2 do x = 6 - 3y • Otrzymujemy: • x = 6 - 3*2 = 0 • Rozwiązaniem jest:y=2 • X=0

  6. Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na działaniu na równaniach układu tak, aby wyeliminować jedną z niewiadomych i uzyskać równanie liniowe z jedną niewiadomą. Dozwolonymi działaniami na układzie są:* Mnożenie i dzielenie równań przez liczbę różną od 0.* Dodawanie i odejmowanie równań.* Dodawanie i odejmowanie stałych liczbowych do równań.

  7. Układ równań, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym. • Układ równań, który nie ma rozwiązań, to układ sprzeczny. • Układ równań może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Taki układ nazywamy układem nieoznaczonym. x+ y= 4 x- y= 0 układ oznaczony x+ y= 3 x+ y= 5 układ sprzeczny x+ y= 1 2x+2y= 2 układ nieoznaczony

  8. Papirus Matematyczny Rhind - nazwa jego pochodzi od nazwiska szkockiego adwokata i egiptologa - amatora - Aleksandra Henriego Rhinda. Został odnaleziony w wyniku nielegalnych prac wykopaliskowych w Ramesseum lub w jego okolicach, zakupiony przez Rhinda w 1858 roku w Luksorze. Datowany na czasy Drugiego Okresu Przejściowego, egipski papirus zawiera rozważania matematyczne. Napisany w hieratyce przez pisarza Ahmose, prawdopodobnie stanowi kopię wcześniejszego, obecnie zaginionego lub już nieistniejącego dokumentu z czasów Amenemhata III, z czasów XII dynastii. Jego szerokość wynosi 33 centymetry, a długość 5 metrów. Obecnie znajduje się w Muzeum Brytyjskim. Niewielkie jego fragmenty znajdują się także w Muzeum Brooklynskim w Nowym Jorku. Obok Moskiewskiego Papirusu Matematycznego stanowi dowód wysokiej wiedzy matematycznej, jaką osiągnięto w starożytnym Egipcie już w czasach Średniego Państwa. Zawiera 87 zadań popartych przykładami i rozwiązaniami: z algebry, geometrii, postępu arytmetycznego, miar i wag oraz odwrotności, spisane na obydwu stronach: awersie i rewersie.

  9. KRÓTKA HISTORIA UKŁADÓW RÓWNAŃ-ŚLADAMI MATEMATYKI,CIEKAWOSTKI

  10. Niewiadoma – w pojęciu nauk ścisłych określenie wielkości poszukiwanej, której wartość liczbowa jest zależna od różnych mierzalnych czynników, która może zostać zastąpiona symbolem niewiadomej (szukanej) i znaleziona doświadczalnie lub przez rozwiązanie równań lub nierówności. Proste przykłady niewiadomych w: w równaniu liniowym z jedną niewiadomą: 2x - 3 = 4 – niewiadomą jest x w równaniu liniowym z dwiema niewiadomymi 3x - 4y = -2 – niewiadomymi są xiy w nierówności sin x - 2cos y = z – ztrzema niewiadomymi: x, y i z.

  11. INNY PRZYKŁAD NIEWIADOMEJ • Cztery stosy i trzy dają tyle, co dwa stosy i siedem. Znajdź stos.

  12. Diofantos– matematyk grecki żyjący w III wieku n.e. w Aleksandrii. Z jego głównego dzieła Arytmetyka, składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych. Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równania - , oraz znak odejmowania (). Według legendy na jego nagrobku widniał napis: „ Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia.Przechodniu, oblicz długość jego życia!’’

  13. A. van Roomen- nazywany jest ,,ojcem algebry’’. Rozwinął liczbę π do dziesiątego miejsca po przecinku. W 1593 r. Roomen zaproponował problem, który dotyczył równania 45 stopnia. Ambasador z Niderlandii 92 zwrócił uwagę Henrykowi IV na temat 2 niskiego poziomu francuskich matematyków, mówiąc, iż żaden z nich nie potrafiłby rozwiązać równania Roomena. Henryk zwrócił się z tym zadaniem do Viete`a, który rozwiązał owy problem, Uświadamiając sobie, że jest to trygonometryczna relacja. W rezultacie zrodziła się wielka przyjaźń pomiędzy nim a Roomenem. Viete proponował problem rysunku koła, dotykającego trzech Romen rozwiązał owe zadanie, publikując wynik. Sam Viete opublikował swą odpowiedź na zadanie Romena, w 1596 r.

  14. Józef Maria Hoene-Wroński- zajmował się analizą matematyczną, a zwłaszcza rozwijaniem funkcji w szereg potęgowy oraz równaniami różniczkowymi. Do jego najważniejszych osiągnięć należy opracowanie wyznacznika funkcyjnego równań, nazwanego od jego nazwiska wrońskianem. Jako że dowody swoich twierdzeń zamieszczał, a właściwie ukrywał, w obszernych rękopisach, nazywano go niekiedy "sfinksem matematyki".

