UNIDAD: Geometría

1. UNIDAD: Geometría Tema: Semejanza “Criterios de semejanza de triángulos” Macarena Fica Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática

2. ¡¡¡Pequeños y gigantes . . . . pueden ser semejantes …!!!

3. Figuras Semejantes . . . ????

4. ¿FigurasSemejantes?

5. FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes cuando mantienen su “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño. Si son semejantes

6. NO son figuras semejantes

7. 10cm 5cm 2cm 4cm Ejemplo: ¿Los siguientes rectángulos son semejantes? Semejanza: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes. • ¿Tienen sus lados homólogos (orespectivos) proporcionales? Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 •2 = 5 • 4 • ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Por ser rectángulo todos sus ángulos son rectos y miden 90°. Al cumplirse las dos condiciones anteriores, podemos decir que los dos rectángulosson semejantes

8. Ejercicios • Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? • Determina si estos rectángulos son semejantes.

9. Calcula sabiendo que los dos polígonos son semejantes • Determina si los siguientes polígonos semejantes

10. ¿son semejantes estos rectángulos? • Si estos polígonos son semejantes. ¿Cuanto mide ?

11. ¿Serán semejantes estos triángulos?

12. A A’ C B’ B C’ TRIÁNGULOSSEMEJANTES     ’   ’    ’ ’ Dos triángulos son semejantes si sus ánguloscorrespondientes son congruentes ysus ladoshomólogos son proporcionales.  ’ ’ (*) Congruente= igual medida (**) Homólogo = misma posición en cada figura.

13. Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de “Criterios de semejanza de triángulos”

14. Existen tres criterios de semejanza de triángulos: • AA ( ángulo - ángulo) • LLL (lado – lado - lado) • LAL (lado-ángulo-lado)

15. A´ A a´ a b g B C g´ b´ C’ B´ AA Primer criterio: Si los triángulos tienen dos ánguloscorrespondientescongruentes, entonces los triángulos son semejantes. Es decir: Si a = a´ y b = b´ (de lo anterior se deduce que g = g´ ) Entonces: Δ ABC ~ ΔA´B´C´

16. 80° 65° 35° 65° Ejemplo 1: ¿Son los siguientes triángulos semejantes? A B B A C ¡ Si ! C Porque al tener dos de sus ángulos correspondientes congruentes, cumplen con el criterio AA

17. b b´ A´ A a a´ c B C c´ C’ B´ Segundo criterio:LLL Si dos triángulos tienen los tres lados homólogos proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Es decir: b b´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. a a´ = r = = c c´ Entonces: D ABC ~ D A´B´C´

18. P B 1,5 C 3,5 1,5 3 3,5 7 5 10 7 5 10 A Q 3 R Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 y 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto : ΔABC ~ ΔPQR por criterio LLL

19. C C’ a a´ a B A a´ c A´ B´ c´ a a´ c c’´ ya = a´ Tercer criterio: LAL Si dos triángulos tienen dos lados homólogos proporcionales y los ángulos comprendido entre ellos congruentes, entonces los triángulos son semejantes. Es decir, si: = Entonces: D ABC ~ D A´B´C´

20. D A 9 E 3 3 9 12 C B 4 12 F Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales 4 = Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos Por criterio LAL, se afirma que: ΔABC ~ ΔDEF

21. Algunas aplicaciones de estos conceptos

22. 65 12 8 78 10 52 52 8 65 10 78 12 Representemos el ejercicio Ejercicio 1 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. ΔABC: 8 cm, 10 cm, 12 cmΔ PQR: 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

23. x 5 3 y 4 z x 3 y 4 z 5 Ejercicio 2 Representamos la situación = 9 12 = =15 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: 3 1 x 3 Entonces: x = 3 ·3 = 9 = = = = 3 = 3 y 4 y = 4· 3 =12 Escala de ampliación =3 La razón de semejanza es 3 z = 5 ·3 = 15 z 5 =3

24. 20 12 50 30 16 40 Ejercicio 3 Si los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente, y los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros, entonces ¿son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 3016 = 480 y 4012 = 480 además 4020 = 800 y 1650 = 800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 12 40 16 50 20 = =

25. Ejercicio 4 Prueba si los triángulos dados son semejantes Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 6  8 = 12 4 =48 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 4 6 = 12 8 Comprobemos que las medidas ángulos son congruentes Ambos ángulos miden 60° pero no se encuentra entre los lados homólogos proporcionales Entonces NO probar nada!

26. Ejercicio 5 Prueba si los triángulos dados son semejantes Comprobemos que las medidas ángulos son congruentes 180º − 100º − 60º = 20º Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

27. Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen ambos un ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo son congruentes. poste x 3m 2m sombra 4,5m 3 x 2 4,5 3 • 4,5 2 = x = Aplicación 1 Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema ubicando los datos en él) El triángulo definido por el poste y su sombra con el triángulo formado por el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto: Formamos la proporción = 6,75m de donde

28. Aplicación 2 Durante la noche, Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don José, de pie junto al poste, es de 4 m. Si Miguel estima la altura de don José en 1,7 m, ¿cuánto medirá el poste? ¿ ΔABC ~ ΔDBE? CAB y EDB son ángulos rectos. CBA es el mismo EBD. criterio AA Formamos la proporción

29. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ ΔDEC B C A D E Afirmaciones Razones Demostración Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes

30. UNIDAD: Geometría Tema: Semejanza “Criterios de semejanza de triángulos” Macarena Fica Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática