Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 1: PROBABILIDAD Material de partida:

1. Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 1: PROBABILIDAD Material de partida: Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26 Bartolo@dmae.upm.es http:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 1)

2. Probabilidad Dominar la fortuna ¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Rusell La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente. El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

3. La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos son de la misma clase que, por ejemplo, los de la Geometría o la Mecánica Analítica. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teoría: a) el contenido lógico-formal, b) el antecedente intuitivo, c) las aplicaciones. El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados. William Feller, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones.

4. El hombre del tiempo: La probabilidad de que llueva este sábado es del 50% y de que llueva en domingo también es del 50%. Así que la probabilidad de que llueva el fin de semana es del 100%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva el fin de semana suponiendo independencia entre los sucesos: "lloverá el sábado" y "lloverá el domingo"?

5. Si un gato puede ser macho o hembra y hay cuatro gatos, tenemos 24 = 16 posibilidades: • HHHH MMMM • Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8 • HHHM HHMH HMHH MHHH • MMMH MMHM MHMM HMMM • Probabilidad descomposición (3-1) = 8/16 = 1/2 • HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHH • Descomposición (2-2) = 6/16 = 3/8 • Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1. • A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos haya tres del mismo sexo.

6. Probabilidad de que todos sean del mismo sexo: • Probabilidad descomposición (3-1): • Probabilidad descomposición (2-2):

7. Es un hecho destacable que una ciencia que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento humano. Pierre Simon Laplace, Théorie Analytique des Probabilités. La base de la comprensión de la probabilidad no aparece hasta mediados del siglo XVI, y el tema no se discute con profundidad hasta casi un siglo después. Los historiadores se preguntan por qué el progreso mental en este campo fue tan lento, dados que los seres humanos se han visto confrontados con el azar una y otra vez desde los primeros tiempos. Deborah J. Bennett, Aleatoriedad.

8. Antoine Gambaud, Chevalier de Mère, planteó uno de los • problemas más antiguos de la teoría de probabilidad al filósofo • y matemático francés Blaise Pascal: ¿Qué es más probable? • Sacar al menos un 6 al tirar 4 veces un solo dado o • sacar un 12 en 24 tiradas de 2 dados. • A pesar de que Pascal había renunciado a las matemáticas por • considerarlas una forma de deleite sexual (¡!), aceptó resolver • el problema:

9. Programa DeMere1 Programa DeMere2 Pascal, a raíz de esta cuestión, comenzó una correspondencia epistolar sobre cuestiones probabilísticas con otros matemáticos amigos, sobre todo con Fermat. Esta correspondencia puede considerarse el origen de la teoría de probabilidades.

10. Experimento aleatorio Entenderemos por experimento aleatorio () cualquier situación que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori. Por ejemplo: * Lanzar un dado. * Extraer una carta de una baraja. * Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1, con una determinada composición de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinada composición de bolas de colores, una bola.

11. Sucesos o eventos • Cuando se realiza un experimento aleatorio  diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral(W). • Experimento aleatorio: lanzar un dado. • Espacio muestral W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Distinguiremos entre sucesos simples (o indivisibles) y compuestos (o divisibles). • Por ejemplo: el suceso A = “que el resultado sea par”: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto. • Se llama suceso complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A. • será: “que el resultado sea impar”, = {1, 3, 5}.

12. Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. ¿Cuál es el espacio muestral W de dicho experimento aleatorio? W = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

13. “Idea” (experimental) de Probabilidad • Frecuencia relativa: • experimento, A suceso • Ley del azar: A medida que n aumenta, fA tiende a estabilizarse alrededor de un valor determinado, denomininado probabilidad de ocurrencia del suceso A:

14. “Definiciones” de Probabilidad • Definición frecuencial • Definición clásica • Definición axiomática Interpretación frecuentista: probabilidad como cualidad objetiva de los fenómenos aleatorios independiente de las expectativas del observador Otras interpretaciones filosóficas: probabilidad subjetiva (bayesiana) (probabilidad lógica, fiducial,...)

15. Probabilidad frecuencial • Inconvenientes: • Definición “a posteriori” • n siempre finito

16. Probabilidad clásica (I) Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente: • Ventajas: definición “a priorística” • Inconvenientes: • Sólo si |A|, | W | finitos • Exige sucesos elementales equiprobables

17. Probabilidad clásica (II) Dado: ¿Cuál es la probabilidad P(A) de A = un número mayor o igual a 5?¿Y la probabilidad de B = número impar? Solución: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene probabilidad 1/6. P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables. P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables

18. Probabilidad clásica (III) • A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy útil para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo) • Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables: Definir un experimento aleatorio ficticio añadiendo aspectos quizás no observables