  15. PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ZASTOSOWANIEM UKŁADÓW RÓWNAŃ

  16. Zad. 1 Basia i Ewelinka mają razem 360 kart telefonicznych. Jeśli Ewelinka odda Basi 10% swoich kart, to każda będzie miała tyle samo. Ile kart telefonicznych ma każda z dziewczynek? b - karty Basie - karty Ewelinki e - 0,1e = b+ 0,1e b + e = 360 b = 360 - e e - 0,1e = 360 - e + 0,1e b = 360 – e 1,8e = 360 e = 200 b = 160Odp. Basia ma 160 kart, a Ewelinka 200.

  17. Zad. 2 Na parkingu stoi razem 25 samochodów i motocykli. Łącznie mają 86 kół. (W samochodzie nie liczymy kół zapasowych). Ile jest samochodów, a ile motocykli? x-samochody y- motocykle x+y=25 4x+2y=86 |:2 x+y=25 |*(-1) 2x+y=43 -x-y=-25 2x+y=43 ________ x=18 18+y=25 y=7 x=18 y=7 Odp. Samochodów jest 18 a motocykli 7.

  18. Zad. 3 Motorówka poruszająca się z prądem rzeki pokonała w ciągu 2h odległość 240km. Płynąc pod prąd w ciągu 1h pokonała odległość 50km. Oblicz prędkość własną motorówki i prędkość prądu rzeki. x - prędkość rzeki y - prędkość łódki (x + y)*2=240 - obie prędkości się sumują (y + x)*1=50 - prędkość łodzi pomniejszona jest o prędkość prądu rzeki 2x+2y=240 y-x=50 | * 2 2y+2x=240 2y-2x=100 4y=340 | : 4 y=85 y=85 y-x=50 85-x=50 x=35 x= 35 y= 85 Odp. Łódka poruszała się z prędkością 85km/h, rzeka płynęła z prędkością 35km/h. +

  19. Zad. 4 Dwa borsuki ważą tyle, co trzy lisy, a dwa lisy ważą o 5kg więcej od jednego borsuka. Ile waży borsuk? b- waga borsuka l- waga lisa 2b= 3l 2l – 5= l l= 5 2b= 3l 2b= 15 | :2 b= 7,5 l= 5 b= 7,5 Odp. Borsuk waży 7,5 kg.

  20. Zad. 5 Pan Zabłocki od trzech lat handluje mydłem. W pierwszym roku interes szedł świetnie . W drugim roku sprzedał o 40 % mydła mniej, a w trzecim roku połowę tego, co w roku poprzednim. W ciągu trzech lat sprzedał 3.8 tony mydła. Ile sprzedał w ostatnim roku? x- pierwszy rok 0,6x - drugi rok 0,3x- trzeci rok 3,8t- sprzedał razem x+0,6x+0,3x = 3,8t 1,9x= 3,8t x=2t   Ostatni rok 0,3*2t = 0,6t Odp. W ostatnim roku sprzedał 0,6 tony mydła.

  21. Zad. 6 Basia jest o 5 lat starsza od Agnieszki. Rok temu była dwa razy starsza od Agnieszki. Ile lat ma Agnieszka? x - wiek Basi y - wiek Agnieszki x = y + 5 x - 1 = 2(y - 1 )x = y + 5 x - 1 = 2y - 2x = y + 5 y+5 - 1 = 2y-2x = y + 5 y+4 = 2y-2x = y + 5 -y= -6x = y + 5 y= 6x = 6+ 5 y=6x=11y=6 Odp. Agnieszka ma 6 lat.

  22. Zad. 7 Normalny bilet do kina jest o 5zł droższy od biletu ulgowego. Pani kowal poszła do kina z dwojgiem dzieci i zapłaciła za bilety 41zl. Ile kosztował bilet ulgowy, a ile normalny? x – cena biletu ulgowegox+5 – cena biletu normalnego2x+x+5=413x+5=41 3x=36x=12 12zł- bilet ulgowy 12+5=17 zł - bilet normalny Odp. Bilet ulgowy kosztował 12 zł, a normalny 17 zł.

  23. Zad. 8 Na początku pewnego bardzo ważnego zebrania było o 5 kobiet więcej niż mężczyzn. Po 15 minutach przyszli jeszcze spóźnieni pan Józio i trzy panie z księgowości. Wtedy znudzony pan Tadeusz zauważył, że kobiet jest dwa razy więcej niż mężczyzn. Ile osób było wówczas na sali? x-liczba mężczyzn x+5-liczba kobiet x+1-l.m. po 15minutach spotkania x+5+3-l.k po 15 minutach spotkania 2(x+1)=x+8 2x+2=x+8 x=6 liczba gości 6+1+6+8=21 Odp. Na Sali było wówczas 21 osób.

  24. Zad. 9 Ania i Wojtek dostali od mamy po tyle samo pieniędzy na drugie śniadanie. Wojtek kupił 2 bułki i herbatę a Ania kupiła bułkę i 2 herbaty. Wojtkowi zostało 50gr a ani 1,40zł. Herbata kosztowała 90gr. Ile kosztowała jedna bułka? Wojtek: 2b + h Ania: b + 2h Mieli tyle samo pieniędzy: 2b + h + 50gr = 1,4zł + b + 2h h = 0,9zł 2b - b + h - 2h = 1,4zł - 0,5zł h = 0,9zł b - 0,9zł = 0,9zł b = 0,9zł + 0,9zł Odp. Bułka kosztuje 1,8 zł.

