Capítulo 3B - Vectores

Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones. Vectores

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. • Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. • Determinar los componentes de un vector dado. • Encontrar la resultante de dos o más vectores.

m s 1 km 1000 m 3600 s 1 h 40--- x ---------- x -------- = 144 km/h Expectativas • Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Convierta 40 m/s en kilómetros por hora.

Ejemplo: Resuelva para vo Expectativas (cont.): • Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples.

(6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2) (8.77 x 10-3)2 Gmm’ r2 F = -------- = ------------ Expectativas (cont.) • Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Evalúe lo siguiente: F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN

Expectativas (cont.) • Debe estar familiarizado con prefijos del SI metro (m) 1 m = 1 x 100 m 1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m 1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m 1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m

y q = sen R R y q x Expectativas (cont.) • Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. y = R sen q x = R cos q R2 = x2 + y2

Si siente necesidad de pulir sus habilidades matemáticas, intente el tutorial del Capítulo 2 acerca de matemáticas. La trigonometría se revisa junto con los vectores en este módulo. Repaso de matemáticas Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning Center en Tippens-Student Edition

Peso Tiempo La física es la ciencia de la medición Longitud Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

B A Distancia: cantidad escalar • Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal) s = 20 m

B D = 12 m, 20o A q Desplazamiento-Cantidad vectorial • Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. Una cantidad vectorial: Contiene magnitud Y dirección, un número,unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N)

D 4 m, E 6 m, W Distancia y desplazamiento • Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. Desplazamiento neto: D= 2 m, W ¿Cuál es la distancia recorrida? x= -2 x= +4 ¡¡ 10 m !!

N 60o 50o W E 60o 60o S Identificación de dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.) Longitud = 40 m 40 m, 50o N del E 40 m, 60o N del W 40 m, 60o W del S 40 m, 60o S del E

N 45o N W E W E 50o S S Identificación de dirección Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. 500 S del E 450 W del N Clic para ver las respuestas...

90o 90o R 180o 180o 50o q 0o 0o 270o 270o Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares (R, q) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E. 40 m R es la magnitud y qla dirección.

90o 180o 0o 60o 50o 60o 60o 3000 210o 270o 120o Vectores y coordenadas polares Se dan coordenadas polares (R, q) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: (R, q) = 40 m, 50o (R, q) = 40 m, 120o (R, q) = 40 m, 210o (R, q) = 40 m, 300o

y (-2, +3) (+3, +2) + + x - Derecha, arriba = (+, +) Izquierda, abajo = (-, -) (x, y) = (?, ?) - (-1, -3) (+4, -3) Coordenadas rectangulares La referencia se hace a los ejes x y y, y los números + y –indican posición en el espacio.

y q = sen R R y q x Repaso de trigonometría • Aplicación de trigonometría a vectores Trigonometría y = R sen q x = R cos q R2 = x2 + y2

300 90 m Ejemplo 1:Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30o. La altura h es opuesta a 300 y el lado adyacente conocido es de 90 m. h h = (90 m) tan 30o h = 57.7 m

R y q x Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, q). x = R cos q y = R sen q Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular

N 400 m y = ? 30o E x = ? R y q x Ejemplo 2:Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? N E El componente x (E) es ADY: x = R cosq El componente y (N) es OP: y = R senq

N 400 m y = ? 30o E x = ? El componente x es: Rx = +346 m Ejemplo 2 (cont.):Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? Nota:x es el lado adyacente al ángulo de 300 ADY = HIP xcos 300 x = R cosq x = (400 m)cos30o = +346 m, E

N 400 m y = ? 30o E x = ? El componente y es: Ry = +200 m Ejemplo 2 (cont.):Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? Nota:y es el lado opuesto al ángulo de 300 OP = HIP xsen 300 y = R senq y = (400 m) sen 30o = + 200 m, N

N Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante 400 m Ry = +200 m 30o E Rx = +346 m Ejemplo 2 (cont.):Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

x = R cos q y = R senq Signos para coordenadas rectangulares 90o Primer cuadrante: R es positivo (+) 0o > q< 90o x = +; y = + R + q 0o +

x = R cosq y = R senq Signos para coordenadas rectangulares 90o Segundo cuadrante: R es positivo (+) 90o > q< 180o x = - ; y = + R + q 180o

x = R cosq y = R sen q Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180o > q< 270o x = - y = - q 180o - R 270o

x = R cos q y = R sen q Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) 270o > q< 360o x = + y = - q + 360o R 270o

Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R y q x R siempre es positivo; q es desde el eje +x