19. Ejemplo: espacio muestral para sucesos elementales equiprobables y aplicar Regla de Laplace • Experimento: lanzar dos dados y obtener la suma de las puntuaciones obtenidas Espacio muestral W = {2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12}. Sucesos no equiprobable: ej.: suma 12 sólo 6 y 6 suma 8, puede ser 6 y 2, 5 y 3 ó 4 y 4 Nuevo espacio muestral (quizás no obervable, sólo observable la suma) W´= {1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:2 2:3, 2:4, 2:5, 2:6, 3:3, 3:4, 3:5 3:6, 4:4, 4:5, 4:6, 5:5, 5:6, 6:6}

20. Pero estos 21 resultados siguen sin ser equiprobables sólo hay una forma de que aparezca 5:5 pero 3:4 puede aparecer 3 en un dado y cuatro en el otro, o al revés Nuevo espacio muestral “cómo” si un dado fuese blanco y otro fuese negro W´´= { 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:1, 2:2, 2:3, 2:4, 2:5, 2:6, 3:1, 3:2, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6, 5:1, 5:2, 5:3, 5:4, 5:5, 5:6, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 6:5, 6:6} Ahora sí puede suponerse que los resultados son equiprobables, probabilidad atribuida 1/36 A = {“suma 7”}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

21. Probabilidad clásica (III-cont) • A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy útil para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo) • Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables: Definir un experimento aleatorio ficticio añadiendo aspectos quizás no observables Pero: para “manejarse” en este espacio mayor (quizás) con elementos equiprobables es necesario “saber contar” -> Combinatoria

22. Saber Contar • Regla de Laplace (Definición clásica) • Ejemplo: Espacio muestral Wdiscreto y finito, con n sucesos simples: • ¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

23. a2 a1 b3 b1 b3 b1 b2 b2 c2 c2 c2 c1 c1 c2 c1 c1 c2 c1 c2 c1 Principio multiplicativo (ilustración gráfica) El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1yc2. El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

24. no_a a no-b no-b c c c c b no-c no-c no-c no-c b = {a,b,c}Espacio muestral Wdiscreto y finito, con n=3 sucesos simples Sucesos compuestos: Principio multiplicativo {a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø} El total de subconjuntos posibles será: 2 . 2 . 2 = 8 para n elementos : 2n

25. Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

26. Combinatoria El arte de contar “La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.” Introducción a la combinatoria Ian Anderson

27. Número de formas de “colocar” n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o “extraer” r elementos de un conjunto de n objetos) • Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones • Permutaciones/Variaciones: El orden importa • ”ab” es distinto a “ba” • Combinaciones: El orden no importa • ”ab” se considera igual a “ba” • Tanto las Permutación, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repetición (o reposición) de los objetos o elementos: ”aa” ”bb” • Permutaciones/Variaciones/Combinaciones • con/sin repetición Combinatoria-I (simple)

28. Combinatoria-II (simple) Variaciones: El orden importa Variaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden. Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1) {a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6 Variaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, y pudiendo repetirse. Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 32=9

29. Combinatoria-III (simple) Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones) Permutaciones sin repetición (recordad 0! = 1): {a,b,c} Permutaciones sin repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6 Permutaciones con repetición: {a,b,c} Permutaciones con repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 33=27

30. Combinatoria-IV (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden {a,b,c} escoger r=2 de n=3 –sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3 En las Combinaciones, al no importar el orden, el número de Variaciones se reduce en un factor igual al número de “ordenaciones” de los r elementos:

31. Combinatoria-V (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse. {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6

32. Ejemplos

33. Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? (Sucesos equiprobables) Nº casos posibles: El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen nnmaneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n accidentes en n días, un accidente cada día....

34. Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? Nº casos posibles: nn El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repetición de n-elementos tomados de n en n: n! Para siete accidentes de tráfico en una semana: p(7) = 7! / 77 = 0.00612 (anti-intuitivamente baja)

35. Nota: 0! = 1 Explosión combinatoria ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un número enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × 1023.

36. Fórmula de Stirling James Stirling presentó su fórmula en “Methodus Differentialis” publicado en 1730. La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, que imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición.

37. Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables). n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7 El orden importa – Variaciones Favorables: Dos no en el mismo piso -> no repetición Casos posibles: VR10,7 = 107 Casos favorables: V10,7 = 10987654

38. Algunas PropiedadesEl binomio de Newton (a + b)2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a + b)3= (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (a + b)4= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

39. Teorema del binomio Demostrar:

47. Recapitulación: • Experimento aleatorio () resultado imposible de predecir a priori. • Espacio muestral(W).El conjunto de todos los resultados posibles • Suceso o evento (A) a un subconjunto de dichos resultados. • Probabilidad frecuencial • Probabilidad clásica

48. .... avanzar hacia una Teoría Matemática completa .....

49. Sucesos o eventos • Espacio muestral(W) : conjunto de todos los resultados posibles se • Espacio muestral Wdiscreto (finito o infinito numerable) Lanzar un dado W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Espacio muestral Wcontinuo (infinito no numerable) Tiempo en pararse el dadoW = {tR / t>=0} A=[t1,t2 ] • A suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. • sucesos simples (o indivisibles) • compuestos (o divisibles).

50. Relaciones y operaciones entre sucesos