  25. Zad. 10 Gdyby 4 osoby przeszły z partii cymbałków do partii trąbek ,obie partie liczyły by tyle samo członków. Gdyby z partii trąbek 4 osoby przeszły do partii cymbałków to w cymbałkach byłoby 3 razy więcej członków niż w trąbkach. Ile osób należy do Trąbek? x - ilość osób w partii cymbałkówy - ilość osób w partii trąbekx - 4 = y + 43*(y - 4) = x + 4x = y + 83y - 12 = x + 4x = y + 83y - 12 = y + 8 + 4x = y + 82y = 24x = y + 8y = 12x = 20y = 12 Odp. Do trąbek należy 12 osób.

  26. Zad. 11 Za 5 pisaków i 2 piórniki zapłacono 105 zł. Cenę pisaka podwyższono o 15%, a cenę piórnika obniżono o 20%. Po zmianie cen za 4 pisaki i 3 piórniki zapłacono 121,8 zł. Oblicz nową cenę pisaka i nową cenę piórnika. y- cena pisaka x- cena piórnika 5y+ 2x= 105 1,15y* 4 + 0,8x* 3= 121,8 5y+ 2x= 105 /* (-12) 4,6y+ 2,4x= 121,8 /* 10 + - 60y – 24x= - 1260 46y + 24x= 1218 - 14y= - 42 / : (-14) y= 3 y=3 5y+ 2x= 105 2x= 90/ :2 X= 45 y= 3 x= 45 1, 15* 3= 3,45 zł 0,8* 45= 36 zł Odp. : Nowa cena pisaka to 3,45 zł , a piórnika to 36 zł.

  27. x- 5,2 = y x+ y= 15,6 x+ x- 5,2= 15,6 2x= 20,8 /:2 x= 10,4 x= 10,4x+ y= 15,6 10,4+ y= 15,6y= 5,2 y= 5,2x= 10,4Odp.: Drzewo zostało złamane na wysokości 10,4m. Zad. 12 Drzewo o wysokości 15,6m wicher złamał tak, że jego wierzchołek zawisł na wysokości 5,2m nad ziemią. Na jakiej wysokości od ziemi złamane zostało drzewo? y 15,6m x 5,2 m

  28. Zad. 13 Odległość miedzy miastem A i B wynosi 300km. Naprzeciw siebie jednocześnie wyruszyli dwaj kierowcy. Pierwszy kierowca poruszał sie z prędkością o 20km/h mniejsza niż drugi. Z jakimi prędkościami jechali kierowcy samochodów, jeżeli spotkali sie po 2h od chwili rozpoczęcia podroży. x- prędkość I kierowcy  y- prędkość II kierowcy   x+ 20= y2x+2y= 300 2x+ 2x +40= 300 4x= 260/ : 4 x= 65 x= 65 y= 85 Odp.: Kierowcy jechali z prędkościami 65km/h i 85 km/h . x y 300 km

  29. Zad. 14 Rozwiąż układ równań + 2x= 4| : 2 x= 2 x=2 2-y=1 -y= -1|:(-1) y= 1 y=1 x=2

  30. Teraz wstawiamy do pierwszego: Zad. 15 2 beczki zawierają 351 l. wody. gdyby z pierwszej beczki wypuścić 6 część a z drugiej 3 część to wtedy w obu beczkach pozostanie ta sama ilość wody. Ile litrów wody było w każdej beczce ? x - litry wody w pierwszej beczcey - litry wody w drugiej beczce Odp. W pierwszej beczce jest 156l, a w drugiej 195l.

  31. Zad.11 Gdy boki prostokąta powiększymy o 2cm i 5cm, to pole zwiększy się o 65cm2. Gdy boki odpowiednio zmniejszymy o 5cm i 2cm, to jego pole zmniejszy się o 54cm2. Jakiej długości są boki tego prostokąta? (a+2)(b+5)=ab + 65(a-5)(b-2)=ab – 54 ab+5a+2b+10=ab+65ab-2a-5b-10=ab-54 5a+2b=55 |*2-2a-5b=64 |*5 10a+4b=110 + -10a-25b=-320 -21b=-210 b=10 5a+2b=55 5a+20=555a=55-205a=35 |:5a=7b=10

  32. Zad.16

  33. Zad. 17

  34. Zad. 18

  35. Zad. 19

  36. Zad. 20

  37. Zad. 21

  38. BIBLIOGRAFIA • http://www.matematyka.lc3.pl/ • http://www.wikipedia.pl • http://kopernik.matfiz.polsl.pl/www/marcin.wozniak/inne/matematycy/Matematycy/Viete_Francois.html • http://www.cauchy.pl/ • http://www.matematyka.pl/ • http://matematyka.pisz.pl/

More Related