40 lb 40 lb 30 lb 30 lb Ejemplo 3:Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda: Ej:1 cm = 10 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo! 4 cm = 40 lb 3 cm = 30 lb

q 40 lb f 40 lb 30 lb R = (40)2 + (30)2 = 50 lb R = x2 + y2 -30 40 30 lb tan f= Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) Rx Ry R q = 323.1o f = -36.9o

30 lb 30 lb R R R = 50 lb q 40 lb Ry q Ry f f q Rx Rx 40 lb 40 lb R 30 lb Rx Rx q 40 lb f Ry Ry R = 50 lb 30 lb R Cuatro cuadrantes (cont.) f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

y j i x k z Notación vector unitario (i, j, k) Considere ejes 3D (x, y, z) Defina vectores unitarios i, j, k Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

R +40 m f -30 m Ejemplo 4:Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento en notación i, jy en notación R, q. En notación i, j se tiene: R = Rx i + Ry j Rx = - 30 m Ry = + 40 m R = -30 i + 40 j El desplazamiento es 30 m oeste y 40 m norte de la posición de partida.

R +40 m f -30 m Ejemplo 4 (cont.):A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R, q. q= 1800 – 59.10 q = 126.9o R = 50 m (R, q) = (50 m, 126.9o)

46 km f=? B 35 km R = ? A q = 1800 + 52.70 q = 232.70 Ejemplo 6:La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades. R = -46 i – 35 j R = 57.8 km f = 52.70 S de W.

F = 240 N Fy F 280 O en notación i, j : Fy F = -(212 N)i+ (113 N)j Fx Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo. Fx= -|(240 N) cos 280|= -212 N Fy= +|(240 N) sen 280|= +113 N

F = 300 N 32o 32o Fx 320 Fy Fy F O en notación i, j : F = -(254 N)i- (159 N)j Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 320. Fx= -|(300 N) cos 320|= -254 N Fy= -|(300 N) sen 320|= -159 N

1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. Método de componentes 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j. 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, q).

N B 3 km, O 4 km, N C E A D 2 km, E 2 km, S Ejemplo 9.Un bote se mueve 2.0 km al este, luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.

N B 3 km, O 4 km, N C E A D 2 km, S 2 km, E 5. Convierta a notación R, q Vea página siguiente. Ejemplo 9 (cont.)Encuentre el desplazamiento resultante. 3.Escriba cada vector en notación i, j: A = +2 i B = + 4 j C = -3 i D = - 2 j 4.Sume algebraicamente los vectores A, B, C, D para obtener la resultante en notación i, j. -1 i + 2 j R = 1 km al oeste y 2 km al norte del origen.

La suma resultante es: R = -1 i + 2 j N B 3 km, O 4 km, N C E D A 2 km, S 2 km, E Ry = +2 km R f Rx = -1 km Ejemplo 9 (cont.)Encuentre desplazamiento resultante. Ahora encuentre R,  R = 2.24 km  = 63.40 N del O

N Por conveniencia, siga la práctica de suponer tres (3) cifras significativas para todos los datos en los problemas. D 3 km 2 km C B 4 km E A 2 km Recordatorio de unidades significativas: En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: R = 2.24 km, 63.40 N del O

30 lb R q 40 lb Ry f q Rx 40 lb R 30 lb Rx Ry Dígitos significativos para ángulos Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. Regla:Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes: q = 36.9o; 323.1o

A = 5 m, 00 C = 0.5 m R B = 2.1 m, 200 B q C = 0.5 m, 900 200 A = 5 m B = 2.1 m Ejemplo 10: Encontrar R, q para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: 1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. (R, q) 3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)

Para notación i, j, encuentre los componentes x, y de cada vector A, B, C. C = 0.5 m R B q 200 A = 5 m B = 2.1 m Ejemplo 10: Encuentre R, q para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.)

A = 5.00 i + 0 j B = 1.97 i + 0.718 j C = 0 i + 0.50 j 6.97 i + 1.22 j Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900. 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j. R =

R = 6.97 i + 1.22 j Diagrama para encontrar R, q: R q Ry 1.22 m Rx= 6.97 m Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900. 5. Determine R, q a partir de x, y: R = 7.08 m q = 9.930 N del E

q Ejemplo 11:Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente? C = 30 m Gráficamente, se usa regla y transportador para dibujar los componentes, luego se mide la resultante R, q B = 40 m 30o R 60o f A = 20 m, E R = (32.6 m, 143.0o) Sea 1 cm = 10 m

Capítulo 3B - Vectores